Traitement de la turbulence Définition de certaines quantités statistiques Hypothèse ergodique; hypothèse de Taylor Décomposition et postulats de Reynolds Énergie cinétique turbulente et flux turbulents

Écoulement turbulent Écoulement turbulent: 1 . Structure spatio - temporelle complexe 2. Écoulement non reproductible (non linéaire). 3. Écoulement de grande vorticité 4. Grande dissipation d ’énergie 5. Grande capacité de diffusion Les variables qui caractérisent le mv. turbulent sont aléatoires. (???) et les équations d ’évolution de ces variables sont non linéaires (???)

Variables aléatoires Une variable aléatoire est un paramètre pour lequel on connaît à priori une certaine loi de probabilité. Exemple: la vitesse longitudinale du vent mesurée dans une soufflerie. Comment obtenir un échantillon ? 1) Série de mesures temporelle; 2) plusieurs enregistrements dans les mêmes conditions expérimentales

Étude statistique de la turbulence Analogie entre le mouvement brownien des molécules et le mouvement désordonné des tourbillons

Spectre de turbulence dans la CLA

Mesures dans la couche limite

Spectre de la turbulence 1 3 2 L ’analyse harmonique d ’un enregistrement de vitesse w(t) suggère que la turbulence résulte de la superposition de mouvements oscillatoires plus ou moins irréguliers, d ’amplitude, de phase et de longueur d ’onde différentes, en autres termes, de tourbillons de longueur de tailles différentes (Taylor). On est donc amener à considérer une limite inférieure et une limite supérieure de la taille des tourbillons ou de sa longueur d ’onde. C ’est ainsi que par exemple, dans l ’atmosphère, la turbulence couvre toute un intervalle de longueurs d ’onde qui s ’étend du domaine visqueux jusqu ’au tourbillon planétaire dont la dimension est de l ’ordre de 107 m. À chaque taille de tourbillon il est associé une certaine énergie cinétique. Nous pouvons construire un spectre de turbulence en fonction de la longueur d ’onde en analysant la contribution de chaque longueur d ’onde à l ’énergie cinétique turbulente totale. La crête 1, de période 100 h correspond à l ’énergie associée aux systèmes synoptiques. La crête suivante (2),, à 24 h, monte l ’énergie cinétique due aux variations diurnes. La crête suivante (3) correspond aux maximum d ’énergie associé à la turbulence de la couche limite. L ’existence d ’un intervalle de fréquences où l,énergie cinétique est pratiquement nulle sépare nettement deux régimes distincts, à droite le régime turbulent, à gauche le régime turbulent. La plupart des analyses de turbulence supposent que cette séparation existe. Les phénomènes à meso échelle, comme la formation des nuages convectif, orages, etc. sont difficiles à décrire.

Décomposition de Reynolds Les observations macroscopiques d ’une quantité ne permet de définir les variations à petite échelle, il a lieu de découpler les variations à petite échelle en utilisant la décomposition de Reynolds : les variables instantanées sont séparées en partie moyenne et une partie fluctuante. Valeur instantané = valeur moyen + fluctuation

Mais quelle moyenne ? Moyenne temporelle : Moyenne spatiale : A) Moyenne temporelle Par exemple, si on veut définir la température moyenne du mois de janvier, on prend comme valeur de la période T un mois et la température moyenne et obtenue par une intégration numérique des observations faites au jour le jour. Cette technique est particulièrement utilisée dans des études diagnostiques visant à obtenir des informations sur la climatologie du mois de janvier. La période de temps sur laquelle on effectue cette intégration agit comme un filtre que enlève les phénomènes se produisant très rapidement. En moyennant sur un mois on filtre les phénomènes synoptiques se produisant sur une période de quelques jours. Par contre un blocage atmosphérique persistant est susceptible d ’influencer de façon appréciable la valeur moyenne. Si on choisi T=1 jour, la moyenne temporelle filtrera les variations diurnes. Pour T = 1 an on filtre les variations dues au saisons, etc. B) moyenne spatiale Dans ce cas on utilise la distribution spatiale des données. Une moyenne souvent utilisée dans les études de la circulation générale, consiste à effectuer une moyenne sur un cercle de latitude. Ceci permet de voir la variation d ’une grandeur en fonction de la latitude seulement. On peut aussi faire de moyennes mixtes (espace et temps). C) Moyenne d ’ensemble Les moyenne introduites éliminent complètement la dépendance de la grandeur envers la variable selon laquelle on intègre. Une solution consiste à définir la valeur moyenne par ça permet de filtrer les variations rapides de la variable tout en gardant une valeur moyenne à chaque instant. Par contre cette moyenne n ’est pas sans inconvénient. Moyenne d ’ensemble :

Moyenne d ’ensemble La seule moyenne qui décrit les caractéristiques de la turbulence statistiquement Statistiquement parlant, la valeur moyenne d ’une quantité peut être définie comme suit. Considerons une expérience consistant à mesurer une quantité dépendant de t et x et repetons cette expérience un grand nombre de fois. À chacune d ’elles correspond une distribution fii(x,t) appelée une réalisation. L ’ensemble de ces réalisations est défini par S, constitué de N réalisations. La moyenne d ’ensemble est alors définie par Si N est suffisamment grand, cette technique permet de filtrer les variations aléatoires de f. L ’intérêt de cette définition provient de ce qu ’elle satisfait un certain nombre de propriétés mathématiques appelées propriétés de Reynolds.

Quel moyenne ? La moyenne d ’ensemble c ’est la moyenne idéale ... Hypothèse ergodique Si un processus est ergodique, les espérances mathématiques estimées a l ’aide de moyennes temporelles sont les mêmes que celles estimées à l ’aide de moyennes dans l ’espace. Ergodicité est une des notions de base de la physique statistique et que l’on pourrait resumer par : TOUT CE QUI PEUT ARRIVER ARRIVERA Ainsi ce concept postule qu’un système physique qui possède un nb fini d’états finira, dans un temps donné fini, par passer par tous les états probables et qu’il y passera en moyenne un temps égal en chacun des ces états. Hypothèse d'ergodicité Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : navigation, rechercheEn traitement du signal, l'hypothèse d'ergodicité consiste à admettre que l'évolution d'un signal aléatoire au cours du temps apporte la même information qu'un ensemble de réalisation. TOUT CE QUI PEU ARRIVER ARRIVERA

Condition d ’ergodicité Si la turbulence est homogène et stationnaire (statistiquement ne change pas ni dans le temps ni dans l ’espace), les moyenne spatiales, temporelles et d ’ensemble seraient égales.

Autres variables statistiques Variance biaisée Variance non biaisée Écart type

Autres variables statistiques Covariance entre A et B Corrélation Auto corrélation spatiale (s) Auto corrélation temporelle (t)

Hypothèse de Taylor Turbulence dans un champ de vitesse moyenne M élevée

Hypothèse de Taylor

Décomposition de Reynolds Les caractéristiques de la moyenne et des fluctuations d ’une variable dépendent de l ’échelle que nous intéresse

Choix du type de moyenne ? But : résoudre les équations de mouvement Le type de moyenne choisi doit permettre l ’obtention d ’équations du mouvement moyen déterminées.

Propriétés des moyennes choisies 1) Les moyennes doivent être différentiables au moins jusqu ’à l ’ordre requise par les équations de mouvement. 2) Les moyennes doivent satisfaire les postulats de Reynolds.

Postulats de Reynolds 1) La moyenne des fluctuations est nulle 2) La corrélation entre les fluctuations et la quantité moyennée doit être nulle. 3) la moyenne appliquée à une moyenne doit reproduire la même moyenne.

Conséquences de la décomposition et des postulats de Reynolds Tableau

Interprétation physique de la variance

Énergie cinétique Énergie cinétique moyenne (MKE) Énergie cinétique turbulente Énergie cinétique turbulente moyenne (TKE) tableau

variance du champ de vitesse vs turbulence = mesure de l ’intensité de la turbulence