CHAPITRE 2 LES SITUATIONS FONCTIONNELLES ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Les modes de représentations Il existe différentes façons de représenter une situation. La description verbale Parfois accompagnée d’un dessin, une description verbale permet de décrire sommairement une situation  Exemple : La longueur d’un serpent est de 35 mm à sa naissance et, par la suite, elle augmente de 5 mm/semaine. La table de valeurs Une table de valeurs est un tableau qui comporte des couples de valeurs permettant de décrire numériquement une situation. Une table de valeurs peut être représentée horizontalement ou verticalement Le graphique: La règle: Exemple :

Le graphique l = 5t + 35 La règle Un graphique permet de visualiser une situation à l’aide de points, d’une courbe ou d’un ensemble de courbes, afin d’en faciliter l’analyse. La règle Une règle est une équation qui traduit une régularité entre des variables. l = 5t + 35 Variable représentant la longueur du serpent. Coefficient indiquant que la longueur du serpent augmente de 5 mm/semaine. Constante indiquant que la longueur du serpent à la naissance est de 35 mm. Variable représentant le temps. Exemple :

Indépendance et dépendance des variables Section 1 Indépendance et dépendance des variables Variable indépendante: x Elle ne dépend pas du sujet observé; Sa variation influence la valeur d’une autre variable. Variable dépendante: y Sa variation est CAUSÉE par la variation de la variable indépendante La formulation « telle chose dépend de telle chose » peut t’aider à déterminer la variable dépendante et la variable indépendante d’une situation. Pièges et astuces Exemples: 1. « Un employé travaille au taux horaire de 15$. » Quelle est la variable indépendante ? _____________________________ Quelle est la variable dépendante ? ______________________________ 2. «Sarah lance un ballon de football à son amie. La distance entre le ballon et le sol est déterminée par le temps écoulé depuis le lancer. »

Les modes de représentations Les tables de valeurs: Les graphiques: Exemples: 1. « Un employé travaille au taux horaire de 15$. » 2. «Sarah lance un ballon de football à son amie. La distance entre le ballon et le sol est déterminée par le temps écoulé depuis le lancer. »

Les types de variables Variable qualitative : quali : vient de qualité; la variable est représentée par un mot. Variable quantitative : (Voir page suivante discrète ou continue) quanti : vient de quantité; la variable est représentée par un nombre. Exemples : Les exemples suivants représentent-ils des variables qualitatives ou quantitatives ? L’âge d’un élève de troisième secondaire ? _________________________ Le village d’origine de votre mère ? _______________________________ Le temps qu’il fait ? ____________________________________________ La température de la piscine du voisin ? ____________________________ Le temps (en minutes) ? ________________________________________ Le nom de votre chien ? ________________________________________

Quantitative… discrète: On pourrait énumérer toutes les valeurs qu’elle peut prendre; Fait référence aux naturels (IN) ou continue: On ne pourrait pas énumérer toutes les valeurs qu’elle peut prendre; Fait référence aux réels (IR) Exemple : Variable discrète Variable continue Problèmes Tables de valeurs Graphiques

Section 2 Les fonctions On est en présence d’une FONCTION si, pour chaque valeur indépendante, on fait correspondre une et une seule valeur dépendante. Exemple : Relations Fonctions 

La notation fonctionnelle f(x) = ax + b NOTE : Le « y » est maintenant remplacé par f(x) pour montrer qu’il s’agit d’une fonction et non d’une relation ! Comment le lire ? f de x Comment le comprendre ? _la notation fonctionnelle f(x) désigne la valeur de la variable dépendante quand la variable indépendante vaut x. Exemples: On a une fonction f (x) = 3x – 2 , que vaut f (5) = ? On a une fonction f (x) = 120 – 10x , que vaut f (4) = ? On a une fonction f (x) = x / 3 , que vaut f (72) = ?

La reciproque La réciproque d’une fonction : nous permet de calculer la valeur de la variable indépendante à partir de la variable dépendante; fait l’inverse de la relation à laquelle elle est associée. Exemple: Relation Réciproque Problèmes Table de valeurs Graphiques

Les caractéristiques d’une fonction Domaine : Ensemble de valeurs que peut prendre la variable indépendante. Image ou Codomaine : Ensemble de valeurs que peut prendre la variable dépendante. Maximum : plus grande valeur que prend la variable dépendante. Minimum : plus petite valeur que prend la variable dépendante. Ordonnée à l’origine ou valeur initiale : valeur de la variable dépendante (y) lorsque l’abscisse vaut 0. Abscisses à l’origine ou zéro(s) : valeur de la variable indépendante lorsque l’ordonnée vaut 0. (Peut avoir plus d’un point) Croissante : intervalle de x lorsque la courbe augmente. Constante : intervalle de x lorsque la courbe est horizontale. Décroissante : intervalle de x lorsque la courbe diminue. Positive : lorsque la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses (x). Négative : lorsque la courbe est en-dessous de l’axe des abscisses(x). Image d’une valeur du domaine f(x) : La valeur de la variable dépendante (y) lorsque la variable dépendante vaut « x »

Exemple 2

SECTION 3 Le taux de variation À partir d’un graphique : Le taux de variation d’une fonction est le quotient de la variation de la variable dépendante(Δy) avec la variation de la variable indépendante(Δx).

À partir d’un graphique :

Les types de fonctions 1) Fonction constante Caractéristiques : Taux de variation égale à zéro (a = o); Les valeurs des variables ne sont pas proportionnelles; Le graphique est une droite horizontale (parallèle à l’axe des « x »). Exemple: Règle :

Exemple: Règle :

Les valeurs des variables sont 2) Fonction linéaire Caractéristiques : Les valeurs des variables sont proportionnelles(situation de proportionnalité); Le taux de variation est constant; Le graphique est une droite passant par l’origine (0, 0). Exemple: Règle :

Exemple: Règle :

3) Fonction inverse (rationnelle) Caractéristiques : Les valeurs des variables ne sont pas proportionnelles; Le taux de variation n’est pas constant (on dira qu’il est variable); Le graphique est une courbe qui descend et approche des axes sans jamais les toucher. Exemple: Règle :

Section 4 4) Fonction affine (ou fonction de variation partielle) Caractéristiques : Le taux de variation est constant; Les valeurs de variables ne sont pas proportionnelles; Le graphique est une droite ne passant pas par l’origine (0, 0). Exemple: Règle :

Règle : Exemple:

La règle d’une fonction affine Démarche: Trouver le taux de variation; Remplacer a, x et f(x) dans la règle; Trouver la valeur de « b » en isolant; Valider sa réponse Exemple: Trouve la règle d’une droite passe par les points (10, 45) et (30, 15). Règle : ___________________________________

Modification des paramètres Si on modifie le paramètre a : La valeur initiale reste identique Le taux de variation change La droite conserve donc son origine, mais sa pente est différente. Exemple: y = 2 x + 4 y = - x + 4

Modification des paramètres Si on modifie le paramètre b : La valeur initiale change Le taux de variation reste identique La droite conserve donc sa pente, mais commence à un endroit différent. Exemple: y = 2 x + 1 y = 2 x + 4