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Paris - 20 février 2003 1 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Constrained model predictive control : Stability and optimality A survey paper by:

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1 Paris - 20 février GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Constrained model predictive control : Stability and optimality A survey paper by: D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao and P. O. M. Scokaert Automatica, vol. 36, pp , 2000 Nicolas Marchand – Laboratoire dAutomatique de Grenoble

2 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 2 Objectifs de larticle Points non traités : Points non traités : Systèmes linéaires non contraints, systèmes temps variants Systèmes linéaires non contraints, systèmes temps variants Systèmes non représentés par des équations détat Systèmes non représentés par des équations détat Applications (survey de Qin et Badgwell 1997) Applications (survey de Qin et Badgwell 1997) Stabilité des systèmes dynamiques (linéaires et non linéaires) contraints commandés par des techniques prédictives Stabilité des systèmes dynamiques (linéaires et non linéaires) contraints commandés par des techniques prédictives Vue densemble des travaux Vue densemble des travaux Sortir la « substantifique moelle » qui garantit la stabilité Sortir la « substantifique moelle » qui garantit la stabilité Points mentionnés : Points mentionnés : Poursuite Poursuite Retour de sortie Retour de sortie Contraintes progressives Contraintes progressives Aspects adaptatifs Aspects adaptatifs Algorithmes doptimisation (survey de Biegler 1998, Wright 1997, Rao et al. 1998) Algorithmes doptimisation (survey de Biegler 1998, Wright 1997, Rao et al. 1998)

3 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 3 Plan Model Predictive Control : définitions Model Predictive Control : définitions Vue densemble de la littérature Vue densemble de la littérature Naissance de la MPC, Apparition de lhorizon fini, Littérature issue de la commande des procédés, GPCNaissance de la MPC, Apparition de lhorizon fini, Littérature issue de la commande des procédés, GPC MPC et StabilitéMPC et Stabilité Conditions de stabilité de la MPC Conditions de stabilité de la MPC Méthodes directe et indirecteMéthodes directe et indirecte Comment ces conditions sont vérifiées dans la littératureComment ces conditions sont vérifiées dans la littérature Robustesse Robustesse Conditions de stabilitéConditions de stabilité Différentes approchesDifférentes approches Perspectives Perspectives

4 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 4 M odel P redictive C ontrol : définitions Horizon : N Système : où : état du système à linstant i, parti de x à linstant k avec u pour commande Fonction coût : Problème de la commande prédictive : MPC : définitions

5 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 5 M odel P redictive C ontrol : définitions Horizon : N Système : Fonction coût : où : état du système à linstant i, parti de x à linstant 0 avec u pour commande Problème de la commande prédictive : MPC : définitions

6 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 6 Vue densemble de la littérature « Naissance » implicite de la MPC : « Naissance » implicite de la MPC : Bellman (1957), Kalman (1960) : Optimalité ; Stabilité, Lee and Markus (1967) Apparition de lhorizon fini : Apparition de lhorizon fini : Impossibilité pratique de lhorizon infini (hormis H 2 et H 1 ) Kleinmann (1970), Thomas (1975) :Kleinmann (1970), Thomas (1975) : Ajout dun coût infini sur létat final pour les systèmes linéaires (eq. diff. de Riccati avec contrainte finale) Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al. (1983) :Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al. (1983) : Horizon fini + contrainte ) Stabilité Vue densemble de la littérature

7 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 7 La littérature issue de la commande des procédés Indépendamment des autres travaux, orienté vers lindustrie Indépendamment des autres travaux, orienté vers lindustrie Méthodes linéaires basées sur une réponse temporelle du système, prenant en compte les contraintes de commande et de sortie Méthodes linéaires basées sur une réponse temporelle du système, prenant en compte les contraintes de commande et de sortie Sans violation possible des contraintes : Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler et Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec DMC.Sans violation possible des contraintes : Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler et Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec DMC. Avec violation temporaires des contraintes : Garcia et Morshedi (1986) avec QDMCAvec violation temporaires des contraintes : Garcia et Morshedi (1986) avec QDMC Plusieurs niveaux de contraintes : Marquis et Broustail (1988) avec SMOCPlusieurs niveaux de contraintes : Marquis et Broustail (1988) avec SMOC Implantation très importante (plus de 2000) Implantation très importante (plus de 2000) Pas (ou très peu) de considérations théoriques de stabilité Pas (ou très peu) de considérations théoriques de stabilité La Generalized Predictive Control (GPC) La Generalized Predictive Control (GPC) Issue de la commande adaptative (De Keyser et Van Cauwenberghe 1979) Issue de la commande adaptative (De Keyser et Van Cauwenberghe 1979) Systèmes linéaires bruités en temps discret non contraints avec une formulation déterministe proche de la MPC Systèmes linéaires bruités en temps discret non contraints avec une formulation déterministe proche de la MPC Résultats théoriques de stabilité (Mosca et al. 1990) Résultats théoriques de stabilité (Mosca et al. 1990) Observabilité + Contrainte ) stabilité Vue densemble de la littérature

8 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 8 MPC et stabilité : MPC et stabilité : Lyapunov : Lyapunov : Approche de omise dans les années 70 et 80 maintenant universelleApproche de omise dans les années 70 et 80 maintenant universelle Prend en compte le cas non linéairePrend en compte le cas non linéaire V N comme fonction de Lyapunov V N comme fonction de Lyapunov Variantes de : Variantes de : Contrainte dégalité sur létat final :Contrainte dégalité sur létat final : (Keerthi et Gilbet 1988, Chen et Shaw 1982, Mayne et Michalska 1990, …) Coût sur létat final :Coût sur létat final : (Gauthier et Bornard 1983, Rawlings et Muske 1993 : lien entre horizon fini et infini) Ensemble terminal puis basculement sur une commande localeEnsemble terminal puis basculement sur une commande locale (Michalska et Mayne 1993, …) Coût sur létat final et ensemble terminal :Coût sur létat final et ensemble terminal : (Sznaier et Damborg 1987, Parisini et Zoppoli 1995, De Nicholao et al. 1996, …) Conclusion : Conclusion : Points clés de la MPC : Points clés de la MPC : Coût terminal F, Ensemble terminal X f, Contrôleur local f Vue densemble de la littérature

9 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 9 Conditions de stabilité de la MPC 2 méthodes distinctes 2 méthodes distinctes Les deux utilisent le coût optimal comme fonction de Lyapunov Les deux utilisent le coût optimal comme fonction de Lyapunov Méthode directe : Méthode directe : Chercher des conditions sur F, X f et f pour que : (Keerthi et Gilbert (1988), Mayne et Michalska 1990, Rawlings et Muske 1993,…) Méthode indirecte : Méthode indirecte : Utilise la monotonicité de V N : (Chen et Shawn 1982, Bitmead et al. 1990, De Nicolao et al 1996, …) Conditions de stabilité de la MPC

10 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 10 Conditions suffisantes de stabilité : Conditions suffisantes de stabilité : temps discret : temps discret : temps continu : temps continu : Conditions de stabilité de la MPC

11 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 11 Contrainte dégalité sur létat final : Contrainte dégalité sur létat final : Coût sur létat final : Coût sur létat final : Pas de contrainte terminale explicite cependant nécessaire pour garantir la stabilité dans les cas non linéaire ou linéaire contraint instable Pas de contrainte terminale explicite cependant nécessaire pour garantir la stabilité dans les cas non linéaire ou linéaire contraint instable linéaire non contraint ou linéaire contraint stable : linéaire non contraint ou linéaire contraint stable : Conditions de stabilité de la MPC

12 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 12 Ensemble terminal : Ensemble terminal : Coût sur létat final et ensemble final : Coût sur létat final et ensemble final : Systèmes linéaires contraints : Systèmes linéaires contraints : Systèmes non linéaires, non contraints Systèmes non linéaires, non contraints (Jadbabaie et al. 1999) : Systèmes non linéaires contraints : 2 approches Systèmes non linéaires contraints : 2 approches (Chen et Allgöwer 1998) (De Nicholao et al. 1996, 1999, Alamir 1995,…) Conditions de stabilité de la MPC

13 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 13 Autres approches : Autres approches : Horizon variable : Horizon variable : (Michalska et Mayne 1993, Michalska 1997) basculement sur une commande locale dans X f, pas de conditions A1 à A4 car N variable, conditions sur l Méthodes contractives : Méthodes contractives : (Polak et Yang 1993, Morari et De Oliveira 1998,…) u F est appliqué en BO sur lhorizon N F, pas de résultat de stabilité général Conditions de stabilité de la MPC

14 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 14 Stabilité forcée : Stabilité forcée : (Snaier et Damborg 1990, Bemporad 1998, …) Ajout dune contrainte de décroissance dune fonction de Lyapunov dans le problème de commande. Le problème est alors celui inhérent aux fonctions de Lyapunov : comment la choisir ? Linéarisation : Linéarisation : (De Oliveira et al. 1995, Kurtz et Henson 1997, …) Le problème principal réside dans le fait que X et U ne sont plus convexes après transformation MPC sous optimale : MPC sous optimale : (Michalska et Mayne 1993, Mayne 1995, Chisci et al. 1996, Scoakert et al. 1999, …) Problèmes doptimisation non convexe dans le cas non linéaire appelant une simplification (faisabilité plutôt quoptimalité) Conditions de stabilité de la MPC

15 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 15 Conclusion Conclusion Consensus rapide autour des points clés : coût terminal, ensemble terminal et contrôleur local (+ ou – explicite). Consensus rapide autour des points clés : coût terminal, ensemble terminal et contrôleur local (+ ou – explicite). Les conditions A1-A4 unifient la plupart des travaux existants Les conditions A1-A4 unifient la plupart des travaux existants Il apparaît souhaitable de choisir le coût terminal F proche de V 1 permettant dhériter des avantages de lhorizon infini (robustesse). Il apparaît souhaitable de choisir le coût terminal F proche de V 1 permettant dhériter des avantages de lhorizon infini (robustesse). Délicat en non linéaireDélicat en non linéaire Philosophie est toujours la même : prendre équivalent à un problèmePhilosophie est toujours la même : prendre équivalent à un problème Conditions de stabilité de la MPC

16 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 16 Robustesse de la MPC Principalement 3 approches rencontrées : Principalement 3 approches rencontrées : Robustesse inhérente : robustesse de la MPC conçue sur le modèle nominal Robustesse inhérente : robustesse de la MPC conçue sur le modèle nominal Prise en compte de toutes les réalisations possibles (problème min-max) Prise en compte de toutes les réalisations possibles (problème min-max) Ajout dun feedback au problème de commande optimale Ajout dun feedback au problème de commande optimale Modèle : Modèle : Aspects robustes

17 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 17 Robustesse inhérente : Robustesse inhérente : (De Nicolao et al. 1996, Magni et Sepulchre 1997) Résultats liés à un problème dhorizon infini modifié dont découle la robustesse Problèmes min/max : Problèmes min/max : Conditions suffisantes de stabilité : Conditions suffisantes de stabilité : ces conditions garantissent :

18 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 18 Commande prédictive Min/Max en BO Commande prédictive Min/Max en BO (Michalska et Mayne 1993, Chen et al. 1997, Magni et al. 1999,…) Problème pour garantir linvariance de X f Problème pour garantir linvariance de X f Une possibilité pour contourner la difficulté : horizon variable Une possibilité pour contourner la difficulté : horizon variable MPC bouclée MPC bouclée (Mayne 1995,1997, Kothare et al. 1996, Lee and Yu 1997, …) Lensemble des états qui peuvent être ramené à lorigine de manière robuste est considérablement augmenté Lensemble des états qui peuvent être ramené à lorigine de manière robuste est considérablement augmenté Complexité prohibitive Complexité prohibitive Quelques exemples « applicables » en linéaire contraint (Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne 1998) Quelques exemples « applicables » en linéaire contraint (Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne 1998) ensemble des séquences de commandes telles que la trajectoire en BO issue de x vérifient les contraintes

19 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 19 Commande H 1 Commande H 1 Systèmes linéaires non contraints : Systèmes linéaires non contraints : Tadmor (1992), utilise une contrainte dégalitéTadmor (1992), utilise une contrainte dégalité Lall et Glover (1994), utilisent un coût terminal quadratiqueLall et Glover (1994), utilisent un coût terminal quadratique Systèmes non linéaires Systèmes non linéaires Nécessite généralement la résolution dune équation dHJINécessite généralement la résolution dune équation dHJI Tentatives pour éviter cette résolution par la MPCTentatives pour éviter cette résolution par la MPC (Chen et al. 1997, De Nicholao et al. 1999, Magni et al. 1999, …) Basées sur la commande H 1 du linéarisé, Basées sur la commande H 1 du linéarisé, Approches similaires à MPC bouclée Approches similaires à MPC bouclée Seul changement : choix de l Seul changement : choix de l Difficilement implantable Difficilement implantable

20 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 20 Conclusion Conclusion Le problème de robustesse est maintenant bien compris Le problème de robustesse est maintenant bien compris Il a mis en évidence certains problèmes inhérents à lutilisation des trajectoires en boucle ouverte Il a mis en évidence certains problèmes inhérents à lutilisation des trajectoires en boucle ouverte Résultats de stabilité Résultats de stabilité Aucune applicabilité (en tout cas très faible et dans des cas très particuliers) Aucune applicabilité (en tout cas très faible et dans des cas très particuliers) La recherche de (, w ) se fait dans un espace de dimension infini La recherche de (, w ) se fait dans un espace de dimension infini Gallestey et James (1999) dans le cas des systèmes affines non contraints arrivent à transformer le problème en un problème aux limites solvable par des techniques de tir

21 Paris - 20 février 2003 GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire 21 Perspectives Stabilité Stabilité Résultats de stabilité dans le cadre classique Résultats de stabilité dans le cadre classique Relâchement des conditions suffisantes de stabilité Relâchement des conditions suffisantes de stabilité Robustesse Robustesse Résultats très conceptuels, peu de résultats réellement implantables Résultats très conceptuels, peu de résultats réellement implantables Systèmes hybrides Systèmes hybrides La MPC reste à adapter aux systèmes hybrides La MPC reste à adapter aux systèmes hybrides Autres points Autres points Couplage estimation/commande pour les retours de sortie Couplage estimation/commande pour les retours de sortie MPC adaptative MPC adaptative


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