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La construction du concept de nombre entier à lécole primaire Ce document est en ligne à cette adresse :

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1 La construction du concept de nombre entier à lécole primaire Ce document est en ligne à cette adresse : I) Remarques préalables II) De façon générale, et quel que soit le niveau de classe, quest-il important, de faire comprendre aux élèves concernant le nombre ? III) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle IV) Lintroduction de notre système de numération au cycle 2 V) Numération chiffrée et numération orale VI) Les « grands nombres » au cycle 3 VII) Exemples de problèmes pour chercher dans le domaine numérique (cycle 2 et cycle 3)

2 Le nombre entier permet dindiquer une quantité (aspect cardinal du nombre). Le nombre entier a aussi un aspect ordinal : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Boîte contenant un objet « Comment faire comprendre dans quelle boîte se trouve lobjet, sans montrer cette boîte ? » Exemple dactivité : Remarque importante : On ne peut pas bien concevoir la notion de nombre si on nest pas conscient des liens qui unissent les nombres : Exemples : « 3 est plus petit que 4 » ; « 3 et 1 ça fait quatre ». I) Remarques prélables Sommaire

3 II) De façon générale, et quel que soit le niveau de classe, quest-il important de faire comprendre aux élèves concernant le nombre ? 1°) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour lélève …) Salle de jeu Dortoir Exemples au cycle 1(GS) Premier exemple (inspiré dune proposition de Dominique Valentin) Combien de bébés ont fini leur sieste et sont dans la salle de jeux ? Combien de bébés font encore la sieste dans le dortoir ? Remarque : pour consulter une fiche de préparation concernant cette activité, vous pouvez cliquer ICI (document sur le site du GDM 68)ICIsite du GDM 68 Sommaire

4 Deuxième exemple On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusquà lanniversaire de Pierre ? 17 Sommaire

5 Exemple au cycle 2 (CP) : Dans mon porte-monnaie, jai trois pièces de 1 et trois pièces de 2. Est-ce que je peux acheter ce livre qui coûte 7 ? Exemple au cycle 3 (CM1) : Si quatre enfants se partagent vingt-huit bonbons, combien en auront-ils chacun ? Pour des problèmes de recherche intéressants au niveau maternelle, voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et louvrage de léquipe Ermel pour la GS : (vous pouvez cliquer sur chacune des images pour plus de précisions) Sommaire

6 On peut aussi utiliser le matériel proposé par Brissiaud (PS, MS et GS) (cliquer sur les images pour plus de précisions) MS-GS GS PS et les ouvrages proposés par les éditions Accès : GS MS PS Sommaire

7 2°) Faire comprendre quun nombre a plusieurs représentations et quil faut savoir passer dune représentation à une autre Sommaire Source

8 Et si on dépasse la notion dentier : Sommaire

9 Une remarque concernant les écritures à virgule mais destinée à des enseignants du cycle 2 : Si, au cycle 2, on est allé trop vite vers des automatismes du genre « quand on multiplie par 100 on ajoute deux 0 (« règle des zéros »), on renforce, me semble-t-il, le risque quau cycle 3 des élèves écrivent : 2,3 × 100 = 2,300. Il me parait donc souhaitable de garder le plus longtemps possible du sens en écrivant : 12 × 100 = 12 centaines = 1200 Sommaire

10 3°) Faire comprendre que les nombres sont « liés les uns aux autres » Exemples : Idées et illustration extraites de louvrage de Rémi Brissiaud « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à lécole maternelle » « un » « et un » « quatre » En utilisant les doigts, on peut aussi montrer que : « deux » « et encore un » « ça fait trois » (cliquer sur limage pour plus dinformations) Remarque : Dans cet ouvrage des idées fort intéressantes sont développées et des propositions dactivités concrètes pertinentes sont proposées mais, comme Charnay, je ne trouve pas souhaitable de suivre Brissiaud quand il recommande de ne pas pratiquer en PS et début de MS de dénombrement par comptage. Cest une procédure de dénombrement parmi dautres, certes difficile, mais cest précisément parce que cest une procédure difficile utilisée systématiquement en dehors de lécole quil ne me semble pas souhaitable de la bannir en PS et début de MS. Ceci étant dit, les activités proposées par Brissiaud ne manque pas dintérêts. Sommaire

11 Remarque : On peut travailler les décompositions à laide des représentations analogiques (dés, cartes à points, configurations de doigts, etc.) Sommaire

12 « Montrez-moi 4 doigts avec 2 mains » « Montrez-moi 3 doigts avec 1 main, maintenant avec 2 mains » etc... Source des photos : Page dentrée du site : Sommaire

13 Remarque sur lutilisation des doigts : il semble souhaitable de ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts pour représenter les nombres Sommaire

14 4°) La manipulation est, bien évidemment intéressante pour sapproprier les situations et les problèmes posés mais il est souhaitable damener les élèves à anticiper sur le résultat dune manipulation car cest ainsi quon peut amener lélève à élaborer des procédures. Boîte opaque Combien y a-t-il de jetons dans la boîte ? On peut ensuite vérifier en vidant la boîte. (la réflexion précède ici la manipulation qui sert à vérifier si le résultat quon a trouvé est exact) On ajoute trois jetons. On ajoute quatre jetons. Sommaire

15 5°) Il faut attacher de limportance au choix des différentes contraintes (ou variables didactiques) lors de la mise en place de situations de recherche Exemple (situation de référence proposée par R. Charnay On dispose dun nombre donné de bouteilles et de bouchons (en nombre plus important que le nombre de de bouteilles) ; lélève doit préparer juste ce quil faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Première variante : le nombre de bouteilles est assez important mais les bouchons sont à proximité des bouteilles (il sagit de sapproprier la situation et de faire en sorte que la contrainte « un bouchon pour chaque bouteille » soit respectée). Deuxième variante : il y a 5 à 6 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont proches mais il faut préparer les bouchons sur un plateau avant de les mettre sur les bouteilles. Troisième variante : il y a 4 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés ; lélève doit aller chercher les bouchons avec un plateau en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). Quatrième variante : il y a jusquà dix bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois bouchons ; aller chercher les bouchons en plusieurs fois puis en une seule fois. Sommaire

16 1°) La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) dénombrement par comptage : on utilise la comptine numérique 2°) Il est souhaitable de varier les types de dénombrement : Pour cela, on peut travailler les décompositions: « Un, un, un et encore un ça fait quatre » « Trois et un ça fait quatre » On peut aussi procéder ainsi : dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) Remarque concernant le dénombrement par comptage : Ce qui est difficile cest de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. III) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle Pour voir quelles activités à quels niveaux, cliquer ICIICI Sommaire

17 Si les objets sont déplaçables : Si les objets ne sont pas déplaçables : « un » « deux » « trois » « quatre » « un » « deux » « trois » « quatre » Remarque : pour réussir à dénombrer les éléments dune collection par comptage lenfant doit - connaître la comptine numérique - savoir associer à chaque élément de lensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans lordre - comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets - comprendre que la nature des objets à compter na pas dimportance - comprendre quon peut compter les objets dans nimporte quel ordre. Sommaire

18 Remarque supplémentaire concernant le dénombrement par comptage : Savoir dénombrer par comptage un par un suppose de savoir énumérer les éléments dune collection cest-à-dire de savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois. Pour des précisions concernant lénumération, voir, par exemple : Sommaire

19 IV Lintroduction de notre système de numération au cycle 2 Notre système de numération est basé sur les groupements (on fait des paquets de dix puis de cent puis…) mais ce qui est important cest que lélève comprenne lintérêt de faire des paquets de dix (quand on a beaucoup dobjets à dénombrer, on fait des paquets et ensuite on compte ces paquets). Exemples dexercices permettant de voir si un élève a compris ou pas lintérêt de faire des paquets : Premier exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de croix.X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Sommaire

20 Deuxième exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de doigts. Sommaire

21 Troisième exemple : Dessine dans le grand cadre blanc le nombre de croix correspondant au nombre écrit sur létiquette. Attention, on doit tout de suite voir que cest juste. Sommaire

22 Pour les CP, il sagira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 60 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers dobjets. Lévolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes : Par exemple dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2),« les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie. Les « fourmillions » Source de limage : Sommaire

23 - Passer du registre des désignations orales au registre des écritures chiffrées nécessite de comprendre que certains mots sont traduits par des chiffres et dautre pas et en plus quil faut écrire des chiffres « quon nentend pas » : est traduit par le chiffre 3 nest pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 3 doit être mis à une certaine place : 3 _ _ _ troismilledeux est traduit par le chiffre 2 cent nest pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 2 doit être mis à une certaine place : 3 2 _ _ trois est traduit par le chiffre 3 mais on doit écrire aussi un 0 « quon na pas entendu » : Notre système de numération orale est un système hybride dans lequel les noms des nombres sont composés suivant un principe additif (dix-sept) ou multiplicatif (deux-cents). V) Numération chiffrée et numération orale 1°) Remarques préalables : Sommaire

24 - Parmi les différentes manières de représenter les nombres on peut citer la représentation « en carte à points » qui permet, en particulier de travailler les doubles et les compléments à dix. Pour plus dinformations sur les cartes à points voir : (site de Jean-Luc Brégeon) Sommaire

25 - on peut utiliser « les cartons Montessori » EN NOIR EN VERT

26 2°) Le passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement Une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale car en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit "soixante-douze" et pas "septante- deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.). b) Des nombres ayant des noms bizarres » a) Les noms des dizaines 40 se dit quarante alors que dans les langues asiatiques ont dit « quatre-dix », ce qui est beaucoup plus porteur de sens. Stella Baruk les appellent « les cachotiers » Sommaire

27 Remarques - on peut travailler sur les écritures chiffrées de ces nombres avant de savoir les nommer 7 8 soixante - dix - huit Autrefois, certains aimaient bien faire des paquets de soixante Sommaire

28 8 3 quatre-vingt-trois 9 4 quatre-vingt-quatorze - On peut utiliser ce quon entend : Pour soixante treize : = 73 Pour quatre-vingt-deux : = 82 Pour 93 : = 93 Autrefois, certains comptaient avec les doigts des mains et des pieds. Sommaire

29 c) Des idées tirées du tome 1 de louvrage de Stella Baruk « Comptes pour petits et grands » publié aux éditions Magnard) Le fil conducteur est de sappuyer sur ce quon entend. Exemples : (cliquer sur limage) Sommaire

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31 Deuxième idée : On peut concevoir des exercices où on passe du registre de langue belge ou suisse à notre registre de langue et réciproquement : Sommaire

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33 Et pour les grands nombres : Sommaire

34 d) Une proposition de Rémi Brissiaud Voir : Le livre du maître du fichier « Japprends les maths avec Tchou CP » Le livre du maître du fichier « Japprends les maths avec Tchou CP » édité chez Retz). et (extraits vidéo) Rémi Brissiaud propose dutiliser une comptine régulière (on compte comme Tchou) 4 2Tchou dit « quatre-dix-et-deux » On dit « quarante-deux » Sommaire

35 3°) Des situations à reprendre aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique (daprès des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirés du document « le nombre au cycle 2 » mis en ligne sur le site Eduscol) a) Situations déchange pour travailler les écritures chiffrées des nombres Remarque : Pour des vidéos concernant le jeu du banquier au cycle 2, voir : - Situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Il sagit damener les élèves à lire dans lécriture dun nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués. La situation de référence est par exemple le problème des timbres : les timbres sont vendus par carnets de dix timbres. Paul a besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de carnets ? Corinne a besoin de 500 timbres. Combien doit-elle acheter de carnets ? (cliquer sur limage) Sommaire

36 Remarques : - Comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 est un objectif important mais il me semble quil faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté et quil est souhaitable de sappuyer sappuyer sur le matériel de numération utilisé Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines « visibles » Mais il y a aussi 60 dizaines « cachées dans les centaines » Sommaire

37 - Remarque : au cycle 3, il sagira de comprendre que , 7 8 cest : 1 millier 2 centaines 4 dizaines 1 unité 7 dixièmes 8 centièmes mais cest aussi, par exemple : 12 centaines 41 unités 78 centièmes b) Situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) Activités autour des familles de nombres comme dans la situation du « jeu du château » en CP/ CE1 (cf. les ouvrages de léquipe ERMEL publiés par Hatier)les ouvrages de léquipe ERMEL Sommaire

38 « Tableau Brissiaud »« Tableau ERMEL» Remarque : Permet de travailler le sens des écritures chiffrées Permet de travailler sur les désignations orales des nombres 23 cest 2 paquets de dix et 3 unités 23 appartient à «la famille des vingt» « chef de famille » Sommaire

39 Activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices Exemple dactivité : Un premier nombre est affiché sur lécran de la calculatrice (par exemple 1234). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il sagit dobtenir laffichage de 1334 en tapant le minimum de touches. Remarque : pour des activités avec la calculatrice, voir le document daccompagnement des programmes 2002 intitulé « Utiliser les calculatrices en classe (cycle 2 et cycle 3) »le document daccompagnement des programmes 2002 Sommaire

40 c) Situations dexploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la numération de position (chiffrée) Construire un dictionnaire de nombres (CP) Au CP on peut construire un livret dédié à lécriture des nombres. Chaque page est consacrée à un nombre. Lélève y inscrit différentes écritures ou représentations de ce nombre. Les pages vont senrichir progressivement. Lélève dispose de deux jeux de cartes. Le premier comporte des cartes sur lesquelles il y a les écritures chiffrées de nombres entiers (par exemple les n premiers nombres). Le second est un jeu de cartes avec les mots-nombres correspondant. La consigne est la suivante : Il faut remettre dans lordre les différents nombres. Dans la colonne de gauche tu écris les nombres du plus petit au plus grand avec des chiffres. Dans la colonne de droite tu écris avec des mots. Mettre en correspondance les deux types décritures Sommaire

41 Simuler un « compteur manuel » permettant décrire les nombres avec des mots Combien de chiffres ? Combien de mots ? Un nombre étant énoncé par lenseignant, lélève écrit sur son ardoise le nombre de chiffres nécessaires pour lécrire. Inversement, un nombre étant écrit au tableau avec des chiffres, lélève doit écrire sur son ardoise le nombre de mots nécessaires. Linstitutionnalisation porte sur la longueur de lécriture dun nombre qui ne dépend pas systématiquement de sa grandeur : le nombre « deux-cent-vingt-trois » comporte plus de mots que le nombre « trois-cent ». Sommaire

42 Remarque : pour dautres idées dactivités, voir, par exemple les ouvrages de léquipe ERMELles ouvrages de léquipe ERMEL On y trouve, par exemple des activités de ce type : Sommaire

43 43 quatre cent(s ) six vingt(s ) mille deux En complément, voici un exemple faisant intervenir des nombres plus grands que ceux fréquentés au cycle 2. Quel est le plus grand nombre que lon peut écrire avec toutes ces étiquettes ? six-cent-quatre-vingt-deux-mille Sommaire

44 4°) Exemples dactivités utilisant loutil informatique - Exercices du site (animations flash à exécuter en ligne ou à télécharger) :http://pepit.be - Exercices concernant la numération au cycle 2 sur le site « Le Matou matheux » (à exécuter en ligne) :« Le Matou matheux » - Logiciel Minimax ( « Trop petit ! Trop grand ! Gagné ! ») de M. Menei : Sommaire - Quizz sur la numération (niveau cycle 2) (Anne et Dominique Pernoux) :

45 V Les grands nombres 1°) Extraits des IO concernant le cycle 3 Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième année Les nombres entiers jusquau million - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau million. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Les nombres entiers jusquau milliard - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau milliard. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Les nombres entiers Létude organisée des nombres est poursuivie jusquau milliard, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. Sommaire

46 2°) Désignation des grands nombres trillionsbillionsmilliardsmillions A l'école élémentaire : classe des milliards classe des millions classe des mille classe des unités (simples) cducducducdu Sommaire

47 3°) Exercice extrait des dernières évaluations CM2 Dire aux élèves : « Écrivez en chiffres les nombres que je vais vous dicter ; je les répéterai chacun deux fois. » Dans la case A, écrivez cent-treize-mille (laisser 10 secondes) ; dans la case B, écrivez huit-milliards-quatre-cents-millions (laisser 10 secondes) ; dans Ia case C, écrivez soixante-mille-soixante-quinze (laisser 10 secondes) ; Sommaire

48 4°) Des compétences de nature différentes a) Comprendre comment on exprime de grandes quantités à laide décritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) Remarque préalable : Il sagit de prolonger ce qui est fait au cycle 2 à propos du fonctionnement de notre système de numération (signification des écritures chiffrées et fonctionnement de notre système de numération orale avec ses nombreuses irrégularités). Il faut donc dabord faire un retour sur ce qui est vu au cycle 2 à propos des nombres inférieurs à Exemple dexercice (à adapter au niveau) : Dans Le chiffre des dizaines de la classe des mille est le chiffre … - Le chiffre des centaines de la classe des unités (simples) est le chiffre … - 4 est le chiffre des ……………………………………………………….. - Le nombre de paquets de un million est égal à ………. - Le nombre de paquets de mille est égal à ………. Réponse : Sommaire

49 b) Comprendre le lien entre la relation dordre entre les nombres et le fonctionnement de notre système décritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) Exemples dexercice (à adapter au niveau) : - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste après le nombre donné : Ecris en chiffres le nombre qui vient juste avant le nombre donné : Ecris en chiffres le nombre compris entre les deux nombres donnés : Complète la phrase suivante par un nombre écrit en chiffres : ………………………. se trouve entre et Sommaire

50 - Ecris à leur bonne place les nombres , et Entoure le plus grand des deux nombres : et Range du plus petit au plus grand les nombres , , et Sommaire

51 c) Comprendre comment on exprime de grandes quantités à laide de désignations orales des nombres (passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement) Exemples dexercices (à adapter au niveau) : - Lis ces écritures chiffrées : Ecris en chiffres les nombres que je vais te dicter…. d) Comprendre le lien entre la relation dordre entre les nombres le fonctionnement de notre système de désignations orales Exemples dexercices (à adapter au niveau) : - Demander le nombre qui vient juste après cent-vingt-deux-mille-quatre-vingt-dix-neuf, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-trois-millions (Lenseignant et lélève utilise des désignations orales des nombres) - Demander à lélève décrire avec des chiffres le nombre qui vient juste après cent-vingt-trois-mille, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-deux-millions (Lenseignant utilise des désignations orales ; lélève produit des écritures chiffrées) Sommaire

52 - Demander le nombre compris entre cent-vingt-deux -mille-quatre-vingt-neuf et cent-vingt-deux-mille-quatre- vingt-onze (Lenseignant et lélève utilisent des désignations orales) - Demander à lélève décrire en chiffres le nombre compris entre cent-vint-deux -mille-quatre-vingt-neuf et cent- vingt-deux-mille-quatre-vingt-onze (Lenseignant utilise des désignations orales et lélève produit des écritures chiffrées) - Demander un nombre compris entre cent-vingt-deux -mille et cent-cinquante-mille (Lenseignant et lélève utilisent des désignations orales) - Demander à lélève décrire en chiffres un nombre compris entre cent-vingt-deux -mille et cent-cinquante-mille (Lenseignant utilise des désignations orales et lélève produit des écritures chiffrées) Sommaire

53 Problème 1 Problème On veut fabriquer 66 en utilisant des billets de 10, des billets de 5 et des pièces de 1. Quelle est la solution qui utilise le moins de pièces et billets ? 5 VII Exemples de « problèmes pour chercher » (cycle 2 et cycle 3) Cycle 2 Aide : « Commencer en utilisant le plus possible de gros billets » (on peut utiliser deux fois le même chiffre) Aide : cherche dabord tous les nombres possibles commençant par 1 puis… Sommaire

54 Problème 3 Aide : on peut y arriver en faisant tourner deux dominos. Sommaire

55 Problème 4 Problème 5 Il y a plusieurs solutions Sommaire

56 Problème 6 Problème On a utilisé 15 fois le chiffre 4. Aide : colorie toutes les case où il y a un nombre plus grand que 59 Aide : le chiffre 4 peut-être le chiffre des unités ou le chiffres des dizaines ou les deux en même temps. Sommaire

57 Problème 8 Il y a plusieurs solutions Problème Aide : la somme de la ligne et la somme de la colonne valent 10. Aide : le premier chiffre peut valoir 1 ou 2 ou 3 ou… Sommaire

58 Problème 10 Combien de mots différents suffisent à un écolier français pour écrire les cent premiers nombres ? Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt et trente quarante cinquante soixante cent 23 mots Aide : Vérifie quil y a 23 mots. Sommaire

59 Problème 1Cycle 3 Sommaire

60 Solution Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance : 1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg 1 1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est dajouter 3kg et 5kg. On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg 1 kg 2 kg 4 kg 3 kg 5 kg On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau de droite et 7 kg sur le plateau de gauche. Sommaire

61 Problème 2 Nombre de poules Nombre de lapins Nombre de pattes de poule Nombre de pattes de lapins Nombre de pattes Sommaire

62 Problème 3 Armoire A : Armoire B : Armoire C : 6 36 en tout Dans larmoire C, il y a 30 : 5 balais soit 6 balais. Dans larmoire B, il y a 12 balais. Dans larmoire A, il y a 18 balais. Sommaire

63 Problème 5 Petites voitures Voitures moyennes Grosses voitures Total Françaises Etrangères Total Sommaire

64 Problème 5 VINGT-HUIT Problème 6 ChameauxChattesChatons Nombre danimaux Nombre de pattes Total : 444 pattes 3 3 × 3 × 3 = × 3 = 81 4 × 3 = 12 4 × 27 = × 81 = 324 Aide : la réponse se situe entre VINGT et TRENTE Sommaire

65 Problème 7 SophiePierreEve Jane John Tony Sommaire

66 Problème 8 Eau et aquarium : 108 kg 57 kg Masse deau bue par le dragon : 108 kg - 57 kg = 51 kg Masse deau au départ : 2 × 51 kg = 102 kg Laquarium vide pèse donc 108 kg kg soit 6 kg. Sommaire

67 Problème Sommaire

68 Depuis que le directeur a mis les pendules à lheure la différence entre les heures indiquées par les deux horloges a atteint …. Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à lheure et a augmenté ensuite de … minutes toutes les heures Depuis que le directeur a mis les pendules à lheure, il sest donc écoulé On peut maintenant trouver lheure quil est de deux manières : La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes davance cest-à-dire 1h 36 minutes davance. Il nest donc pas 17h 36min comme lindique la pendule qui avance mais 17h 36min – 1h 36min soit 16h. ou La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il nest donc pas 15h 36min comme lindique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h. Problème 10 2 heures soit 120 minutes. 5 (car une des horloges avance de quatre minutes toutes les heures alors que lautre retarde dune minute toutes les heures). 120 : 5 heures soit 24 heures. Sommaire

69 - Essayer datteindre 17 en utilisant la calculatrice. - Essayer datteindre 18 en utilisant la calculatrice. Exemple de solution : – 6 = 17 Le problème na pas de solution. Activité « atteindre un nombre » On dispose dune calculatrice qui na que que deux touches : une touche « ajouter 9 » et une touche «enlever 6 ». On part du nombre 5. Un problème « pour chercher» et un jeu plus difficiles Sommaire

70 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc. Complément : Recherche des nombres quon peut atteindre Sommaire

71 Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui nont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit quil obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, cest match nul). Joueur 1 Joueur Le joueur 1 a gagné. 4 Jeu à deux « atteindre 15 » Sommaire

72 Joueur 1 Joueur Le joueur 1 a gagné. Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur nobtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit quil peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. Remarques : -si un joueur ne voit pas quil a obtenu 15, le jeu continue. -si aucun joueur narrive à obtenir 15, il y a match nul. Sommaire

73 Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » : Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à = = = = = = = = Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre Nombre d'apparitions - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15. Exemple : D. Pernoux Sommaire


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