Apprendre à raisonner à l'école l'exemple de la géométrie Thierry DIAS, HEP Vaud, Lausanne thierry.dias@hepl.ch

1. Raisonner… Raisonner en mathématiques Raisonnement et cognition Raisonner en géométrie

2.1 - Raisonner… en mathématiques Déduction ? Induction ? Expérimentation ? Le raisonnement n'est pas une spécialité mathématique.

Trois jeunes gens prennent un déjeuner sur une terrasse Trois jeunes gens prennent un déjeuner sur une terrasse. Ils doivent payer 30€ et donnent chacun un billet de 10€. La patronne leur fait une réduction de 5€. Le serveur prend 5 pièces de 1€, mais, ne pouvant les partager en trois il décide de glisser deux euros dans sa poche et donne donc une pièce de 1€ à chacun des trois jeunes gens. Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9€. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 €. MAIS nous avions 30 €. Où est donc passé le dernier euro?

La force du symbolisme mathématique, sa valeur de vérité immuable nous empêche parfois de raisonner… (9 x 3) + 2 = 27 est valide mathématiquement mais n'est pas "vraie" dans la situation : cette écriture ne traduit rien de la réalité. écritures valides et vraies : 30 – (2+3) = 25 3 x 9 = 25 + 2

résolution de problèmes Le raisonnement est un processus qui intervient dans de nombreuses tâches mathématiques : compréhension et catégorisation planification, tri choix, prise de décision explication argumentation, preuve

le raisonnement : un processus Questionnement Observation Stratégies Validation

Différents types de raisonnement : processus de chaînage : avant : stratégie descendante  déduction arrière : stratégie remontante  induction par essais successifs : organisés désorganisés recherche de l'inventaire des possibles : systématique aléatoire

Raisonnement expérimental Questionnement Stratégies Clarification de la tâche Recherche de sens Formulation d'hypothèses Mise en place d'investigations D'une étape de l'investigation à l'autre  chainage : déduction, induction (descendant, remontant) Inventaire des possibles Essais : organisés, orientés; inorganisés Raisonnement expérimental Validation Observation Confrontation entre les résultats et les attendus Vérification des hypothèses Argumentation et preuve Contrôle des résultats Faits et évènements Recueil d'informations Prélèvement des données Sélection, focalisation, inhibition

2.2 - Raisonnement et cognition fonctions cognitives Ce sont les capacités de notre cerveau qui nous permettent notamment de communiquer, de percevoir notre environnement, de se concentrer, de se souvenir d’un événement ou d’accumuler des connaissances.

fonctions instrumentales fonctions cognitives fonctions instrumentales mémoire attention langage la gnosie : vision et imagerie mentale la praxie : gestes volontaires fonctions exécutives (fonctions dites "de haut niveau") le raisonnement "Fonctions intellectuelles qui se divisent en quatre classes:1-les fonctions réceptives permettant l'acquisition, le traitement, la classification et l'intégration de l'information;2-la mémoire et l'apprentissage permettant le stockage et le rappel de l'information;3-la pensée ou le raisonnement concernant l'organisation et la réorganisation mentales de l'information;4-les fonctions expressives permettant la communication ou l'action .

Il existe des modulateurs très forts de l’apprentissage : l’action fonctions cognitives Deux apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement. Le développement cognitif s’appui sur des intuitions et construit progressivement l’exactitude. Il existe des modulateurs très forts de l’apprentissage : l’action le plaisir l’attention la curiosité "Fonctions intellectuelles qui se divisent en quatre classes:1-les fonctions réceptives permettant l'acquisition, le traitement, la classification et l'intégration de l'information;2-la mémoire et l'apprentissage permettant le stockage et le rappel de l'information;3-la pensée ou le raisonnement concernant l'organisation et la réorganisation mentales de l'information;4-les fonctions expressives permettant la communication ou l'action .

deux* principaux types de raisonnement cognitifs : Le raisonnement inférentiel : utilisé face à un problème qui n'a encore jamais été rencontré et pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état. Un troisième est appelé automatique mais il s'éloigne du processus de raisonnement à proprement parlé Le raisonnement analogique : réutilisation adaptée d'une solution déjà utilisée face à un problème présentant des spécificités communes avec celui à résoudre.

Autres apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement. Apprendre en résolvant des problèmes est une démarche adaptée au développement des capacités de raisonnement. Le raisonnement dépend de plusieurs fonctions cognitives : elles sont très difficiles à évaluer (car non spécifiques). Les problèmes proposés aux élèves doivent être en mesure de développer les deux types de raisonnement (inférence et analogie) : ils doivent donc être diversifiés. "Fonctions intellectuelles qui se divisent en quatre classes:1-les fonctions réceptives permettant l'acquisition, le traitement, la classification et l'intégration de l'information;2-la mémoire et l'apprentissage permettant le stockage et le rappel de l'information;3-la pensée ou le raisonnement concernant l'organisation et la réorganisation mentales de l'information;4-les fonctions expressives permettant la communication ou l'action .

2.3 - Raisonner… en géométrie Avec des nombres ? Pour comprendre les nombres ? Pour apprendre à raisonner ? Le raisonnement n'est pas une spécialité mathématique.

La géométrie au service du raisonnement sur les nombres Le raisonnement pour articuler les connaissances mathématiques, pour faire des liens entre géométrie, nombres et mesure par exemple.

1/2 3/4 2/3 7/12 1/4 + 1/3

1/4 1/8 3/8 1/4 1/2 – 1/8

Le raisonnement pour utiliser ses connaissances géométriques Nos connaissances sont nombreuses, raisonner avec elles permet de dénouer des situations problématiques… (ou pas)

à propos de raisonnement : Nous sommes ici "victimes" de notre perception, d'une certaine intuition, l’ambiguïté ne sera levée que par le recours à l'expérience, bref à l ’utilisation de connaissances mathématiques géométriques. Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??

2. Apprendre à raisonner… une expérience de développement cognitif

raisonner : observer, comprendre, utiliser ses connaissances Comment reproduire exactement cette figure selon ses propriétés ?

Programmation d'un dispositif en classe développer l'attention renforcer la mémorisation utiliser le langage (en référence aux fonctions cognitives)

Favoriser l'attention :  ritualiser les dispositifs  différer l'entrée en activité Développer la mémoire :  mémoriser des objets et des relations  mémoriser un programme de construction Organiser des jeux de langage  utiliser un vocabulaire, une syntaxe en situation  étayer la mise en mots des raisonnements

un programme en 3 temps pour renforcer les fonctions cognitives 1. favoriser l'attention 2. développer la mémoire 3. jeux de langage

ATTENTION sélection focalisation inhibition au service de gnosie faculté de reconnaître par l'un de ses sens (toucher, vue) la forme d'un objet, de se le représenter et d'en saisir la signification praxie capacité d'effectuer un geste ou une activité décidée et précise

observer attentivement reproduire précisément 1. attention 1

2

3

4

5

…. …. …. …. …. 1. attention Mon tableau de bord 1 2 3 4 5 J'indique pour chaque figure le nombre de fois où j'ai levé la tête. 1 2 3 4 5 …. …. …. …. ….

2. MEMORISATION observer, prendre des informations faire des liens : comprendre les relations entre les objets = appui sur les propriétés

2. mémoire observer attentivement reproduire précisément 20 secondes 20 secondes

20 secondes 20 secondes

20 secondes

2. jeux de mémoire

observer les étapes d'un programme re-construire la figure

3. LANGAGE décrire, nommer mettre en mots des connaissances utiliser des figures pour raisonner

comment décrire cette figure ?

comment décrire cette figure ?

3. jeux de langage objets décrire relations transformations

3. jeux de langage comment décrire cette figure ?

3. jeux de langage comment décrire cette figure ?

une solution de la fleur

merci de votre attention Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les mathématiques, à susciter les intelligences des êtres et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir et d’apprendre. merci de votre attention Thierry DIAS, HEP Lausanne thierry.dias@hepl.ch

Un chef d'entreprise disait à ses ouvriers : "Les années bissextiles ont 366 jours. Vous ne travaillez que 8 heures par jour, c'est à dire le tiers du temps. Cela fait 122 jours. Mais il y a 52 dimanches; restent 70 jours. Le samedi, vous disposez de la demi-journée, ce qui fait 26 jours en moins; restent 44 jours. Enlevez 5 semaines de congés payés, il reste 9 jours. Avec le jour de l'an, le 1er mai, le 14 juillet, la Toussaint et Noël, le lundi de Pâques, le lundi de Pentecôte, et le jeudi de l'Ascension il ne reste qu'un jour. Un jour de travail ! Et encore les années bissextiles ! Donc trois années sur quatre vous ne faites rien !" Que pensez-vous de ces raisonnements ? On bosse pourtant et plus que cela tout de même ! Où est la faille ?