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1 Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire Etienne Bertaud du Chazaud Lundi 20 décembre 2004 PHASE.

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1 1 Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire Etienne Bertaud du Chazaud Lundi 20 décembre 2004 PHASE

2 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 2 Position du problème Les aérogels Guide donde 1D Corde vibrante auto-similaire

3 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 3 Les structures auto-similaires… Objets Mathématiques Objets Physiques

4 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 4 Les fractales de masse Tapis de Sierpinski Aérogel de silice Ordre 1 Ordre 2Ordre 4 ×1/3 D = Log(8)/Log(3) 1,89 D 2,4 Ordre 0

5 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 5 Les fractales de surface Île de von Koch Côte bretonne Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4 ×1/3 D = Log(4)/Log(3) 1,26 D 1,22

6 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 6 Vibrations of Fractal Drums Sapoval et al., Physical Review Letters 67-21, 1991 Milieu de propagation homogène Les limites correspondent à une fractale de surface Pose photographique (1s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina

7 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 7 Density of state on fractals : fractons Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43, 1982 Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle Des modes phonons et fractons sont observés Modes étendus Modes localisés ( ) est la densité détat, cest à dire le nombre de modes propres compris dans la bande d à la fréquence

8 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 8 Céramique piézo-électrique Résine époxy Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor composite Alippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992 Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor dordre 4 Modes localisés dans la structure Modes étendus dans la structure

9 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 9 Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? 1.Création et étude dune structure mécanique à 1D 2.Création et étude dune structure mécanique à 2D 3.Larrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

10 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 10 Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? 1.Création et étude dune structure mécanique à 1D 2.Création et étude dune structure mécanique à 2D 3.Larrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

11 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 11 Etude numérique de la corde chargée Système continu Modèle mécanique discret de N masses Solution du problème aux valeurs propres Modèle mécanique discret y Cantor ordre 3 (D 0,63) p diffuseurs ;

12 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 12 mode 5 – / 0 = 2,46 Représentation de quelques modes propres étendus dune structure dordre 3 N=108 ; = 2,45 mode 27 – / 0 = 24,30

13 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 13 mode 23 – / 0 = 16,90 Représentation de quelques modes propres localisés dune structure dordre 3 N=108 ; = 2,45 mode 21 – / 0 = 13,41

14 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 14 A propos de la localisation… y(x) Log(|y(x)|) Localisation forte (décroissance exponentielle)

15 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 15 Représentation de lensemble des modes propres dune structure dordre 3 N=108 ; = 2,45 / 0

16 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 16 DOS intégrée dune structure non chargée de masse identique Densité détat intégrée Structure dordre 3 – = 2,45 Ordre 3 – mode 5 – / 0 =2,46 Ordre 3 – mode 21 – / 0 =13,41 Ordre 3 – mode 23 – / 0 =16,90 Ordre 3 – mode 27 – / 0 =24,30

17 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 17 Ratio de participation Structure dordre 3 – = 2,45 Mode 21 Vibration dun tiers de corde (2/9) Vibration de deux neuvième de corde (4/27) Vibration dune corde entière (2/3)

18 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 18 Caractère auto-similaire de la densité détat intégrée Structure dordre 5 – = 1,86 ×3

19 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 19 Evolution de la densité détat intégrée avec le rapport de chargement Evolution de la densité détat intégrée avec le rapport de chargement Structure dordre 3 = 1,09 = 0,52 = 0,06 = 0 + = 1,09 = 0,52 = 0,06 = 0 +

20 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 20 Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure dordre 3 Rôle de la masse des diffuseurs Rapport de chargement

21 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 21 Dans la corde vibrante auto-similaire : La localisation est observée. Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité détat intégrée et du ratio de participation. Le rôle du rapport de chargement est connu. Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de ), déterminer la dimension fractale D du modèle, lordre de pré-fractalité n à partir des courbes. [Synthèse du problème 1D]

22 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 22 Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? 1.Création et étude dune structure mécanique à 1D 2.Création et étude dune structure mécanique à 2D 3.Larrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

23 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 23 Etude numérique de la structure 2D Principe de construction du système auto-similaire Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3 Surcharges ordre 3 (p diffuseurs)

24 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 24 Modèle mécanique discret (détermination des modes propres) Modèle mécanique discret Solution du problème aux valeurs propres (y ijy n et n=f(i,j))

25 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 25 Modes propres et Densité détat intégrée Structure dordre 3 – = 8,9 Ordre 0 Ordre 3

26 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 26 A propos de la localisation… Tracé de Log(|z(x,y)|) le long de la médiane Localisation forte (décroissance exponentielle)

27 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 27 Ratio de participation Structure dordre 3 – = 8,9 Vibration dune membrane de côté l (4/9) Vibration dune membrane de côté l/3 (2/27)

28 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 28 Evolution de la densité détat intégrée avec le rapport de chargement Structure dordre 3 p représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée t représente la fréquence au-delà de laquelle londe nest plus bloquée

29 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 29 Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure dordre 3

30 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 30 Carte de la localisation Structure dordre 3 max, ++ min, - -

31 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 31 Etude expérimentale dune structure 2D dordre 2 = 0,27

32 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 32 Etude expérimentale dune structure 2D dordre 2

33 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 33 Etude expérimentale dune structure 2D dordre 2 = 0,27

34 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 34 Etude expérimentale dune membrane dordre 2 = 0,27

35 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 35 Dans la membrane vibrante auto-similaire : La localisation est observée. Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité détat intégrée et du ratio de participation. Le rôle du rapport de chargement est connu. Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. [Synthèse du problème 2D]

36 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 36 Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? 1.Création et étude dune structure mécanique à 1D 2.Création et étude dune structure mécanique à 2D 3.Larrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

37 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 37 Fractales déterministes ou permutées : Influence de larrangement des sous-parties

38 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 38 Densité détat intégrée et ratio de participation pour différents arrangements Cas de la corde dordre 3 – = 2,45 Localisation principale Localisation secondaire

39 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 39 Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la corde dordre 3 – = 2,45 Localisation principale Localisation secondaire / 0 =13,41 / 0 =16,90

40 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 40 Densité détat intégrée pour différents arrangements Cas de la membrane – = 8,9 A 2D

41 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 41 Ratio de participation pour différents arrangements Cas de la membrane – = 8,9

42 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 42 Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la membrane – = 8,9

43 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires 43 Les fractales de masse présentent-elles un comportement vibratoire particulier ? Conclusions et perspectives Localisation à 2D comme à 1D. « Cross-over » dans la densité détat intégrée. Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats. Lévolution de la zone de localisation avec la masse est connue. Le système nest pas trop sensible aux permutations Design de filtre. Etude dune structure 2D rigide. Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3D ? Conclusions Perspectives


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