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1 Estimation ensembliste ellisoïdale : formulation factorisée Groupe Calcul Ensembliste 01/02/2002 Paris Suzanne Lesecq Laboratoire dAutomatique de Grenoble.

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1 1 Estimation ensembliste ellisoïdale : formulation factorisée Groupe Calcul Ensembliste 01/02/2002 Paris Suzanne Lesecq Laboratoire dAutomatique de Grenoble

2 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste2 Plan Introduction Moindres carrés et forme factorisée Moindres carrés récursifs Ellipsoïde englobant Reformulation Problème doptimisation quadratique Mise sous forme factorisée Extension aux équations détat Exemple numérique Remarques et conclusion

3 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste3 Introduction Diagnostic de la machine asynchrone Différentes techniques explorées Thèse C. Combastel (2000) Identification paramètres modèle de Park Méthodes « classiques » PNL Méthodes ellipsoïdales Thèse Th. Clément (1987) Bibliographie + récente Formulation factorisée de ces algorithmes

4 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste4 Moindres carrés et forme factorisée Prérequis Factorisation orthogonale A H = U 0

5 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste5 Factorisation dun produit de matrices Problème de moindres carrés Moindres carrés et forme factorisée M LLTLT =

6 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste6 Factorisation dune somme de matrices Démonstration Moindres carrés et forme factorisée

7 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste7 Analyse de sensibilité Moindres carrés et forme factorisée Équations normales Forme factorisée

8 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste8 Moindres carrés récursifs Avec mise à jour de la matrice dinformation I Forme standard Forme factorisée H = X t+1 0 X t

9 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste9 Moindres carrés récursifs Avec mise à jour de la matrice de Covariance P Forme standard Forme factorisée P = X T X gain des moindres carrés : g/e

10 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste10 Ellipsoïdes1 Algorithme de Fogel et Huang Forme standard Forme factorisée P = X T X, Z = Y T Y

11 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste11 Ellipsoïdes2 Notations et Hypothèses y t,e t scalaires Estimation courante Nouvelle mesure y t+1 mesure cohérente Paramètre Critère : Trace (pas dincidence sur la formulation factorisée) t+1 t

12 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste12 Ellipsoïdes : reformulation3 Algorithmes de mise à jour des ellipsoïdes Formes factorisées Stabilité numérique Démonstrations simples des propriétés théoriques Garantie numérique des propriétés théoriques Détermination de t+1 Problème doptimisation quadratique Connaissance a priori Nouvelle mesure Moindres carrés pondérés

13 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste13 Ellipsoïdes4 Algorithme Forme standard (Durieux & Al., 1996) Ellipsoïde englobant

14 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste14 Ellipsoïdes : forme factorisée5 Forme factorisée alors = = Problème de moindres carrés

15 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste15 Doù … Algorithme …On peut démontrer c t+1 et M t+1 obtenus indépendamment Ellipsoïdes : forme factorisée6

16 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste16 Amélioration de lalgorithme Indépendance de c et M Ellipsoïdes : forme factorisée7

17 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste17 Ellipsoïdes Extension aux équations détat1 Forme « Information » factorisée PREDICTION CORRECTION

18 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste18 Ellipsoïdes Extension aux équations détat2 Forme « Covariance » factorisée P Formulation factorisée pour P = M -1 Résultat à paraître (JESA) Exemple

19 S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste19 Remarques et Conclusion Réécriture du problème Optimisation quadratique Factorisation Garantie numérique de propriétés théoriques Stabilité numérique Choix libre P ou M Intersection ou sommation dellipsoïdes Pas dinversion Approche applicable à toute démarche similaire Filtre de Kalman classique et étendu


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