Par Mercenier Christelle
Constructions Soient les cercles distincts C 1 et C 2 de centres A et B. Traçons les tangentes au cercle C 1 passant par B ainsi que les tangentes au cercle C 2 passant par A.
Pour plus de facilité, nommons quelques points : Prouvons que |MN| = |PQ|
Appelons S le milieu de [MN] et R le milieu de [PQ].
Démonstration Les triangles AMS et ABC ont l’angle  en commun, de plus, ils possèdent chacun un angle droit (S et C). Ils sont donc semblables. Les 2 triangles étant semblables, on peut en déduire une égalité entre les rapports suivants: MS / AM = CB / AB Or, AM = AF= r 1 (rayon de C 1 ) et BC = r 2 (rayon de C 2 )
Ce qui nous donne, moyennant certaines modifications : MS = (r 1. r 2 ) / AB d’où, MN = (2. r 1. r 2 ) / AB (1) En travaillant de manière similaire (triangles semblables) dans les triangles BRP et BFA, on trouve le rapport suivant : PR = (r 1. r 2 ) / AB d’où, PQ = (2. r 1. r 2 ) / AB (2)
En comparant (1) et (2), on démontre assez facilement que |MN| = |PQ|