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Introduction à la logique. 2 Introduction aux fonctions logiques Systèmes binaires ¤ Deux états fondamentaux et distincts; ¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt,

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1 Introduction à la logique

2 2 Introduction aux fonctions logiques Systèmes binaires ¤ Deux états fondamentaux et distincts; ¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non. Par convention: ¤ Un état est représenté par « 0 »; ¤ Lautre est représenté par « 1 ».

3 3 La logique Booléenne En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires. ¤ Il écrira « The Mathematical Analysis of Logic », Cambridge, Il définit 3 opérateurs de base, ainsi quune foule de règles et de postulats.

4 4 Types de représentation Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons: ¤ Équations logiques ¤ Tables de vérités ¤ Logigrammes ¤ Diagrammes échelle (Ladder) Ces représentations seront introduites avec les fonctions de base...

5 Fonctions logiques de base : - NON - ET - OU

6 6 Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation: ¤ F = A ou F = /A

7 7 Fonction logique ET En anglais: AND Représentation: ¤ F = A * B

8 8 Fonction logique OU En anglais: OR Représentation: ¤ F = A + B

9 Autres fonctions logiques : - NAND - NOR - EXOR - ID (EXNOR) -... Portes universelles

10 10 Fonction logique NON-ET En anglais: NAND Représentation: ¤ F = A * B

11 11 Fonction logique NON-OU En anglais: NOR Représentation: ¤ F = A + B EntréeSortie F 0 Table de vérité AB A F Symbole graphique B

12 12 Portes universelles Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible de générer toutes les fonctions booléennes. Ex. Avec NOR NON/(A+A) = /A ET/(/A +/B) = //A * //B = A*B OU/(/(A +B)) = A +B A B A + B

13 13 Portes universelles Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible de générer toutes les fonctions booléennes. A B

14 14 Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: EXOR Représentation: ¤ F = A B /B*A B*/A /B*A+B*/A

15 15 Fonction NON OU-EXCLUSIF En anglais: EXNOR Représentation: ¤ F = A B /B*/A B*A /B*/A+B*A

16 16 Fonctions de 2 variables Il existe 16 fonctions logiques possibles ayant 2 variables.

17 17 Fonctions de 2 variables F0 = 0 F1 = /A./B F2 = /A.B F3 = /A F4 = A./B F5= /B F6=A B F7=/(AB)

18 Réalisations des fonctions logiques : - circuit électrique - relais (automatisme) - logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)

19 19 Fonction logique NON Interrupteur normalement fermé

20 20 Fonction logique ET Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en séries.

21 21 Fonction logique OU Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèles.

22 22 Fonction logique NON-ET Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèles.

23 23 Fonction logique NON-OU Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.

24 24 Fonction OU-EXCLUSIF Utilise deux interrupteurs à deux contacts

25 25 Fonction NON OU-EXCLUSIF Utilise deux interrupteurs à deux contacts

26 26 Il est possible de représenter une fonction logique en utilisant cette approche. Ex. F = AB + /C Exercice (1) V C F AB

27 27 F = (AB + /A./B)(BC+/CD) Exercice (2) V A F AB B D BC C

28 Réalisations des fonctions logiques : - circuit électrique - relais (automatisme) - logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)

29 29 Fonctions logiques utilisant des relais En automatisation, on utilise les relais pour réaliser des fonctions logiques. Le relais est une composante électromécanique. A A AA A

30 30 Fonction logique NON Relais avec un contact normalement fermé

31 31 Fonction logique ET Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.

32 32 Fonction logique OU Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en parallèles.

33 33 Fonction logique NON-ET Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.

34 34 Fonction logique NON-OU Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en parallèles.

35 35 Fonction OU-EXCLUSIF Lampe = K L = /K.L + K./L

36 36 Fonction NON OU-EXCLUSIF Lampe = M N = M.N + /M./N

37 37 Réalisation : exercice Réaliser (avec des circuits électriques et relais) : - F = ab + c - F = (ab + /a/b)(bc + /cd) - F = (a + b +c)(/a + b/c + c)

38 38 L ALGEBRE DE BOOLE Un ensemble E possède une structure d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + et * : les lois + et * sont distributives l'une par rapport à l'autre et admettent un élément neutre (0 et 1 respectivement); tout élément de E est idempotent pour chaque loi : x + x = x et x x = x Tout élément x de E possède un unique élément, dit complémenté de x, généralement noté généralement /x, vérifiant la loi du tiers exclu : x + /x = 1 et le principe de contradiction x * /x = 0. Dans cette algèbre, on peut écrire : /x = 1 - x.

39 39 Lalgèbre Booléenne : lois fond. Fermeture: ¤ Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes. Commutativité ¤ A + B = B + A ¤ A * B = B * A + et * sont deux lois de composition interne :

40 40 Associativité ¤ A + (B + C) = (A + B) + C ¤ A * (B * C) = (A * B) * C Distributivité ¤ ET sur OU: A(B + C) = AB + AC ¤ OU sur ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C) Lalgèbre Booléenne : lois fond. 2+(3*2) (2*3) + (2*2)

41 41 Lalgèbre Booléenne Idempotence ¤ A + A = A ¤ A * A = A Complémentarité ¤ A + A = 1 ¤ A * A = 0 ¤ A = A

42 42 Lalgèbre Booléenne Identités remarquables ¤ 1 + A = 1 et 1 * A = A ¤ 0 + A = A et 0 * A = 0 Distributivité interne (très utile pour la simplification algébrique des fonctions booléennes). ¤ A + (B + C) = (A + B) + (A + C) ¤ A * (B * C) = (A * B) * (A * C)

43 43 Lalgèbre Booléenne Théorème de De Morgan (A + B) = A * B et A * B = A + B

44 44 Lalgèbre Booléenne : théorèmes Le complément dune expression quelconque sobtient en complémentant les variables et en permutant les opérateurs ET et OU.

45 45 Simplification Méthode algébrique : Appliquer les principes de lalgèbre de Boole. Méthodes graphiques : Karnaugh Mahoney Méthodes programmables : Utilisation des algorithmes de simplification algébrique.

46 46 Règles de simplification Règle 1 : On peut simplifier une fonction logique en regroupant des termes à laide des théorèmes. ABC + AB/C + A/BCD = = AB(C + /C) + A/BCD = AB + A/BCD = A(B + /BCD) = A[(B +/B) (B+CD)] = A[(B+CD)] Distributivité + / * Règle 2 : On peut ajouter un terme déjà existant à une expression logique. ABC + /ABC + A/BC + AB/C = = [ABC + /ABC] + [ABC + A/BC] + [ABC + AB/C] = BC + AC + AB

47 47 Lalgèbre Booléenne : simplification X = X/Y + XY = (X+ Y)(X + /Y) X = X + XY = X(X+Y) X + /XY= X + Y XY + /XZ + YZ = XY + /XZ (X+Y)(/X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(/X+Z) X(/X +Y) = XY XY + X/YZ = XY +XZ (X + Y)(X + /Y + Z) = (X+Y)(X+Z) …/...

48 48 Lalgèbre Booléenne : expression avec des fonctions NAND et NOR Re-écrire l expression de la fonction Z en n utilisant : - que des portes NOR, et puis - que des portes NAND (après simplification). Z = (x + /y + z)(x + /z) (/x + /y)

49 49 Représentations dune fonction logique Table de vérité Equation logique

50 50 Table de vérité vs logigrammes Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver léquation logique et le logigramme (ou diagramme échelle) correspondant Il faut utiliser lalgèbre de Boole pour simplifier.

51 51 Table de vérité vs logigrammes Construction dune table de vérité ¤ N variables ¤ N+1 colonnes ¤ 2^N lignes ¤ Chaque ligne est représentative dune combinaison des variables parmi les 2^N possibles (N colonnes).

52 52 Table de vérité vs logigrammes Exercice. Soit un local ayant trois portes identifiées a, b et c. À proximité de chacune de ces portes nous trouvons un interrupteur à bascule que les gens manipuleront lorsquils entreront ou sortiront. Ces interrupteurs commandent une ampoule qui éclaire le local. Ainsi, une personne qui entre par la porte a manipulera linterrupteur a pour allumer lampoule et cette même personne sortant par la porte b manipulera linterrupteur b pour éteindre lampoule. Lors de linauguration du local, a = 0, b = 0, c = 0, et lampoule L est éteinte ( L = 0).

53 53 Formes canoniques des équations booléennes 1° forme : Somme de produits. F=ABC + B 2° forme : Produit des sommes. F = (A+B)(A+C) 3° forme : nutilise que des NAND F = ABC * ABC * ABC * ABC 4° forme : nutilise que des NOR ¤ F = (A+B+C)+(A+B+C) Ex. Mettre sous la forme 3 lexpression F=ABC+ ABC + ABC + ABC Ex. Mettre sous la forme 4 lexpression F=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

54 54 Table de vérité Eq. logique Trouver léquation de S. ( )

55 55 Exemple Solution: ¤ On construit léquation de S en écrivant tous les termes donnant S=1. ¤ Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.

56 56 Exemple On peut donc écrire: ¤ S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: ¤ S = /C.B + B./A + C./B.A Autre solution possible: ¤ S = /C.B + C.(A B)

57 57 Si nous utilisions des relais... S = /C.B + B./A + C./B.A = B.(/C + /A) + C./B.A

58 58 La simplification des équations La simplification est essentielle. ¤ Il faut avoir le circuit le plus simple que possible... La simplification peut être un processus long si le système est complexe. Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.

59 59 Méthodes de simplification Il est possible d obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique. Méthodes de simplification graphique: ¤ Tables de Karnaugh ¤ Table de Mahoney

60 60 Principes de base Représentation de la table de vérité sous forme graphique. Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. ¤ Multiple de 2 n (1, 2, 4, 8, 16,...), n = Nombre d entrées Principe de simplification : Deux termes se simplifient sils ne diffèrent que par le fait quune variable est présente dans un terme et son inverse dans lautre terme. A/B + AB = A On cherche à mettre en évidence les simplifications possibles (les termes adjacents).

61 61 Deux termes adjacents par définition et adjacents sur la table de vérité. Deux termes adjacents par définition mais non adjacents sur la table de vérité. Exemple (Karnaugh) 0 C BAS EntréesSortie BA C TABLE DE VÉRITÉ TABLE DE KARNAUGH

62 62 Principes de base (suite) À partir de la table, on simplifie en groupant des 1 adjacents. La taille dun groupe est un multiple de 2 k (1, 2, 4, 8,...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré. Former les plus gands groupes possibles (Termes plus simples). Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

63 63 Exemples de table de Karnaugh Avec n = 2: ¤ Entrées B et A ¤ 4 cases A B

64 64 Exemples de table de Karnaugh Avec n = 3: ¤ Entrées C, B et A ¤ 8 cases BA C

65 65 Exemples de table de Karnaugh Avec n = 4: ¤ Entrées D, C, B et A ¤ 16 cases BA DC Codage !

66 66 Rappel : Codes binaires Code binaire naturelCode binaire réfléchi Changer valeur Symétrie

67 67 BA C Exemple (Karnaugh) Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A C./B.A

68 68 BA DC Principes de base (suite) Les 1 des bords extrêmes sont adjacents. ¤ La table se referme sur elle même /C./A /C.B /D.C./B.A

69 69 C C B B AAAA Exemple (Mahoney) B B AA

70 70 Exemples de table de Mahoney Avec n = 3: ¤ Entrées C, B et A ¤ 8 cases

71 71 Exemples de table de Mahoney Avec n = 4: ¤ Entrées D, C, B et A ¤ 16 cases

72 72 Exemples de table de Mahoney Avec n = 5: ¤ Entrées E, D, C, B et A ¤ 32 cases

73 73 Exemples de table de Mahoney Avec n = 6:

74 74 CC B B AAAA Exemple (Mahoney) TABLE DE VÉRITÉ TABLE DE MAHONEY

75 75 CC B B AAAA Exemple (Mahoney) Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A C./B.A

76 76 Exercices 1 : Passer de la table de vérité au tableau de Karnaugh. Simplifier. 2 : Passer du tableau de Karnaugh à la table de vérité. Simplifier. 3 : Donner lexpression. Minimiser lexpression. 4 : Donner lexpression. Minimiser lexpression.

77 77 Exercices 5 : Simplifier.

78 78 Exercices 5 : Simplifier. /a. b /b. c S = /a. b + /b. c /a. b. d /b. /d c S = /a. b. d + /b. /d + c /a. d /c. d S = /a. d + /c. d = d. (/a. /c) a. /b. /c /a. b /b. d S = a. /b. /c + /a. b + /b. d = /a. b + /b. (a. /b + d )

79 79 Exercices 6 : Simplifier. a b c a b c

80 80 Exercices 1 : Concevoir un circuit capable dadditionner deux bits, capable de générer leur somme S et leur report R. 2 : Concevoir un circuit de commande dun afficheur 7 segments pour laffichage des nombres 0, 1, 2, …, 9. (des états indifférents) e3 : le poids le plus important e0 : le poids le plus faible

81 81 Les états indifférents (dont care) Ils sont représentés par des X En sortie, ils correspondent à des combinaisons dentrées pour lesquelles la sortie na pas été définie. ¤ Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide et plein.

82 82 Contrôle de niveau dun réservoir Capteur de niveau haut h = 1 : plein Capteur de niveau bas b = 0 : vide Sélecteur de pompe s = 0 : Pompe 1 s = 1 : Pompe 2

83 83 Contrôle de niveau... Si réservoir plein: Aucune pompe en marche; Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche; Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».

84 84 Contrôle de niveau... Table de vérité: Réservoir vide 1 Réservoir à 1/ Réservoir plein et vide ?!? X Réservoir plein 0

85 85 Contrôle de niveau... Tables de Karnaugh: 11 XX XX P2P2 = /b+ /h.s P1P1 = /b+ /h./s X 0

86 86 Contrôle de niveau... Diagramme échelle: Seul risque: - si le capteur b est en panne (b=0) alors que le réservoir est plein... Les deux pompes seront en marche !!!

87 87 Contrôle de niveau... Si on considère les X comme des 0. P2P2 P1P = /b./h+ /h.s = /b./h+ /h./s

88 88 Contrôle de niveau... Diagramme échelle (sécuritaire):

89 89 Conclusion de lexemple Les « X » peuvent êtres utilisés dans des groupes de 1 pour en augmenter la taille. ¤ Cela implique des équations plus simples; Du point de vue sécurité, il peut s avérer nécessaire de considérer les « X » comme des « 0 ».

90 90 Les états indifférents (dont care) En entrée, ils permettent décrire les tables de vérité sous forme plus compacte.

91 91 Logique combinatoire v.s. Logique séquentielle Les premières méthodes dautomatisation pour les systèmes séquentiels.

92 92 La logique combinatoire et les automatismes La logique combinatoire peut être utilisée pour étudier les automatismes simples. Lexemple qui suit montre la marche à suivre...

93 93 Etapes de la démarche Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases. Établir un diagramme des transitions. Construire la table de vérité du système. Trouver les équations logiques des actionneurs

94 94 Plateau tournant Cycle de fonctionnement: ¤ poussée sur bouton m ; ¤ déverrouillage de W ; ¤ avance du vérin V, avec rotation du plateau; ¤ verrouillage de W ; ¤ retrait de V, le plateau restant immobile.

95 95 Plateau tournant La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.

96 96 Plateau tournant Au départ, aucun capteur n'est actionné, et les deux vérins sont au repos. Donc: ¤ m = 0 et a = 0 et b = 0 : ¤ W = V = 0. mabWV 00000

97 97 Plateau tournant Puis, en appuyant sur m, le vérin W est déplacé. Donc: m = 1 et a = 0 et b = 0 W = 1 et V = 0 mabWV

98 98 Plateau tournant Dès que le capteur a est actionné, le vérin V provoque la rotation du plateau. ? a = 1 et b = 0 et ce pour m = 1 ou m =0 ( m =X) W = 1 et V = 1. mabWV X1011

99 99 Plateau tournant Si le capteur b = 1, le vérin W verrouille le plateau. b = 1 et a = 1, m = X W = 0 et V = 1. mabWV X1011 X1101

100 100 Plateau tournant Lorsque le capteur a n'est plus actionné, le vérin V reprend sa position initiale. V = 0 et W = 0 a = 0 et b = 1, m = X mabWV X1011 X1101 X0100

101 101 Plateau tournant Table de vérité lignes représentant 8 états. mabWV X1011 X1101 X0100

102 102 Diagramme des phases mabWV X1011 X1101 X0100 La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.

103 103 Diagramme des transitions m W W,V W,V V V ab W,V mab Démarche : -chemin principal -assurer combinatoire -chemins supp. (var. en X)

104 104 Diagramme des transitions mab W W,V V V 2 lignes confondues de la table de érité Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison dentrées.

105 105 Plateau tournant Tables de Mahoney W = m./b + a./b = /b.(m+a) W W,V V V

106 106 Plateau tournant Tables de Mahoney V = a W W,V V V

107 107 Plateau tournant - Réalisation

108 108 Méthode de Huffman Exemple où la résolution combinatoire devient impossible. Marche (m) et Arrêt (a) d un Moteur (C) : Mise en Marche : Si (a = 0 ET m = 1 ) Alors (C = 1) Moteur en marche : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 1) Mise à larrêt : Si (a = 1 ET m = 0) Alors (C = 0) Arret : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 0) Huffman

109 109 Etapes de la démarche Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases. Établir un diagramme des transitions. Construire la table primitive des états. Construire la table réduite des états. Définir des variables secondaires. Trouver les équations logiques des actionneurs et des variables secondaires

110 110 Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases.

111 111 Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme de transitions.

112 112 Construire la table primitive des états Etat stable (1 par ligne) Etat transitoire (montre l évolution possible d un état stable vers un autre) 1 ma C C Code binaire réfléchi Etat indiff X X X X X

113 113 Construire la table réduite des états Le regroupement de lignes de la matrice primitive doit obéir aux règles suivantes : ·Les niveaux logiques de la ou des sorties doivent être les mêmes sur les lignes à regrouper. ·Les états sur chacune des lignes à regrouper doivent être les mêmes ou correspondre à un X..Les états sont fusionnés selon la règle : > 3 > X

114 114 Construire la table réduite des états Deux sorties différentes pour les mêmes entrées. Introduction d une variable secondaire.

115 115 Construire la table réduite des états Introduction d une variable secondaire. x

116 116 Trouver les équations : pour C m a x Pour remplir la table d'une sortie, il faut mettre dans chaque case la valeur de la sortie pour l'état stable correspondant au numéro d'état de la case correspondante de la matrice contractée. C = (m+x)a x

117 117 Trouver les équations : pour x m a x Pour remplir la table dune variable secondaire, il faut mettre dans chaque case la valeur de la variable secondaire pour létat stable correspondant au numéro détat de la case correspondante de la matrice contractée. x = (m+x) a x

118 118 Exercice : Plateau tournant (huffmann) Aucune contrainte pour lopérateur.

119 119 Méthodes intuitives (fondées sur la méthode de Huffman) Dans certains automatismes les variables secondaires sont les sorties du système.

120 120 Exemple Un moteur qui peut tourner vers la gauche (contacteur « G ») ou vers la droite (contacteur « D »). Ce moteur est commandé par trois boutons : « m » et « n » qui sont verrouillés mécaniquement (donc impossibles à actionner en même temps) et qui correspondent respectivement à une rotation à gauche et une rotation à droite; « a » qui est le bouton darrêt (prioritaire si appuyé en même temps que « m » et « n »).

121 121 Exemple Gauche et droite en même temps (arrêt prioritaire) États ayant les mêmes entrées

122 122 Exemple Il faut deux variables intermédiaires pour distinguer ces trois états. Ils se différencient grâce à leur sortie. Les Sorties seront les variables intermédiaires. Choisissons : x = G et y = D

123 123 Matrice réduite des états 5 0 G n a X m 2 2 XXXX X XX XXX XXXX XX 7 4 yx D 1 X 0

124 124 Equations de x x = x/n/a x = m/a x = (m/a + x/n/a) /y Sécurité (pas de demande de rotation G et D)

125 125 Equations de y y = y/m/a y = n/a y = (n/a + y/m/a) /x Sécurité (pas de demande de rotation G et D)

126 126 Étude simplifiée des automatismes à cycles géométriques

127 127 Distributeur de caissettes Suite à lappui sur le poussoir « m »: ¤ Extension du vérin H pour pousser la caissette sur le tapis ¤ Extension du vérin V pour soulever la caissette 2 pendant la rétraction du vérin H. ¤ Rétraction du vérin H ¤ Rétraction du vérin V

128 128 Au départ, capteurs b et d actionnés et deux vérins sont au repos.

129 129 En appuyant sur m, extension du vérin H.

130 130 - b = 0. - Arrivée de H en fin de course, extension de V

131 131 - d = 0. -Arrivée de V en fin de course, rentrée de H

132 132 - a = 0. - Arrivée de H en fin de course, rentrée de V

133 133 - c = 0. - Fin du cycle Autres cas impossibles car Vérins entrés et sortis en même temps.

134 134 Distributeur de caissettes H = m.d + /b.d+/ca = d(m+/b)+/ca

135 135 Distributeur de caissettes V = a + /b.c

136 136 Cycle géométrique Cycle carré. d ab c H H,V V m d a,c b Deux capteurs actifs a c d b Un capteur actif (associé au vérin qui ne bouge pas) Sortie actionnée

137 137 Cycle géométrique H = (m+/b).d + a./c V = a+c./b Mise en équation directement du graphique ci-contre.

138 138 Système de perçage Cycle en L.

139 139 Système de perçage Variable x: ¤ X=1 sur M-N-O; ¤ X=0 sur O-N-M. X = a + X./b H = X + /h V = X.c

140 140 Système de transfert Cycle complexe:

141 141 Système de transfert Variables X,Y,Z: ¤ X = 1 et Y = 0 et Z = 0 Sur M-N ¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 0 Sur N-M ¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 1 Sur M-O ¤ X = 0 et Y = 1 et Z = 1 Sur O-M ¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 1 Sur M-P ¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 0 Sur P-M

142 142 Système de transfert X = c./Z + X.(/c + Y) Y = a + Y./b Z = b + Z./e W = Z.c V = V.X.(/Y./Z+Y.Z)

143 143 Machine à remplir et à boucher Identifier des cycles géométriques


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