Recherche opérationnelle et aide à la décision

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1 Recherche opérationnelle et aide à la décision
RCP101 Philippe Canalda cnam-rcp101-sem

2 Références Livres de référence (principaux) Matériel requis :
Auteurs Titre Thomas Cormen, INTRODUCTION A L'ALGORITHMIQUE Charles Leiserson et Ronald Rivest, (chez Dunod) Faure, Lemaire, Picouleau Précis de Recherche Opérationnelle, 5ème édition Dunod ; Groupe Roseaux Exercices et problèmes résolus de recherche opérationnelle, tome3, Masson ; Minoux M. Programmation Mathématique : théorie des algorithmes, 2 tomes ; Dunod. Matériel requis : les livres de Cormen, Leiserson et Rivest et Faure, Lemaire et Picouleau Matériel produit : vidéo-projection + prises de notes Un support sur les graphes et optimisations 2 supports sur la programmation linéaire Le 20/03/2008

3 Plan 1/4 Introduction Génèse. Enjeux.
Techniques, méthodes et outils : un aperçu. Structures ordonnées, applications des treillis et de l’algèbre de Boole en RO. Exercices Eléments de complexité (des algorithmes et des problèmes). Exercices. 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet Rappels des concepts élémentaires de théorie des graphes : définitions générales, graphes orientés, graphes non orientés, quelques graphes particuliers, représentation des graphes, parcours dans un graphe, exercices. … Le 20/03/2008

4 Plan 2/4 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet …
Application des graphes à la RO Aperçu de méthodes de résolution : approche incrémentale, récursive, notions de programmation dynamique, algorithmes gloutons, problèmes linéaires ou non linéaires avec contraintes, exercices ; Problème du chemin de valeur optimale entre 2 sommets, exercices ; Ordonnancement de projets : méthode PERT et MPM (chemins critiques, marges), exercices ; Traitement des contraintes cumulatives (budget) : flot de valeur maximale, flot de valeur maximale à coût maximal, affectation, arbres optimaux, programmes de transport, …, exercices. Le 20/03/2008

5 Plan 3/4 3. Programmation linéaire et applications à l’entreprise
Généralités : origine, domaines d’application, pertinence. Introduction géométrique puis algébrique à l’algorithme du simplexe : conditions d’existence de solutions (notation MIN, MAX), applications linéaires matricielles, formes analytiques des programmes linéaires, exercices. Problème de la base initiale : méthode à 2 phases de Dantzig, méthodes des pénalités (ou du grand M), exercices. Dualité : introduction, illustration, dualité dans le formalisme particulier et dans le cas général, propriétés mathématiques, interprétation économique, exercices. Analyse en sensibilité (paramétrages) : critiques de la programmation linéaire, paramétrage de la fonction économique, paramétrage du second membre (analyse post-optimale), exercices. 4. … Le 20/03/2008

6 Plan 4/4 4. Analyse multicritère et systèmes interactifs d’aide à la décision (SIAD) Méthodologies, concepts fondamentaux. Méthodes ELECTRE, « Goal-programming ». Présentation des SIAD (intérêts, limites). 5. Processus stochastique et programmation dynamique stochastique 6. Eléments de théorie des files d’attente et de sûreté de fonctionnement Loi de Poisson, exponentielle. File d’attente M/M/1 et applications. Fiabilité des composants, des systèmes (notions). Paramètres de la sûreté de fonctionnement. Le 20/03/2008

7 Evaluation Examen sur table Mini projet
Soit un algo d’optimisation ex : introduire les fdt ds un algo (de prog dyn/géné) résolvant le N-TSP s’appliquant sur 1 territoire multi-convergent Soit un exposé plus collectif sur la gestion des taxis dans le cadre du transport flexible public Autre … travail personnel Le 20/03/2008

8 1.3 Techniques, méthodes et outils : un aperçu.
<Exercices > : « Rend la monnaie », Etant donnée, d’une part une liste de pièces (ordonnée ou non) et étant donné un montant de monnaie à rendre Calculer les combinaisons de pièces à rendre La meilleure Toutes Une Discussion « Les huit reines » « Affectation de ressources » Le 20/03/2008

9 Interaction – Affectation de Ressources
Ensemble de groupes d ’étudiants ou liste, avec le nombre Schéma Ordonnee : 3, 15, 17, …, 127, … Ou non ordonnée : 17, 3, 127, 15, … Ensemble ou liste de classes avec les capacités 20, 30, 30, 70, … Problème : trouver, si elle existe, une affectation ou on s ’assure que chaque groupe aura une affectation de classe Rmq : les problèmes peuvent toujours se complexifier comme : trouver l’affectation qui : Minimise le taux d’occupation Ou bien qui le maximise Le 20/03/2008

10 Interaction – Affectation de Ressources (suite)
Exemple : Ge = 120, 15, 3, 84, 45 Gc= , 90, 89, 30, 140 La méthode basique : Parcourir Ge de g->d et pour chaque élément du tableau parcourir Gc de g->d en cherchant à trouver une affectation libre Cette méthode aboutit à un échec : 126 à 140, 15 à 30, 3 à 90, 84 à 89, mais nous ne pouvons plus affecter 45 Rmq: une solution est plus facilement trouvable lorsque l’on ordonne les éléments manipulés. Par exemple le choix croissant, ou décroissant, d’ordonner la liste des groupes. De même pour la liste des classes et de leurs contenances. Le 20/03/2008

11 « Rend la monnaie » Etant donnée, d’une part une liste de pièces (ordonnée ou non) et étant donné un montant de monnaie à rendre On se donne une Liste ordonnée L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 Un montant m=12,35 euros de monnaie à rendre Calculer les combinaisons de pièces à rendre La meilleure Toutes Une Discussion Le 20/03/2008

12 « Rend la monnaie » : vers une solution
L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros Calculer les combinaisons de pièces à rendre La meilleure, toutes, une, discussion Idée : calculer i) le nombre de pièces de 5 euros à rendre sur => 2, ii) le reste => – 2 * 5 = 2.35, iii) passer à la pièce suivante et recommencer les étapes i) et ii) jusqu’à la fin de la liste ou bien jusqu’à ce que le reste soit nul Le 20/03/2008

13 « Rend la monnaie » : vers une solution
L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros calculer i) le nombre de pièces de 5 euros à rendre sur => 2, ii) le reste => – 2 * 5 = 2.35, iii) passer à la pièce suivante et recommencer les étapes i) et ii) jusqu’à la fin de la liste ou bien jusqu’à ce que le reste soit nul Itérer l’exemple, Automatiser, concevoir votre programme analyser la méthode : exactitude/preuve, observation de la solution/généralisation, amélioration/complexité Le 20/03/2008

14 Itérer l’exemple L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros calculer i) le nombre de pièces à rendre sur m=12.35, i=0, L[0]=5 quotient= 2 = 12.35/5 = m/L[i] ii) le reste m= 2.35 = 12.35%5 = m%L[i], iii) passer à la pièce suivante et recommencer les étapes i) et ii) jusqu’à la fin de la liste ou bien jusqu’à ce que le reste soit nul i++ Le 20/03/2008

15 Automatiser, concevoir votre programme
? (Programme itératif, récursif, parallèle, …) Puis analyser la méthode : exactitude/preuve, observation de la solution/généralisation, amélioration/complexité Le 20/03/2008

16 Exemple de solution analyser la méthode :
L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros calculer Tant que (m <> 0) et (i< L.length) faire // invariant de boucle // on a calculé les occurrences optimales des pièces situées // au rang 0..i Ecrire m/L[i] + « pièces de » + L[i] + « euros » m = m%L[i++] fin tant que // conditions de sortie de la boucle: // m == 0 ou i>= L.length analyser la méthode : exactitude/preuve, observation de la solution/généralisation, amélioration/complexité Le 20/03/2008

17 analyser la méthode : exactitude/preuve,
Déjà fait observation de la solution/généralisation, Calcul de la meilleure solution si elle existe. Elle marche lorsque/parce que La liste est ordonnée en ordre décroissant Contre-exemple évident Les éléments situés aux rangs I+1 et au-delà sont générateurs (pour constituer n’importe quel montant, a fortiori < à celui L[i]) L={5, 2, 1.5} m=9.5 Le 20/03/2008

18 analyser la méthode : Remarques :
Méthode gloutonne qui calcule l’optimal lorsque le meilleur choix local (fait à l’indice i) conduit au meilleur choix global qqsoient les indices suivants Cf cours prochain sur les graphes et les méthodes d’optimisation gloutonnes Le 20/03/2008

19 analyser la méthode : Calcul d’une solution? De toutes les solutions ? ? Souvent il s’agit d’appréhender une approche récursive Le 20/03/2008

20 Exemple de solution bis
Nouvelles étapes : représenter la solution Générer les solutions récursivement Traiter la condition d’arrêt L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros, S_fifo={} calculer Tant que (m <> 0) et (i<= L.length) faire // INVARIANT // on calcule toutes les occurrences des pièces situées // au rang 0..i // on stocke ces occurrences dans une liste FIFO pour j allant de 0 à m/L[i] faire S_fifo.add(j) RelancerCalcul(L, m- j * L[i], i+1, S_fifo) S_fifo.retirerlasteltinséré fin tant que Le 20/03/2008

21 Fin 1er cours Le 20/03/2008

22 Recette méthodologique
Pour résoudre un problème, il existe plusieurs recettes: La première consiste à trouver un algorithme résolvant une version qui simplifie la solution. Ceci peut-être obtenue en généralisant le problème Ne pas limiter le nombre d’occurrences des pièces En le simplifiant du point de vue combinatoire Ordonner la liste des pièces dans l’ordre décroissant des valeurs des pièces Ensuite, il est toujours plus aisé de rajouter des contraintes comme limiter le nombre d’occurrences des pièces Mais il le sera moins de tenir compte d’une liste non ordonnée mais que nous pourrons ordonner pour se ramener au problème que nous aurons su résoudre ou bien entrevoir la solution Le 20/03/2008

23 Travail personnel : Résoudre le problème avec limitation du nombre d’occurrences des pièces Avancer le support Le 20/03/2008

24 Exemple de solution bis
Nouvelles étapes : représenter la solution Générer les solutions récursivement Traiter la condition d’arrêt L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros, S_fifo={} calculer If m== // solution trouvée ecrire S_fifo else // m<> if i >= L.length // pas de solution else // m<>0 et i <= L.length // on continue // on calcule toutes les occurrences des pièces situées // au rang 0..i-1 et on stocke ces occurrences dans une liste FIFO pour j allant de 0 à m/L[i] faire S_fifo.add(j) RelancerCalcul(L, m- j * L[i], i+1, S_fifo) S_fifo.retirerlasteltinséré fin pour Le 20/03/2008

25 Programme Conduire le programme récursif
Appliquer la méthode à l’exercice des 8 reines Présenter les structures ordonnées Des applications des treillis et de l’algèbre de Boole Exercices Le 20/03/2008

26 Fin 2ème cours Début 3ème cours Tableau first in first out
Fichiers spéciaux : file d’attente Implantation de cette liste En tableau En tableau et liste circulaire avec les modulo Les listes pointeur de façon abstraite // labouebe : pourquoi les le snap-shot (duplicate) de l’échiquier avant le placement de la reine peut permettre de traiter du LLisme ? Voir inscription de Yann Deboeuf Le 20/03/2008

27 analyser la méthode : exactitude/preuve,
Déjà fait grâce à l ’invariant et avec un déroulement de programme observation de la solution/généralisation, Calcul de toutes les solutions existantes. Elle marche que La liste soit ordonnée en ordre décroissant ou non le lancement se fait avec RelancerCalcul(L, m, i=0, S_fifo={}) Le 20/03/2008

28 déroulage Appliquer le programme précédent sur un exemple court mais réaliste… Une taille |L|=2, Une liste ordonnée décroissante, ou non ordonnée Une liste qui montre l’intérêt de générer exhaustivement les solutions une solution à laquelle vous pourrez apporter des modifications d’optimisations L={3, 2} Le 20/03/2008

29 « Les huit reines » Etant donnée, une taille de l’échiquier et un nombre de reines à placer Calculer les combinaisons des positionnements des reines Toutes Certaines selon heuristiques (positions du cavalier) Discussion Le 20/03/2008

30 Chapitre 1 Structures ordonnées Treillis Algèbre de Boole Applications
Exercices Le 20/03/2008

31 Chapitre 1 : Structures ordonnées
Notions Algèbres de Boole Le 20/03/2008

32 Chapitre 1 : Structures ordonnées
Relations, relations binaires, propriétés Une relation désigne n’importe quel sous-ensemble du produit cartésien de 2 ou de plusieurs variables Exemple 1 Prod_cart = A x B avec A = {a,b,c} et B={e1,e2,e3,e4} alors Prod_cart={(a,e1), (a,e2), (a,e3), (a,e4), (b,e1), (b,e2), (b,e3), (b,e4), (c,e1), (c,e2), (c,e3), (c,e4)} admet le sous-ensemble R={(a,e2), (b,e1), (c,e4)} Le 20/03/2008

33 Chapitre 1 : Structures ordonnées
relation binaire Une relation binaire sur E (abus de langage) est un sous-ensemble de E x E Exemple 2 Prod_cart E x E, avec E = {x, y, z} Représentation matricielle ou sous-forme de tableau (x,x) (x,z) (y,y) (z,x) R1 (x,x) (x,y) (y,z) (z,x) (z,z) (x,x) (x,y) (x,z) (y,x) (y,y) (y,z) (z,x) (z,y) (z,z) Produit cartésien R2 Le 20/03/2008

34 Ch1, Relations spéciales
Relation diagonale Δ = {(x,x), (y,y), (z,z)} Relation réflexive Contient la diagonale Relation symétrique Prtt (x, y) in E x E alors (y,x) in ExE R1 est symétrique mais n’est pas réflexive Relation anti-symétrique Prtt x et y , (y,x) not in R si (x,y) in R, sauf si x=y R2 est anti-symétrique mais n’est pas réflexive (x,x) (x,z) (y,y) (z,x) R1 (x,x) (x,y) (y,z) (z,x) (z,z) R2 Le 20/03/2008

35 Ch1, Relations spéciales
Relation transitive Si (x,y) et (y,z) in R alors (x,z) in R Les contraires : irréflexif, asymétrique et intransitif R est irréflexive si elle contient aucun élément diagonal Elle est asymétrique si elle n’est symétrique pour aucun couple de R Elle est intransitive si elle n’est transitive pour aucune paire de couples de R (x,x) (x,y) (x,z) (y,z) (z,z) R3 X,x X,y X,t Y,x Y,y Y,t Z,z T,x T,y T,t R4 Le 20/03/2008

36 Ch1, Relations spéciales
Qualifier R3 et R4 ? (x,x) (x,y) (x,z) (y,z) (z,z) R3 R3 Pas réflexive, anti-symétrique et transitive R4 Réflexive, symétrique et transitive X,x X,y X,t Y,x Y,y Y,t Z,z T,x T,y T,t R4 Le 20/03/2008

37 Ch1, Relations spéciales
Qualifier R5 et R6 ? (x,y) (y,z) (z,x) R5 R5 irréflexive, asymétrique et intransitive R6 Elle n’est rien … ou plutôt elle est non réflexive, non symétrique et non transitive (x,x) (x,y) (x,z) (y,z) (z,x) R6 Le 20/03/2008

38 Heuristique : pour trouver les graphes circulaires à une composante connexe
Tester si irréfexif Intransitf Et asymétrique Le 20/03/2008

39 Programme Présenter La suite des structures ordonnées
Les treillis et des applications L’algèbre de Boole Exercices Eléments de complexité (des algorithmes et des problèmes). Exercices. 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet Rappels des concepts élémentaires de théorie des graphes : définitions générales, graphes orientés, graphes non orientés, quelques graphes particuliers, représentation des graphes, parcours dans un graphe, exercices. … Le 20/03/2008

40 Ch1 : Préordre, équivalence, ordre
Une relation de préordre est une relation réflexive et transitive Une relation d’équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive Une relation d’ordre (large) est réflexive, antisymétrique et transitive Exemple du critérium des champions Les champions sont classés selon la relation « avoir obtenu un rang meilleur ou aussi bon que » : 1er Camille, 2ème ex aequo Anatole et Désiré, 4ème Ernest 5ème Bernard Donner la représentation sous-forme de tableau avec A=Anatole, B=Bernard, …, E=Ernest Le 20/03/2008

41 Fin de cours 3 Le 20/03/2008

42 Exemple du critérium des champions
Les champions sont classés selon la relation « avoir obtenu un rang meilleur ou aussi bon que » : 1er Camille, 2ème ex aequo Anatole et Désiré, 4ème Ernest 5ème Bernard Donner la représentation sous-forme de tableau avec A=Anatole, B=Bernard, …, E=Ernest (a,a) (b,b) (c,c) (d,d) (e,e) réflexif Le 20/03/2008

43 Exemple du critérium des champions
Les champions sont classés selon la relation « avoir obtenu un rang meilleur ou aussi bon que » : 1er Camille, 2ème ex aequo Anatole et Désiré, 4ème Ernest 5ème Bernard Donner la représentation sous-forme de tableau avec A=Anatole, B=Bernard, …, E=Ernest (a,a) (a,b) (a,d) (a,e) (b,b) (c,a) (c,b) (c,c) (c,d) (c,e) (d,a) (d,b) (d,d) (d,e) (e,b) (e,e) réflexif, non symétrique, et transitif, n’est pas anti-symétrique Le 20/03/2008

44 Exemple de relation d’équivalence
Considérons la relation « être parallèle à ou confondu avec », pour les 2 groupes de droites parallèles suivantes : A || C et B || D || E. Donner la représentation sous-forme de tableau En considérant l’exemple du critérium, déterminer les classes d’équivalence (a,a) (a,c) (b,b) (b,d) (b,e) (c,a) (c,c) (d,b) (d,d) (d,e) (e,b) (e,d) (e,e) réflexif, symétrique, et transitif 2 classes {A,C} et {B,D,E} Le 20/03/2008

45 Vers un ordre strict… (a,a) (a,b) (a,d) (a,e) (b,b) (c,a) (c,b) (c,c)
Il est manifeste que {A,D} forme une classe d’équivalence. Et cela correspond assez à la relation « avoir le même rang que ». En faisant le quotient du pré-ordre par cette relation d’équivalence on obtient 4 classes qui s’ordonnent strictement 2 à 2 selon la relation « avoir un meilleur rang que » : Les 4 classes {C}, {A, D}, {E} et {B} Avec {C} > {A, D} > {E} > {B} Réordonner le tableau suivant les rangs croissants C, A, D, E et B Donner le tableau de la relation stricte sur les classes Qualifier cette relation et remarquer qu’elle est irréflexive, asymétrique et transitive (a,a) (a,b) (a,d) (a,e) (b,b) (c,a) (c,b) (c,c) (c,d) (c,e) (d,a) (d,b) (d,d) (d,e) (e,b) (e,e) Le 20/03/2008

46 Un ordre au sens large (i.e. moins strict)
Rappel : Elle est réflexive, anti-symétrique et transitive Soit N* et la relation x | y (x divise exactement y, sans reste / ou encore x modulo y ==0). Montrer que la relation est un ordre au sens large Soit X un sous-ensemble de N* tel que X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30} Calculer le tableau représentant x | y sur X Le 20/03/2008

47 Ordres partiels et totaux
(1,1) (1,2) (1,3) (1,5) (1,10) (1,20) (1,30) (2,2) (2,10) (2,20) (2,30) (3,3) (3,30 (5,5) (5,10) (5,20) (5,30) (10,10) (10,20) (10,30) (20,20) (30,30) Rappel : Elle est réflexive, anti-symétrique et transitive Soit N* et la relation x | y (x divise exactement y, sans reste / ou encore x modulo y ==0). Montrer que la relation est un ordre au sens large Soit X un sous-ensemble de N* tel que X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30} Calculer le tableau représentant x | y sur X La réflexivité est visible, l’anti-symétrie aussi, la transitivité un peu moins tous les éléments ne sont pas comparables au dessus de la diagonale Le 20/03/2008

48 Ordres partiels et totaux
La relation d’ordre est partielle lorsque tous les éléments ne sont pas comparables 2 à 2 Sinon elle est totale Le 20/03/2008

49 Représentation sagittale et diagramme de Hasse
Dans une représentation sagittale 2 éléments a et b sont représentés chacun par 1 pt, ils sont réunis par un arc orienté a – b si a R b Exemple si a | b il y a autant d’arcs que de couples dans la représentation tableau de la même relation Dans le diagramme de Hasse, les arcs qui résultent de la réflexivité et de la transitivité sont supprimés Donner ces 2 représentations de la relation « | » sur X Énumérer des 3 représentations informatiques : tableau, sagittal, diagramme de Hasse Donner les algorithmes qui produisent les 2 dernières représentations à partir de la 1ère représentation (le tableau à 2 dimensions) Le 20/03/2008

50 Il exploite l’ordonnancement des éléments de N* manipulés.
L’exercice de transformation de la matrice sagittale en diagramme de Hasse est TRES intéressant. Il exploite l’ordonnancement des éléments de N* manipulés. Le 20/03/2008

51 Excellente prise de note : Support de cours :
NotesCoursN°4.pdf Support de cours : cours1..4.pdf Le 20/03/2008

52 Programme Présenter Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné
Les treillis et des applications L’algèbre de Boole Exercices Eléments de complexité (des algorithmes et des problèmes). Exercices. 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet Rappels des concepts élémentaires de théorie des graphes : définitions générales, graphes orientés, graphes non orientés, quelques graphes particuliers, représentation des graphes, parcours dans un graphe, exercices. … Le 20/03/2008

53 Quelques propriétés Pour obtenir une représentation d’un ordre strict à partir d’un ordre large (réflexive, antisymétrique et transitive) il faut … … il faut supprimer la diagonale. Rmq : 1 une relation réflexive, asymétrique et transitive définit un ordre strict. 2 elle peut induire un ordre partiel ou bien un ordre total Exemple : représentez la relation stricte correspondant à ‘||’ qui signifie divise (à la manière euclidienne) et n’est pas égal. L’ordre obtenu est-il strict ou partiel ? Justifiez. Le 20/03/2008

54 Quelques propriétés A toute relation <= (ou <) correspond une relation converse >= (>, respectivement) Question : comment l’obtiendriez-vous cette relation converse ? Symétrie par rapport à la diagonale Le 20/03/2008

55 Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné (1/3)
Définition : un ensemble sur lequel est défini une relation d’ordre (partiel ou total) est dit (partiellement ou totalement) ordonné. X un ensemble partiellement ordonné par la relation <=, et une partie P de X Un minorant m de P est un élément m de X qui est <= tout élément x de P Similairement, un majorant M de P est un élément M de X qui est >= tout élément x de P Un élément maximal de P est un élément M de P pour lequel il n’existe pas d’élément de P > à M Similairement, un élément minimal de P est un élément M de P pour lequel il n’existe pas d’élément de P < à M Le 20/03/2008

56 Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné (2/3)
Le plus grand élément E (maximum) de P est tel que, pour tout x de P on a E >= x Similairement, le plus petit élément e (minimum) de P est tel que, pour tout x de P on a e <= x La borne supérieure (b.s.) B (suprémum) de P, noté aussi supP est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de P. Similairement la borne inférieure (b.i.) b (infimum) de P, noté aussi infP est le plus grand élément de l’ensemble des minorants de P. L’élément universel de X est le plus grand élément de X. L’élément nul de X est le plus petit élément de X. Rmq : tous ces éléments n’existent pas forcément, dû au fait notamment que parfois les éléments ne sont pas comparables. Le 20/03/2008

57 Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné : Exemple (3/3)
Soit X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30}, un ensemble ordonné partiellement par la relation x | y (x divise y). Pour les deux parties suivantes, P_1={2,3,5,10} et P_2={2,5,10} qualifiez les les majorants de P, les minorants de P, les éléments maximaux et les éléments minimaux, le plus grand élément de P, le plus petit élément de P, la b.s., la b.i., l’élément universel et l’élément nul. Le 20/03/2008

58 Prise de note <à fournir/venir>: Support de cours :
NotesCoursN°5.pdf Support de cours : cours1..5.pdf Le 20/03/2008

59 Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné (Synthèse)
Définition : un ensemble sur lequel est défini une relation d’ordre (partiel ou total) est dit (partiellement ou totalement) ordonné. X un ensemble partiellement ordonné par la relation <=, et une partie P de X Un minorant m de P est un élément m de X qui est <= tout élément x de P Similairement, un majorant M de P est un élément M de X qui est >= tout élément x de P Un élément maximal de P est un élément M de P pour lequel il n’existe pas d’élément de P > à M Similairement, un élément minimal de P est un élément M de P pour lequel in n’existe pas d’élément de P < à M Le plus grand élément E (maximum) de P est tel que, pour tout x de P on a E >= x Similairement, le plus petit élément e (minimum) de P est tel que, pour tout x de P on a e <= x La borne supérieure (b.s.) B (suprémum) de P, noté aussi supP est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de P. Similairement la borne inférieure (b.i.) b (infimum) de P, noté aussi infP est le plus grand élément de l’ensemble des minorants de P. L’élément universel de X est le plus grand élément de X. L’élément nul de X est le plus petit élément de X. Le 20/03/2008

60 Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné : Exemple (3/3) résultat 1
Soit X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30}, un ensemble ordonné partiellement par la relation x | y (x divise y). P={2,3,5,10} Les majorants de P, 30 Les minorants de P, 1 les éléments maximaux, {3, 10} et les éléments minimaux, {2, 3, 5} le plus grand élément de P, inexistant le plus petit élément de P, inexistant la b.s. de P de X, 30 la b.i., 1 l’élément universel, inexistant et l’élément nul, 1 Le 20/03/2008

61 Les éléments particuliers d’un ensemble ordonné : Exemple (3/3) résultat 2
Soit X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30}, un ensemble ordonné partiellement par la relation x | y (x divise y). P={2,5,10} Les majorants de P, {10, 20, 30} Les minorants de P, {1} les éléments maximaux, {10} et les éléments minimaux, {2, 5} le plus grand élément de P, {10} le plus petit élément de P, inexistant la b.s. de P, 10 la b.i. de P, 1 Inchangés l’élément universel, inexistant et l’élément nul, 1 Le 20/03/2008

62 Exemples d’usages de ces éléments particuliers 1/2
La connaissance a priori des données sur lesquelles un calcul combinatoire (ou des optimisations) doi(ven)t s’opérer. cas où l’usage du calcul succède nettement dans le temps à la disponibilité des données … => optimisations dites statiques ou le résultat peut être stocké sous la forme de tableaux, diagramme sagittal / graphe / automate, diagramme de Hass, etc. Cette partie statique peut parfois correspondre à une génération de données et/ou de code qui, une fois compilées et ajoutées à un noyau d’optimisation dynamique, produira après compilation puis exécution les résultats attendus (voir ci-après). … et où parfois l’usage a posteriori (dé)limite le champ d’application du calcul combinatoire sur les données initiales => optimisations dites dynamiques qui exploiteront peut-être les traitements statiques antérieurs consécutivement à, et de manière pas nécessairement exclusive, Compilation, filtrage, parcours d’automate ou de graphe ou … Le 20/03/2008

63 Exemples d’usages de ces éléments particuliers 2/2 a
Sur un réseau ou territoire donné, nous disposons des distances séparant les nœuds 2 à 2. Dans un premier temps, et à des fins de simplification, nous comptabiliserons le nombre de segments/arcs séparant différents points/nœuds (d’un graphe) G=(N={0,1,2,3,4,5,6,7,8},E={(0,5),(0,7),(5,7),(5,3),(3,6),(3,2),(7,3),(7,8),(7,1),(7,4),(4,8), (5,1)}) Nous souhaitons écrire un programme qui, étant donné un sous-ensemble de ces nœuds et arcs, calcule la liste des noeuds rangés par ordre croissant des distances à un nœud particulier donné. Pour le nœud 0 et le sous-ensemble N0={1,3,4,5,7} et les arcs associés E0={={(0,5),(0,7),(5,7),(7,3),(7,1),(7,4), (5,1)} et le résultat attendu est L0={0,5,7,1,3,4} Le 20/03/2008

64 Exemples d’usages de ces éléments particuliers 2/2 b
G=(N={0,1,2,3,4,5,6,7,8},E={(0,5),(0,7),(5,7),(5,3),(3,6),(3,2),(7,3),(7,8),(7,1),(7,4),(4,8),(5,1)}) Pour le nœud 0 et le sous-ensemble N0={0,1,3,4,5,7} et les arcs associés E0={(0,5),(0,7),(5,7),(7,3),(7,1),(7,4), (5,1)} et le résultat attendu est L0={0,5,7,1,3,4} Il s’agit de calculer les plus courts chemins depuis 0 vers tous les points (par extension de tout point en tout point), de ranger dans L les nœuds en fonction de la distance croissante (mais aussi par ordre alphanumérique en cas d’égalité _ car nous avons un ordre partiel) puis lors de l’optimisation dynamique il suffit de parcourir la liste initiale L en exhibant les index des nœuds présents dans N0. Le 20/03/2008

65 Prise de note <à fournir/venir>: Support de cours :
NotesCoursN°6.pdf Support de cours : cours1..6.pdf Le 20/03/2008

66 Exemples d’usages de ces éléments particuliers 2/2 c
Il s’agit de calculer les plus courts chemins depuis 0 vers tous les points (par extension de tout point en tout point), de ranger dans L les nœuds en fonction de la distance croissante (mais aussi par ordre alphanumérique en cas d’égalité _ car nous avons un ordre partiel) puis lors de l’optimisation dynamique il suffit de parcourir la liste initiale L en exhibant les index des nœuds présents dans N0. Donner la représentation matricielle, Caractériser la relation (propriétés) Donner la représentation sagittale La représentation du diagramme de Hasse a-t-elle un sens dans le cas présent et pourquoi Concevez l’algorithme i) qui calcule les plus courts chemins de tout point en 0 Etendez cet algo en un algo ii) qui retourne la liste ordonnée totalement selon les distances puis, en cas d’égalité, la liste ordonnée selon l’ordre alphanumérique Concevez l’algorithme iii) qui calcule la sous-liste L0 correspondant au sous-graphe G0=(N0,EO)=G\{2,4,6,8} Concevez l’algo qui étend i) en iv) qui calcule les plus courts chemins de tout point en tout point Discussion EXERCICE TRES INTERESSANT A REALISER Le 20/03/2008

67 Les treillis – définition 1/2
Lorsque la partie P de X est réduite à 2 éléments (« paire ») {x,y}, il peut exister une b.s. et/ou une b.i. La b.s. lorsqu’elle existe se note x V y La b.i. lorsqu’elle existe se note x Λ y Définition : on appelle treillis un ensemble partiellement ordonné dans lequel, pour toute paire d’éléments, il existe une b.s. et une b.i. Propriété : la définition axiomatique de la page 7 peut être substituée Bas de la page 7 preuve de 4’ Le 20/03/2008

68 Suite au bas de la page 7 Les propriétés et exercices sur les treillis
Preuves par développements et réductions Preuves par l’absurde L’algèbre de Boole Isomorphisme de l’algèbre de Boole à un corps d’ensemble Le 20/03/2008

69 Les treillis – définition 2/2
Soit un ensemble T, dont les éléments sont munis de 2 lois de composition, V (OU) et Λ (ET), vérifiant, Qqsoit x, y et z Є T, les propriétés : 1’- x OU y = y OU x (commutativité) 1- x ET y = y ET x 2’- x OU (y OU z) = (x OU y) OU z (associativité) x ET (y ET z) = (x ET y) ET z 3’- x OU x = x (idempotence) 3- x ET y = x 4’- x OU (x ET y) = x (absorption) x ET (x OU y) = x Alors T constitue un ensemble ordonné par la relation ≤ telle que : 5- [x ≤ y]  [x ET y] = x  [x OU y] = y T est un treillis Le 20/03/2008

70 Les treillis – exemple Considérons l’ensemble T des diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, ordonnés par la relation x | y. Si l’on considère le diagramme de Hasse associé (et que vous construirez), et si l’on considère que la b.s. de 2 éléments est leur ppcm et que la b.i. de 2 éléments est leur pgdc, Alors T, associé à b.i. et b.s. forment un treillis L’élément universel est 30, l’élément nul est 1. De façon générale, N* ordonné par ‘|’ présente une structure de treillis infini dont l’élément nul est toujours 1 et n’ayant pas d’élément universel Élaborer les 2 diagrammes de Hasse, celui pour x | y, puis la nouvelle relation Le 20/03/2008

71 Les treillis – autres définitions 1/2
Un treillis T avec élément nul n et élément universel U est complémenté si, qqsoit x de T, il existe une association possible d’un élément x noté x-barre telle que: 6- x OU x-barre = U et 6’- x ET x-barre = n Exercice vérifier si le treillis de l’exemple précédent est complémenté Montrer que le système d’axiomes (1-4), (1’-4’) n’est pas minimal, tout spécialement vous pourrez montrer que l’absorption entraîne l’idem-potence. Ainsi le système d’axiomes (1, 2, 4, 1’, 2’, 4’) est minimal ou générateur. Le 20/03/2008

72 Les treillis – autres définitions 2/2
Un treillis est distributif si, aux axiomes 1à 4 et 1’ à 4’ s’ajoutent, qqsoit x, y et z de T: 7- x OU (y ET z) = (x OU y) ET (x OU z) Exercice Ces axiomes entraînent : 7’- x ET (y OU z) = (x ET y) OU (x ET z) Inversement 7’ entraîne 7 Dans un treillis distributif la complémentation est unique (démonstration par l’absurde) Un treillis à la fois distributif et complémenté est appelé treillis de Boole. Il est isomorphe à une algèbre de Boole qui est : Un ensemble partiellement ordonné, doté d’un élément nul et d’un autre universel, dont les éléments vérifient 1à 4, 1’ à 4’, 6, 6’, 7 La relation d’ordre est définie par une des 4 relations suivantes : 5*- [x ≤ y]  [x ET y] = x  [x OU y] = y  x ET y-barre = 0  x OU y-barre =1, avec n=0 et U=1 Le 20/03/2008

73 Une algèbre de Boole Une algèbre de Boole à un générateur, différent de 0 et de 1, comporte 4 éléments. (diagramme de Hasse) A 2 éléments, il comporte 16 éléments. (cf. page 9) Théorème de Stone : Toute algèbre de Boole est isomorphe à un corps d’ensemble. Exemple : à partir de l’algèbre de Boole à 2 générateurs a et b tels que a != b et a ET b ! = 0, on fait plus clairement apparaître … Le 20/03/2008

74 Corps d’ensemble Exemple : à partir de l’algèbre de Boole à 2 générateurs a et b tels que a != b et a ET b ! = 0, on fait plus clairement apparaître … Dans une forme parallélépipédique (diagramme d’Euler-Venn) représentant l’univers 1 : A, B, A ∩ B, A ∩ B-barre, A-barre ∩ B, A-barre ∩ B-barre qui sont des « régions » correspondant aux atomes respectifs a, b, a ET b, a OU b-barre, a-barre ET b, a-barre ET b-barre On appelle corps d’ensembles une famille de parties d’un ensemble, munie des opérations ensemblistes classiques (réunion, intersection, complémentation). Le 20/03/2008

75 Corps d’ensemble Représentation ensembliste des algèbres de Boole
Logique aristotélicienne (bas de la page 13) Principe de contradiction (page 14) Formules de Morgan (pages 15-…) Le 20/03/2008

76 La suite déjà traitée en pointillée
Représentation ensembliste des algèbres de Boole Logique aristotélicienne (bas de la page 13) Principe de contradiction (page 14) Formules de Morgan (pages 15-…) L’algèbre de Boole binaire (pages 22- …) Notions de complexité (pages 48-…) Éléments de la théorie des graphes : définition, concepts essentiels, parcours des graphes (pages 60-…) Application des graphes à la recherche opérationnelle Notions de programmations dynamiques (pages 95-…) … Le 20/03/2008