Fonctions usuelles

Espérance de vie à la naissance Un indicateur fondé uniquement sur des données de mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une personne (dans les conditions environnementales de la période considérée). On peut suivre l’augmentation de l’espérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000, chez les hommes et les femmes.

Espérance de vie = f (temps)

La droite

Le taux de croissance individuel Escherichia coli :

Parabole (ou polynôme de degré 2)

Réaction enzymatique Le substrat S est transformé par l’enzyme E en un produit P. [S] : concentration en substrat

Étude de la fonction Hyperbole Df Symétrie Points particuliers Limites - Continuité Variations : Concavité : Asymptotes Graphe

Mesurer les magnitudes d’un tremblement de terre A amplitude des oscillations, T période des oscillations M = ln (A / T) Japon 1906 A / T=3641 M = ? Chili 1960 A / T=13360 M = ? Idem intensité du son mesuré en decibels (I = Log 10 (puissance en Hz) où I est en db) A amplitude mesurée en micron des oscillations à la station T période en secondes Il manque un terme constant fonction de la distance entre la station et l’épicentre du tremblement de terre Dans les 2 cas, on exprime la sensation (intensité du son ou vigueur du tremblement de terre) comme le log de l’exitation (A et T ou puissance acoustique) Échelle de Richter

L’échelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées 1000 A / T 7 500 100 M = ln (A / T) 6 10 5 4 3 1 2

Propriétés ln (1) = 0 ln (a b) = ln(a) +ln(b) donc ln (a n) = n ln(a) donc ln(1/b) = – ln(b) Logarithme en base 10 : Log10(a) = ln(a)/ln(10) donc Log10(10n) = n

Étude de la fonction ln(x) Logarithme népérien Df Symétrie Points particuliers Limites - Continuité Variations : Concavité : Asymptotes Graphe

La fonction logarithme népérien

Croissance d’une population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 On s’intéresse à l’accrois- sement de la population de ces tourterelles en GB. Hypothèse : Le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre d’endroits où l’espèce est recensée.

Données : fonction (modèle) ? Temps Lieux 1955 1 1956 2 1957 6 1958 15 1959 29 1960 58 1961 117 1962 204 1963 342 1964 501

Propriétés Notation : exp(x) ou e x exp(0) = 1 exp(1) = e exp(a +b) = exp(a) exp(b) donc exp(a p) = exp(a)p exp(a - b) = exp(a) / exp(b) donc exp(- b) = 1 / exp(b)

La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln Définitions f admet une fonction réciproque s’il existe une fonction g telle que f o g = g o f = Identité où f o g est la fonction composée définie par f o g (x) = f ( g (x) )

La transformation logarithmique “logarithme(exponentielle) = droite”

Étude de la fonction exp(x) Df Symétrie Points particuliers Limites - Continuité Variations : Concavité : Asymptotes Graphe

Graphe

Autres fonctions usuelles

Fonctions trigonométriques

Variations de la dureté de l’eau du Rhône en fonction du temps Les variations de température dans l’eau du Rhône sont cycliques, dépendent de la saison, et sont directement liées aux variations cycliques de la dureté de l’eau, mesurée en mg/L de CaC03 (carbonate de calcium).

La relation allométrique L’allométrie est l’étude des tailles relatives des différentes parties d’un organisme, sous l’influence de la croissance. Classiquement, on cherche à relier la taille et le poids d’un individu.

Étude de la fonction f (x) = xm Df Symétrie Points particuliers Limites - Continuité Variations : Concavité : Asymptotes Graphe

Fonctions puissances

Prochain RDV Vendredi 24 septembre 8h15 Lire le Chap. Primitive – Intégration Premier TD : Exercice Série 1 1-1**, 1-2**, 1-3** 2-1*, 2-2*, 3-2*, 4-1* 6-1**

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