11 – Assurance, Hedging et Options Réelles

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1 11 – Assurance, Hedging et Options Réelles
Chapitre 18, 21, et 34 Hull, 8 éd.

2 Assurance de Portefeuille Delta Hedging Options Réelles
Plan de la séance Assurance de Portefeuille Delta Hedging Options Réelles

3 Couverture de Portefeuille et Delta Hedging
Assurance de portefeuille d’actions Avec des options Par rebalancement dynamique Couverture de portefeuille d’actions Avec des contrats à terme Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging Avec des actions ou contrat à terme Les lettres grecques Value at risk (VaR)

4 Assurance de portefeuille d’actions
Différence entre assurance et couverture Couverture de portefeuille: Stratégie qui permet d’éliminer complètement ou partiellement la valeur d’un portefeuille. Le mot «couverture» est souvent utilisé dans le sens d’une stratégie qui élimine le risque complètement, donc que la valeur d’un portefeuille ne changera pas. Assurance de portefeuille: La notion d’assurance de portefeuille est similaire à la notion de couverture sauf que le terme «assurance» définit généralement une stratégie qui garantit une valeur minimum pour le portefeuille, et donc s’apparente à une option de vente.

5 Assurance de portefeuille d’actions
Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice Les options sur indices boursiers peuvent être utilisées pour de l’assurance de portefeuille d’actions Il suffit de choisir le bon indice : c’est-à-dire le plus corrélé avec le portefeuille Portefeuille non couvert Prix de l’action Put couvert

6 Assurance de portefeuille d’actions
Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice Si le portefeuille a un b de 1.0, le gestionnaire de portefeuille achètera 1 contrat d’option de vente sur indice pour chaque 100 x S0 dollars détenus. Si le b n’est pas 1.0, le gestionnaire achètera b contrats d’option de vente pour chaque 100 x S0 dollars détenus. Il faut se servir du CAPM dans ce cas-ci. Dans chacun des cas, le prix d’exercice est choisi pour assurer le niveau d’assurance désiré

7 Assurance de portefeuille d’actions
Exemple : Le beta du portefeuille est 1.0 La valeur actuelle du portefeuille est 1M $ Le niveau actuel de l’indice S = 500 Le gestionnaire veut maintenir la valeur du portefeuille au dessus de $ (sans tenir compte du coût de la stratégie) Quel stratégie doit-il adopter? Qu’arrive-t-il si le prix de l’indice descend à 400?

8 Assurance de portefeuille d’actions
Solution : Stratégie: Position longue dans le portefeuille Couverture avec une position longue dans des options de ventes Nombre de contrats : 1 M$ / (500 x 100$) = 20 contrats Prix d’exercice: Perte maximale possible = ( / 1 M) – 1 = - 4% Comme le bêta du portefeuille est de 1, l’indice de marché variera de la même façon. Le prix d’exercice sera donc de 500 x (1-.04) = 480 = K

9 Assurance de portefeuille d’actions
Vérification si l’indice baisse à 400, soit une perte de 20% Valeur du portefeuille: 1M$ x 0.8 = $ Profit des options de vente: (480 – 400) x 100$ x 20 = $ Valeur totale: = $

10 Assurance de portefeuille d’actions
Exemple 2 : Le beta du portefeuille est 2.0 La valeur actuelle du portefeuille est 1M $ Le niveau actuel de l’indice est 250 Le taux sans risque r = 8% par année Le rendement de l’indice q = 3% par année Le gestionnaire veut maintenir une valeur minimum de $ (sans tenir compte du coût de la stratégie)? Quel stratégie doit-il adopter? Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an?

11 Assurance de portefeuille d’actions
Solution 2 : Stratégie: Position longue dans le portefeuille Couverture avec une position longue dans des options de ventes Nombre de contrats : 2 x [1 M$ / (250x100)] = 80 Prix d’exercice : Perte maximale possible = ( / 1 M) – 1 = - 10% = re Attention : Le b est différent de 1 On utilise de le CAPM : re= rf + b (rm+ q - rf) -10% = ( rm – 0.08)  rm = -0.04 Le prix d’exercice de l’option sur indice sera K = 250 (1 – 0.04) = 240

12 Assurance de portefeuille d’actions
Solution 2 : Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an? Perte de l’indice = (230/ 250) – 1 = - 8% = rm Attention : Le b est différent de 1 On utilise de le CAPM pour obtenir la perte du portefeuille : re= rf + b (rm+ q - rf) re= ( – 0.08)  re = -0.18 Valeur du portefeuille = 1M$ x (1 – 0.18) = $ Gain sur le Put : ( )x80x100 = $ Soit un total de $

13 Assurance de portefeuille d’actions
Solution 2 : Choix d’un niveau d’assurance : exemple de tableau rapide à faire Niveau de l’indice = prix d’exercice de l’option Valeur du portefeuille 260 $ 250 $ 240 $ 230 $ 220 $

14 Assurance par rebalancement dynamique
Plutôt que d’acheter une option de vente, on la crée synthétiquement en gérant la proportion du portefeuille investie en actions et en titres sans risque (obligations). Pourquoi créer des options synthétiques? Les options n’existent pas pour un certain sous-jacent. Il y a un manque de liquidité dans le marché des options. Besoins précis en terme d’échéance et de prix d’exercice.

15 Assurance par rebalancement dynamique
Attention : L’exemple suivant est la technique qui était utilisée par les ordinateurs lors du Crash d’octobre 1987 où entre le 14 et le 16, la plupart des indices ont chuté de 30% La technique n’a pas créé le Crash en elle même, mais elle a juste accéléré le processus une fois enclenché À la suite de cet événement, on a instauré un système de disjoncteurs (Breakers) pour arrêter les transactions systématiques issues de processus si les prix baissent trop rapidement sur les marchés principaux et alternatifs (sociétés privées). Le système a encore été amélioré après 2008 et le flash crash du 6 mai 2010 L’exemple permet de comprendre comment l’assurance fonctionne, mais aussi comment elle peut facilement engendrer une spirale à la baisse si tout le monde fait la même chose

16 Assurance par rebalancement dynamique
NEW YORK, March 30, The New York Stock Exchange will implement new circuit-breaker collar trigger levels for second-quarter 2012 effective Monday, April 2, Circuit-breaker points represent the thresholds at which trading is halted marketwide for single-day declines in the Dow Jones Industrial Average (DJIA). Circuit-breaker levels are set quarterly as 10, 20 and 30 percent of the DJIA average closing values of the previous month, rounded to the nearest 50 points. In second-quarter 2012, the 10-, 20- and 30-percent decline levels, respectively, in the DJIA will be as follows: Level 1 Halt (-10%) A 1,300-point drop in the DJIA before 2 p.m. will halt trading for one hour; for 30 minutes if between 2 p.m. and 2:30 p.m.; and have no effect if at 2:30 p.m. or later unless there is a level 2 halt. Level 2 Halt (-20%) A 2,600-point drop in the DJIA before 1:00 p.m. will halt trading for two hours; for one hour if between 1:00 p.m. and 2:00 p.m.; and for the remainder of the day if at 2:00 p.m. or later. Level 3 Halt (-30%) A 3,900-point drop will halt trading for the remainder of the day regardless of when the decline occurs. Background: Circuit-breakers are calculated quarterly. The percentage levels were first implemented in April 1998 and the point levels are adjusted on the first trading day of each quarter. In 2012, those dates are Jan. 3, April 2, July 2 and Oct. 1.

17 Assurance par rebalancement dynamique
Exemple : Soit un portefeuille original de 200 M$ 120M $ d’actions 80M $ de bons du trésor Valeur plancher = 140M $ Coussin c = = 60M $ C’est la valeur que l’on peut perdre avant d’atteindre le plancher Exposition e = 120M $ C’est la valeur des actifs risqués qui peuvent perdre de la valeur : Les actions L’exposition e = Multiplicateur que l’on garde constant x Coussin de sécurité Multiplicateur m = e / c = 120 / 60 = 2

18 Assurance par rebalancement dynamique
Temps Portefeuille Action Exposition au risque Obligation Valeur planché Coussin t0 200 M$ 120 M$ 80 M$ 140 M$ 60 M$ t1 190 M$ Baisse de l’indice 110 M$ 50 M$ On rebalance : nouvelle exposition = m x coussin = 2 x 50 = 100  on vend 10 M$ d’action qu’on investit dans les obligations Nouveau portefeuille 100 M$ 90 M$ T1 à 2  les ventes poussent l’indice à la baisse… et on va devoir rebalancer t2 170 M$ 90M$ 140M$ 30 M$ 30M$

19 Assurance par rebalancement dynamique
Temps Portefeuille Action Exposition au risque Obligation Valeur planché Coussin t2 170 M$ 60 M$ 110 M$ 140 M$ 30M$ t3 150 M$ 40 M$ 10M$ 20 M$ 130 M$ t4 10 M$ 0M$ Ultimement, le rebalancement fait en sorte qu’on diminue l’exposition au risque des actions jusqu’à éliminer complètement la proportion investie en actions 140M$ Supposer maintenant que ce soit des ordinateurs qui fassent cela, les ventes massives associé à la diminution progressive de la liquidité ne font qu’augmenter la baisse des prix

20 Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
Ratio de couverture à variance minimum La proportion d’exposition qui doit être optimalement couverte est: S: prix spot F: prix Futures σS: écart-type de ΔS σF: écart-type de ΔF ρ: coefficient de corrélation entre ΔS et ΔF Portefeuille non couvert Prix de l ’action Futures couvert

21 Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
Ratio de couverture à variance minimum Nombre optimal de contrats: N* = h* (NA / QF) NA : Nombre d'unités spot à couvrir QF : Nombre pour chaque contrat Futures N* : Nombre optimal de contrat Futures h* : La proportion d’exposition

22 Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
Couverture à l’aide d’un Futures sur indice boursier Nombre optimal de contrats: N* = b (S / F*) b : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille aux variations du rendement du marché S : Valeur totale du portefeuille F*:Valeur sous-jacente à 1 contrat futures, soit le prix Futures de l’indice x taille d’un contrat

23 Couverture de portefeuille d’actions avec des Options
On considère un portefeuille d’actions et d’options La valeur du portefeuille total est V = S + h O La valeur du portefeuille couvert doit rester constant si la valeur des actions varie : On cherche donc à avoir ΔV/ΔS = 0 h = - 1/(Δ de l’option) Prix de l’option S c Pente =  l’action

24 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Pourquoi le Delta-Hedging? Exemple: Je vends un call. Je fais maintenant face à un risque, qui dépend des variations du prix du sous-jacent. Précisément, j’ai un Delta non-nul Le delta change dans le temps, parce-que S change à chaque période, je dois donc neutraliser le Delta de façon dynamique : il s’agit donc d’une stratégie dynamique L’idée est donc de compenser les changements de valeur de l’option par des profits ou pertes sur le marché des actions. On aura donc un portefeuille constitué d’options et d’actions.

25 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Pourquoi le Delta-Hedging? Exemple: Je vends un call Je vais acheter D actions. À chaque période, j’ajuste le nombre d’actions que je possède, selon le nouveau D. En fin de compte, le risque D de ma vente de call est neutralisé. Le coût du delta-hedging est environ égal au prix Black-Scholes d’une option call correspondante En fait, on a créé synthétiquement une position longue de call!

26 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Représentation graphique du delta d’une option Le Delta est le taux changement du prix de l’option par rapport au sous-jacent Prix de l’option Pente =  c Prix de l’action S

27 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Calcul du D d’une option Delta d’une option d’achat Δc= N(d1) > 0 Delta d’une option de vente Δp = N(d1) – 1 < 0 Δp = Δc – 1 < 0 De façon générale, avec q le taux de dividende : Δc = e–qT N(d1) > 0 Δp = e–qT [N(d1) -1] < 0

28 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Exemple : Une banque a vendu options d’achat et a obtenu $. Le prix d’exercice est 50$ et le cours actuel de l’action est 49$. r = 5%, T = 20 semaines et s = 20% Le portefeuille est exposé au risque si à l’échéance le prix est supérieur à 50$ («naked position») Solution : Stratégies de couverture: Se couvrir avec des actions : «covered position» Stratégie «stop loss» Naked si St < K Covered si St > K Ou Delta hedging

29 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Exemple : «Covered position» Profit de la position couverte 50 ST Profit Position de base ST 50 Couverture avec position longue en actions

30 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Exemple : Valeur de l’option avec Black-Scholes N(d1) = N(0.05) = N(d2) = N(-0.07) = c = 49 x – 50 e-.05x20/52 x = Coût total = $

31 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
St Delta [N(d1)] # actions achetées Coût d’achat (‘000$) Coût cumulatif incluant intérêt Intérêt 49.00 .522 52 200 2 500 1 48.12 .458 (6 400) 2 200 2 47.37 .400 (5 800) 1 900 18 54.62 .990 1 200 65 500 5 000 19 55.87 1.000 1 000 55 900 5 100 20 57.25

32 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Delta Hedging avec Futures On remplace le sous-jacent par son prix Futures. Le prix Futures est très corrélé avec le prix spot. Les frais de transactions sont moins élevés, et on ne débourse rien à l’origine. Ajustements nécessaires: Prix Futures: F = S e(r-q)T Variation: ΔF = ΔS e(r-q)T donc, besoin d’une moins grande quantité de Futures Quantité de Futures à détenir QFutures = e–(r-q)T Qactif sous-jacent

33 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique avec wi = nombre d’options i

34 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Exemple : Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique Position longue dans options d’achat de Nortel avec K=14 et delta=0.538 Position courte dans options d’achat de Nortel avec K=15 et delta=0.475 Position courte dans options de vente de Nortel avec K=15 et delta=-.510 Quelle est la stratégie à adopter pour obtenir un delta neutre?

35 Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Exemple: Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique Delta des composantes du portefeuille: x = 5380 x = -7125 x (-.510) = 2550 Delta du portfeuille: 5380 – = 805 Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 805 actions On peut valider le signe de la position finale avec la pente de la position. Positif: long call ou short put; Négatif: short call ou long put. Le delta d’une action est égal à 1

36 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Gamma (G) est le taux de variation de delta (D) par rapport au prix du sous-jacent. Vega (V) est le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité. Rho est le taux de variation de la valeur de l’option par rapport au taux d’intérêt. Theta (t) d’une option est le changement de sa valeur par rapport à la variation de temps

37 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Modification du Gamma : Le Gamma est l’équivalent de la convexité Il est le même pour un put ou un call Une faible valeur du Gamma indique que le Delta est peu sensible aux variations du sous-jacent, de sorte que les ajustements de couverture seront moins fréquent

38 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Modification du Gamma Pour modifier le Gamma d’un portefeuille, on doit introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option Si on désire que le Gamma soit égal à zéro, alors on doit ajouter

39 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Exemple de Modification du Gamma On a un portefeuille delta neutre avec Gamma=-5000 On veut acheter des options d’achat avec delta=0.65 et gamma=2.5 Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre? Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre

40 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Exemple de Modification du Gamma Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre? nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option 0 = w w = 2000 Pour neutraliser le gamma, il faut prendre une position longue de dans la nouvelle option Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre? Nouveau delta = x.65 = 1300 Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 1300 actions

41 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Modification du Vega le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité Le Vega est le même pour une option d’achat ou de vente.

42 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Modification du Vega Pour modifier le Vega d’un portefeuille, on doit introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille: nouveauVptf = vieuxVptf + w Vnouvelle option Si on désire que le Vega soit égal à zéro, alors on doit ajouter

43 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre Soit un portefeuille delta neutre avec un gamma de et un vega de -8000 Option 1: delta=0.6, gamma=0.5 et vega=2 Option 2: delta=0.5, gamma=0.8 et vega=1.2 Quelle stratégie doit-on adopter pour rendre le portefeuille neutre au delta, au gamma et au vega?

44 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre Système à 2 équations pour Gamma et Vega : nouveauГptf = vieuxГptf + w1 Гnouvelle option1 + w2 Гnouvelle option2 nouveauVptf = vieuxVptf + w1 Vnouvelle option1 + w2 Vnouvelle option2 0 = w w2 0 = w w2 d’où w1 = 400 et w2 = 6000

45 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre Et enfin le nouveau delta = 400 x x 0.5 = 3240 Pour neutraliser le delta, il faut donc prendre une position courte dans 3240 actions

46 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Modification du rho Option d’achat: Option de vente:

47 Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Modification du Theta Option d’achat: Option de vente:

48 VaR = 2.33 x √N x sj x Valeur du portefeuille
La VaR, Value at Risk Qu’est ce que la Value at Risk (VaR)? La VaR consiste à être certain à X% de ne pas perdre plus de V dollars dans les N prochains jours. VaR = 2.33 x √N x sj x Valeur du portefeuille Exemple: Être certain à 99% de ne pas perdre plus de V dollars dans les prochains 10 jours. V est la VaR de 10 jours pour un intervalle de confiance de 99%.

49 La volatilité par jour d’IBM est 2%
La VaR, Value at Risk Exemple : IBM La volatilité par jour d’IBM est 2% La taille du portefeuille est 10 M$ L’écart-type du changement sur un jour : 2% x 10M $ = $ L’écart-type du changement sur 10 jours est : x √10 = $ La VaR à 99% est 2.33 x = $

50 La volatilité par jour d’AT&T est 1%
La VaR, Value at Risk Exemple : AT&T La volatilité par jour d’AT&T est 1% La taille du portefeuille est 5 M$ L’écart-type du changement sur un jour : 1% x 5M $ = $ L’écart-type du changement sur 10 jours est : x √10 = $ La VaR à 99% est 2.33 x = $

51 Exemple : Portefeuille combiné IBM - AT&T La corrélation est  = 0.7
La VaR, Value at Risk Exemple : Portefeuille combiné IBM - AT&T La corrélation est  = 0.7 L’écart-type de 10 jours est : La VaR est de : 2.33 x = $ Le bénéfice de la diversification est de : – = $

52 La VAN et les Options réelles
La VAN en contexte d’incertitude et l’évaluation des options réelles Le choix d’un projet se fait souvent en contexte d’incertitude, dans la mesure où les données utilisées ne sont que des estimations du futurs dont la probabilité de réalisation n’est pas de 100%. Cela signifie que la VAN d’un projet est incertaine et que le processus de décision ne peut se limiter qu’au simple calcul d’une VAN, dite statique, qui ne permet pas de tenir compte de différents scénarios. L’effet de cette incertitude peut être mesuré à l’aide de différentes techniques

53 La VAN et les Options réelles
Comment intégrer l’incertitude dans l’analyse d’un projet? Analyse de sensibilité Analyse de scénarios Simulation de scénarios Analyse « break-even »

54 La VAN et les Options réelles
Analyse de sensibilité À partir d’un scénario de base, on détermine un intervalle possible pour chaque variable, ou une valeur pessimiste et optimiste. On considère chaque variable comme indépendante. On calcule de la VAN selon les valeurs extrêmes des intervalles en considérant l’effet d’une variable à la fois. Cette approche permet de voir quelles variables doivent être surveillées de plus près. Par contre, elle ne permet pas de tenir compte des interrelations entre les variables

55 La VAN et les Options réelles
Intervalle de valeur Variable Pessimiste Base Optimiste Investissement 6 200 5 400 5 000 Ventes 14 000 16 000 18 000 % coûts variables 83% 81.25% 80% Coûts fixes 2 100 2 000 1 900 VAN Variable Pessimiste Base Optimiste Investissement -121 +478 +778 Ventes -1 218 +2 174 % coûts variables -788 +1 382 Coûts fixes +26 +930

56 La VAN et les Options réelles
Analyse de scénarios et simulation Dans ce type d’analyse, on construit des scénarios où les valeurs des variables sont cohérentes entre elles, i.e. qu’on tient compte des interrelations. Généralement, un petit nombre de scénarios est utilisé et on assigne une probabilité à chaque scénario. Il est aussi possible de simuler des centaines, voire des milliers, de scénarios dans le but d’obtenir une distribution plus complète des VAN possibles.

57 La VAN et les Options réelles
Analyse « break-even » Il existe plusieurs types de « break-even ». « break-even » comptable L’objectif est de déterminer le niveau de revenu nécessaire pour obtenir un bénéfice net de zéro. « break-even » de la VAN ou économique L’objectif est de déterminer le niveau de revenu nécessaire pour obtenir une VAN de zéro. Un projet dont le niveau de revenu est au « break-even » comptable donne nécessairement une VAN négative, simplement parce que cela ne tient pas compte de la valeur de l’argent dans le temps

58 La VAN et les Options réelles
L’incertitude et la flexibilité La VAN statique ne permet pas de tenir compte de différents scénarios. Une approche pour régler ce problème consiste donc à calculer la VAN selon différents scénarios et à assigner des probabilités à ces scénarios. L’incertitude introduit aussi des options dans la mesure où les décisions peuvent parfois être modifiées en cours de route. L’utilisation de scénarios ne permet pas de refléter directement ces options puisque les projets non rentables sont considérés comme irréversible jusqu’à l’échéance

59 La VAN et les Options réelles
L’incertitude et la flexibilité Scénarios: demande forte, moyenne ou faible Le CMPC est de 14% La VAN espérée est de 1.08 2002 2003 2004 2005 VAN Prob Prob x VAN 33 26.61 .25 6.65 -50 25 8.04 .50 4.02 5 -38.39 -9.60

60 La VAN et les Options réelles
Supposons maintenant que l’on puisse attendre un an avant d’entreprendre le projet. Si la demande pour le projet est faible, on n’entreprendra pas le projet : en 2002 La VAN espérée est de 9.36 2002 2003 2004 2005 2006 VAN Prob Prob x VAN -50 33 23.35 .25 5.84 attend 25 7.05 .50 3.53

61 La VAN et les Options réelles
Les méthodes traditionnelles (VAN, TRI, etc.) de choix des investissements font l’hypothèse implicite qu’il n’y aura pas d’autre décision dans le futur une fois que le projet est entrepris. Cela signifie qu’elles ne permettent pas de considérer que tous les projets ont des caractéristiques optionnelles, des options sur des actifs réels (ou projets) existent. Ces options ne peuvent être transigées

62 La VAN et les Options réelles
Comme une option a toujours une valeur positive, il faut quantifier ces options dites réelles. L’importance des options réelles découle du fait qu’elle corrige les lacunes des critères de rentabilité traditionnels qui ne considèrent pas la valeur de cette flexibilité. La VAN Étendue (VANÉ) d’un projet: VANÉ = VAN statique + VA[options réelles]

63 La VAN et les Options réelles
Exemples d’options réelles Option de différer un projet Option d’altérer un projet (ex. expansion ou réduction) Option d’abandonner un projet Option de modifier les intrants pour produire un bien Option d’allonger la vie d’un projet Option de croissance

64 La VAN et les Options réelles
Graphique d’une option de délai Valeur présente des flux du projet Investissement initial dans le projet Valeur présente des flux espérés du projet Le projet a une VAN négative Le projet a une VAN positive

65 La VAN et les Options réelles
Graphique d’une option d’expansion Investissement additionnel Valeur présente des flux espérés du projet La firme ne prend pas d’expansion La firme prend de l’expansion

66 La VAN et les Options réelles
Graphique d’une option d’abandon Valeur présente des flux du projet Coût d’abandon Valeur présente des flux espérés du projet La firme abandonne le projet La firme n’abandonne pas le projet

67 La VAN et les Options réelles
Méthodes d’évaluation À l’aide d’un arbre de décision Si on connaît les probabilités Permet de considérer plusieurs décisions d’exercice possibles à différents moments À l’aide du modèle binomial Si on ne connaît pas les probabilités, ce qui nous forcera à utiliser des probabilités neutres au risque À l’aide du modèle de Black-Scholes Si on ne connaît pas les probabilités Si on connait la volatilité N’est valide que s’il n’y a qu’une décision à prendre à l’échéance de l’option réelle

68 La VAN et les Options réelles
Évaluation à l’aide du modèle binomial Exemple : Option d’abandon Supposons qu’un projet vaut 12 M$ aujourd’hui et qu’il ne peut être abandonné. Supposons maintenant que la valeur de ce projet dans un an puisse être de 15 M$ ou de 9 M$ (i.e. u=1.25 et d=0.75). Le taux d’intérêt pour un an est de 5%. Dans un an, si la demande n’est pas bonne, le projet peut être abandonné et l’équipement vendu pour 10 M$. Quelle est la valeur de ce projet qui comporte une option d’abandon?

69 La VAN et les Options réelles
Option d’abandon T=0 T=1 15 M$ (VAN du projet à T=1) 0 (valeur de l’option d’abandon) 12 M$ (VAN du projet à T=0) Valeur de l’option = ? 9 M$ (VAN du projet à T=1) 1 M$ (valeur de l’option d’abandon) Probabilité neutre au risque = Valeur de l’option = e-.05x1 [(.6025 x 0) + (( )x1)] = M$ VANÉ = = M$

70 La VAN et les Options réelles
Évaluation à l’aide du modèle binomial Exemple : Option d’expansion Supposons qu’un projet vaut 150 M$ aujourd’hui et que la valeur de ce projet dans un an sera de 180 M$ ou de 125 M$ (i.e. u=1.2 et d=1/1.2). Le taux d’intérêt pour un an est de 5%. Le projet comporte une option d’expansion qui augmenterait la valeur de la VAN par 40%, en échange d’un investissement supplémentaire de 50 M$ [(VANx1.4) – 50]. Quelle est la valeur de ce projet qui comporte une option d’expansion?

71 La VAN et les Options réelles
Option de croissance T=1 T=0 180 M$ (VAN sans option) 202 M$ (VAN avec option) 22 M$ (valeur de l’option) 150 M$ (VAN sans option) Valeur de l’option = ? 125 M$ (VAN sans option) 125 M$ (VAN avec option) 0 M$ (valeur de l’option) Probabilité neutre au risque = Valeur de l’option = e-.05x1 [(.5944 x 22) + (( )x0)] = M$ VANÉ = = M$

72 La VAN et les Options réelles
Évaluation à l’aide du modèle binomial Exemple : Option de contraction Supposons qu’un projet vaut 150 M$ aujourd’hui et que la valeur de ce projet dans un an sera de 180 M$ ou de 125 M$ (i.e. u=1.2 et d=1/1.2). Le taux d’intérêt pour un an est de 5%. Le projet comporte une option de contraction qui procurerait un revenu de 35 M$, mais qui diminuerait la valeur de la VAN de 20% [35 + (0.8xVAN)]. Quelle est la valeur de ce projet qui comporte une option de contraction?

73 La VAN et les Options réelles
Exemple : Option de contraction T=1 T=0 180 M$ (VAN sans option) 179 M$ (VAN avec option) 0 M$ (valeur de l’option) 150 M$ (VAN sans option) Valeur de l’option = ? 125 M$ (VAN sans option) 135 M$ (VAN avec option) 10 M$ (valeur de l’option) Probabilité neutre au risque = Valeur de l’option = e-.05x1 [(.5944 x 0) + (( )x10)] = 3.86 M$ VANÉ = = M$

74 La VAN et les Options réelles
Option réelle versus Achat ou vente Correspondance entre option d’expansion et option d’achat [(Sx1.4) – 50] – S = 0.4xS – 50 K=50 Correspondance entre option de contraction et option de vente [(Sx0.8) + 35] – S = xS K=35

75 La VAN et les Options réelles
Évaluation avec Black-Scholes On peut aussi estimer la valeur des options réelles à l’aide de la formule de Black-Scholes. Cependant, il faut se rappeler que cette formule n’est valable que pour des options européennes. Donc il ne marche pas pour les options réelles qui peuvent s’exercer n’importe quand. Les hypothèses de ce modèle sont aussi moins précises dans la mesure où ce modèle est en temps continu. Cette approche est donc moins flexible que celle du modèle binomial

76 La VAN et les Options réelles
Exemple : Évaluation avec Black-Scholes Une firme a un mini-projet dont la VAN se résume ainsi : Durée de l’option = 3 ans Rentrées actualisées à t=3 (S0) = 9,40 M$ Investissement initial à t=3 (K) = 11,10 M$ VAN à t=0 = -1,70 M$ Rf = 6 % Ke =13 % s = 30 % Le mini-projet est-il rentable si l’on tient compte de sa valeur d’option sur un méga-projet qui serait 12 fois plus gros ?

77 La VAN et les Options réelles
Exemple : Évaluation avec Black-Scholes En utilisant le modèle Black & Scholes pour calculer la VANÉ du projet, on a que : S0 = Valeur présente de l’actif sous-jacent K = Coût du méga-projet en $ à l’échéance s = Écart type du rendement du méga-projet T =Temps avant l’échéance de l’option

78 La VAN et les Options réelles
Exemple : Évaluation avec Black-Scholes S0 = Valeur présente de l’actif sous-jacent S0 = (12 x 9.40 M$) / (1.13)3 = M$ à t=0 K = Coût du méga-projet en $ à l’échéance K = 12 x M$ = M$ à t=3 Black - Scholes d1 = et N(d1) = d2 = et N(d2) = c = (0,3375) – e-0.06x3(0.1732) c = 7.11 M$ VANÉ = M$ M$ = 5.41 M$

79 La VAN et les Options réelles
Combinaison d’options réelles En réalité, un projet comporte souvent plusieurs options réelles en même temps. Dans ce cas, à chaque moment qui nécessite une décision, on maximise la valeur du projet, soit en continuant sans exercer d’option ou en exerçant celle qui augmente la valeur. Ce type de combinaison d’options réelles s’évalue avec un modèle binomial. Les options réelles peuvent aussi exister de façon séquentielle, i.e. qu’une option ne peut exister que si une autre a été exercée précédemment. L’ordre d’exercice des options est donc important. Par exemple, l’option de commercialiser un produit pharmaceutique n’existe que si les différentes phases de développement et de tests cliniques ont été franchies (i.e. que les options d’abandon n’ont pas été exercées), car elle n’existe pas encore au début du projet. Ce type d’option réelle s’évalue également à l’aide du modèle binomial, mais de façon plus complexe, car il faut en fait construire plusieurs arbres binomiaux qui sont dépendants les uns des autres

80 La VAN et les Options réelles
Un sondage auprès de 4000 gestionnaires américains en 2001 révèle que 27% des répondants quantifient les options réelles, parfois ou tout le temps, pour les décisions d’investissement importantes. Graham, J. et C. Harvey, 2001, The theory and practice of corporate finance: Evidence from the field, Journal of financial economics, Vol. 80, pp Pour être encore plus réaliste, il faudrait aussi considérer la réaction des compétiteurs dans le modèle, ce qui affecterait non seulement la valeur des options, mais le choix du moment d’exercice, donc l’échéance des options réelles. Pour ce faire, il faudrait utiliser les outils développés dans la théorie des jeux et la théorie de la décision. La "théorie des jeux" est l'étude des modèles de prise de décision en avenir incertain non probabilisable. La "théorie de la décision" (appelée aussi parfois "analyse décisionnelle") est l'étude des modèles de prise de décision en avenir incertain probabilisable (objectivement ou subjectivement).