Géométrie et communication graphique Cours 2: Morphologie de courbes planes Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Morphologie des courbes planes Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Morphologie des courbes planes Etude des points singuliers Points où la morphologie locale de la courbe présente des particularités Points multiples Discontinuité de tangentes rebroussement Asymptotes de courbes

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Fonction vectorielle Application d’un domaine de ℝ dans ℝ 2 qui associe à toute réel du domaine un point de ℝ 2 y x ℜ domaine E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Lien avec la forme paramétrique Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Lien avec la forme paramétrique 𝑥= 𝑓 1 (𝑝) 𝑦= 𝑓 2 (𝑝)  𝑉 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑓 1 (𝑝) . 𝑢 𝑥 + 𝑓 2 (𝑝) . 𝑢 𝑦 Cette constatation permet de régler un grand nombre de questions préliminaires: 𝑉 𝑝 est continue sur un domaine si 𝑓 1 (𝑝) et 𝑓 2 (𝑝) le sont 𝑉 𝑝 est dérivable sur un domaine si 𝑓 1 (𝑝) et 𝑓 2 (𝑝) le sont 𝑉′ 𝑝 = 𝑓′ 1 (𝑝) . 𝑢 𝑥 + 𝑓 ′ 2 (𝑝) . 𝑢 𝑦 𝑉 𝑛 𝑝 = 𝑓 𝑛 1 (𝑝) . 𝑢 𝑥 + 𝑓 𝑛 2 (𝑝) . 𝑢 𝑦 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle On peut démontrer que dans l’approche d’une fonction vectorielle, le développement de Taylor est valide E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle sécante E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle En faisant tendre t vers t0, on fait tendre M vers M0 La sécante tend vers la tangente E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Après passage à la limite (tt0), on peut déduire que si 𝑉′ 𝑡 0 existe et est différent du vecteur nul, il définit un vecteur tangent à la courbe définie par la fonction vectorielle 𝑉 𝑡 en t=t0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Si 𝑉′ 𝑡 0 est un vecteur nul, le développement peut s’écrire E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Si 𝑉′ 𝑡 0 = 0 on peut généraliser le vecteur tangent au graphique de la fonction vectorielle est le premier vecteur dérivé d’ordre k non nul de cette fonction vectorielle. On parle de point régulier si 𝑉′ 𝑡 0 ≠ 0 On parle de point singulier de première espèce si 𝑉′ 𝑡 0 = 0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Points singuliers de première espèce Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Points singuliers de première espèce Comment les identifier ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Classification point singulier Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Classification point singulier Définir un repère local permettant de décrire le type de point singulier Rechercher les deux premiers termes non nuls et non colinéaires dans le développement de Taylor 𝐾 1 𝐾 2 P pair  𝑡− 𝑡 0 𝑝 𝑝! ne change pas de signe de part et d’autre de t0 P impair  𝑡− 𝑡 0 𝑝 𝑝! change de signe de part et d’autre de t0 Idem pour q E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Classification point singulier Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Classification point singulier E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple 𝑉 𝑡 = 1+ 𝑡 2 + 𝑡 3 𝑢 𝑥 + 1+ 𝑡 4 𝑢 𝑦 Points singuliers ? 𝑉′ 𝑡 = 2𝑡+3 𝑡 2 𝑢 𝑥 + 4𝑡 3 𝑢 𝑦 Point singulier de première espèce en t=0 (point (1,1)) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple Différentes dérivées jusqu’à en obtenir deux non nulles 𝑉′′ 𝑡 = 2+6𝑡 𝑢 𝑥 + 12𝑡 2 𝑢 𝑦 → 𝑉′′ 0 =2 𝑢 𝑥 (p=2) 𝑉′′′ 𝑡 =6 𝑢 𝑥 + 24𝑡 𝑢 𝑦 → 𝑉′′′ 0 =6 𝑢 𝑥 colinéaire 𝑉′′′′ 𝑡 =0 𝑢 𝑥 +24 𝑢 𝑦 → 𝑉′′′′ 0 =24 𝑢 𝑦 (q=4) P et q pairs  rebroussement de 2e espèce E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Classification point régulier Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Classification point régulier Pour un point régulier on a nécessairement p=1 Seulement deux possibilités selon la parité de q E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Autres types de singularités Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Autres types de singularités On parle de point singulier de première espèce si 𝑉′ 𝑡 0 = 0 D’autres singularités peuvent exister Discontinuité de tangence (point anguleux): dérivée à gauche et à droite différentes Point multiple (la fonction passe plusieurs fois par le même point Point isolé E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Pour identifier les autres types de points singuliers, il est plus simple de passer par la fonction implicite Les points singuliers sont ceux pour lesquels la pente de la tangente à la courbe présente une indétermination (0/0 par exemple) indéterminé E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Règle de l’hospital Sous des conditions d’existence et de continuité satisfaites ici, l’indétermination peut être levée par: Puis en augmentant ensuite l’ordre de dérivation si l’expression conduit encore à une indétermination E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Pente de la tangente Pente E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Équation de deuxième degré en p Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Équation de deuxième degré en p D>0: deux pentes distinctes  point double D=0: une seule tangente  point singulier de 1e espèce D<0: pas de tangente  point isolé E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Type de point D>0 D=0 D<0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple: lemniscate de Bernoulli Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple: lemniscate de Bernoulli Courbe définie par l’équation implicite 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 2 −2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑦 2 =0 Points singuliers ? 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =2.2𝑥. 𝑥 2 + 𝑦 2 −2. 𝑎 2 .2𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =2.2𝑦. 𝑥 2 + 𝑦 2 +2. 𝑎 2 .2𝑥 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Lemniscate de Bernoulli Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Lemniscate de Bernoulli Points singuliers si les deux dérivées s’annulent Dérivée selon x s’annule si x=0 ou x²+y²=a² 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =4𝑥. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑎 2 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes X=0 S’annule si y=0  (0,0) point singulier ? 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑦 2 + 𝑎 2 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 2 −2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑦 2 =0 𝐹 0,0 ≡ 0 2 + 0 2 2 −2 𝑎 2 0 2 − 0 2 =0 OK E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes x²+y²=a² S’annule si y=0  (a,0) et (-a,0) points singuliers ? 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑎 2 + 𝑎 2 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 2 −2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑦 2 =0 𝐹 ±𝑎,0 ≡ 𝑎 2 + 0 2 2 −2 𝑎 2 𝑎 2 − 0 2 =−4 𝑎 4 NOK E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Type de point singulier ? Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Type de point singulier ? 𝜕 2 𝐹 𝜕 𝑥 2 =12 𝑥 2 +4 𝑦 2 −4 𝑎 2 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =4𝑥. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑎 2 𝜕 2 𝐹 𝜕 𝑦 2 =4 𝑥 2 +12 𝑦 2 +4 𝑎 2 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎 2 𝜕 2 𝐹 𝜕𝑥𝜕𝑦 =8𝑥𝑦 𝑒𝑛 0,0 → 4 𝑎 2 𝑝 2 −4 𝑎 2 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Pente des tangentes En (0,0) point double, pente des tangentes = ± 1 (tangentes à 45°) 4 𝑎 2 𝑝 2 −4 𝑎 2 =0 4 𝑎 2 𝑝−1 𝑝+1 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Etude limitée à la forme explicite Asymptote: à l’infini, la fonction rejoint une droite 3 types selon la pente: Verticale Horizontale Oblique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Asymptote horizontale Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Asymptote horizontale Si avec a fini, la courbe présente une asymptote horizontale d’équation y=a De même, si avec b fini, la courbe présente une asymptote horizontale d’équation y=b Une fonction présente au plus deux asymptote horizontales Ex: f(x)=arctan(x) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Asymptote verticale Si avec a fini, la courbe présente une asymptote verticale d’équation x=a Une fonction peut présenter une infinité d’asymptotes verticales Exemple: f(x)=1/x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Asymptote oblique Si avec m fini, la courbe présente une branche asymptotique (mais pas forcément une asymptote oblique) On défini p fini  la droite y=mx+p est asymptote oblique de la fonction P infini  la courbe admet une branche parabolique sans asymptote (‘parabolique’ ne veut pas dire qu’elle se comporte comme une parabole à l’infini) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Asymptote oblique Exemple: f(x)=x+1/x lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 1 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→+∞ 1+ 1 𝑥² =1 lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 1 𝑥 −1.𝑥 = lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 =0  y=x est asymptote oblique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Asymptote oblique Exemple: f(x)=x+√x lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→+∞ 1+ 1 𝑥 =1 lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 𝑥 −1.𝑥 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 =+∞  y=x est une direction asymptotique sans asymptote E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple Asymptote vertical X tend vers 1, y tend vers l’infini E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple Asymptote horizontal en -∞ ? 𝑦=2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple Asymptote horizontal en +∞ ?  Pas d’asymptote horizontal en +∞ E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple Asymptote oblique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple 𝑦=2𝑥+4 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple A.V. A.O. A.H. E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique