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Sûreté et validation des calculs numériques GT identification 18/09/2003 Suzanne LESECQ Laboratoire dAutomatique de Grenoble GT.

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2 Sûreté et validation des calculs numériques GT identification 18/09/2003 Suzanne LESECQ Laboratoire dAutomatique de Grenoble GT identification UJF UMR 5528

3 2 Plan Introduction –Quelques exemples simples… Les flottants Précision dun résultat … Amélioration de la stabilité –Moindres carrées … Estimation de la précision –Conditionnement –Méthode stochastique (RFPA) Amélioration de la précision Conclusion Bibliographie

4 3 Analyse de la sensibilité et de la précision e e3 … ???

5 4 Numérique classiqueThéorique x1x e-10 x2x Numérique stableThéorique x1x e e-10 x2x Équation 2 nd degré si b>0, x =((-b-(b²-4ac))/(2a)) sinon x =((-b+(b²-4ac))/(2a)) x =(c/(ax )) Quelques exemples simples … (Algorithme instable)

6 5 Intégration Démo

7 6 Quelques exemples simples … 2 difficultés fondamentales –Somme de 2 nombres dordre de grandeur très différent : « absorption » Exemple : = –Soustraire 2 nombres proches « élimination catastrophique » Exemple : = résultat avec 1 seul digit significatif !!! Démo Hilbert : calcul déterminant = pas de sens en machine !!!

8 7 Quelques exemples simples … Observabilité –bioprocédé, benchmark COST624 –matrice A(13*13) matrice C(2*13) –Matrice dobservabilité Max(size(O(C,A))*Max(svd)*eps Nature cyclique naturellement mal conditionnée

9 8 Quelques exemples simples … –Matrice de Rosenbrock Max(size(R))*Max(svd)*eps Max(svd)*eps ? Formes canoniques Non décidable ! ( R ) Véritable difficulté à observer…

10 9 Lensemble des flottants F Raisonnement –En précision infinie ( C ou R ) –En base = 10 Calcul –en précision finie (ensemble F ) –En base = 2 –Propriétés non conservées associativité, distributivité Exemple : ?

11 10 Lensemble des flottants F –Hiérarchie de type –Clôture des opérations (1 résultat pour chaque opération) –Reproductibilité des calculs et « arrondi exact » (+, -,, /, ) typetaillemantisseexposantPrécision machineDomaine de variation simple double = sexposantmantisse F (a b) th fl(a b) a, b F Norme IEEE –Fonctions « élémentaires » sin, cos, exp, log ? Exemple (thèse D. Dufour, Laboratoire de l'Informatique du Parallélisme)

12 11 Stabilité de lalgorithme Conditionnement du problème Précision dun résultat … (1/4) Précision du résultat numérique ? Stabilité numérique Conditionnement

13 12 Relation entre erreurs directe et inverse Sensibilité de la solution à des petites variations des données initiales –Prévoir, estimer la précision du résultat Estimation du conditionnement Méthodes directes : Arithmétique Stochastique ou autre… Erreur « inverse » Erreur « directe » y y + y x = f(y) Calculé Précision dun résultat … (2/4) Résout le presque problème posé Presque résolu le problème posé

14 13 Stabilité Numérique –Algorithme déjà étudié ? – Problèmes potentiels simples –« Bonnes » bibliothèques, formulations Filtre de Kalman Intégration a+b ? a-b ? … Sommes, Produits scalaires –Outils spécifiques : PRECISE, CADNA Précision dun résultat … (3/4)

15 14 … précision y Algorithme inverse-stable précision eps { Résultat numérique, précision } Quelle confiance accorder à un résultat ? Combien de décimales exactes ? Prendre en compte la précision des mesures ? Influence de la précision du calculateur ? Le calcul a-t-il un sens ? Le problème est-il soluble sur la machine ? Précision dun résultat … (4/4)

16 15 Amélioration de la stabilité des algorithmes (1/4) Bibliothèques de calculs scientifiques –Slicot, lapack, blas … –Harwell, Imsl, Nag –TOMS le site netlib.org le site niconet les livres de N. Higham, A. Bjork, Daumas-Muller, Daumas-de Dinechin-Tisserand, Barraud … toolboxs développées par des numériciens… (INRIA, LIP6,…) Parfois, nécessité de développer un code sur mesure …

17 16 Amélioration de la stabilité des algorithmes (2/4) Moindres carrés Exemple 1 : m=6 et n=4 Exemple 2 : m=10 et n=5 = 8.8e+00 5 standard factorisée valeurs théoriques e e e e e e e e e e e e+000 = 7.2e+00 9 standard factorisée valeurs théoriques e e e e e e e e e e e e e e e+000

18 17 Amélioration de la stabilité des algorithmes (3/4) Factorisations de Cholesky, LU, SVD Mise sous forme Schur, Schur généralisée Algorithme du QR Algorithme du QZ

19 18 Filtre de Kalman –Forme factorisée Approches ensembliste ellipsoïdale [Durieu et al., 1996 ] Amélioration de la stabilité des algorithmes (4/4) t+1 t Forme factorisée [Lesecq et al., 2002] =

20 19 Précision : quels moyens pour lestimer ?(1/9) Conditionnement –Dépend du problème ! –Évaluation dépend de la solution !! –Difficulté de calcul !!! –Majorants… … Pessimisme e e3 ??? … Autres approches ?

21 20 Précision : à partir du conditionnement(2/9) Des cas « simples » Des problèmes moins simples –Équations de Sylvester AX+XB=C Plusieurs estimateurs Des problèmes difficiles –Équations de Riccati … et tous les autres !!!

22 21 Précision : Sylvester(3/9) Pessimisme Moyenne sur les différentes composantes Obtenu à partir de (Ghavimi-Laub) (1995)

23 22 Précision : approche probabiliste – 1(4/9) Pourquoi ? Idée sous-jacente Chiffres significatifs exacts (Chiffres/bits) Qualité du résultat numérique Estimation de lerreur, pas de majorant Méthode indépendante de lalgorithme 1974… …1992… x2x2 x1x1 x ^ ^

24 23 Précision : approche probabiliste – 2(5/9) Modélisation (Approximation au 1 er ordre en 2 -p ) [Chesneaux] Arrondi aléatoire i v.a.i. uniformément distribuées [-1,1] Test de Student : Résultat informatique Dépend des données Perdu lors des arrondis Nombre de bits de la mantisse Moyenne Écart type Optimisme 1 chiffre = 0.54 Pessimisme de 1 chiffre = 29 %

25 24 Programmation des tests ? Même séquence de calculs –Arithmétique stochastique, zéro informatique (cf. déterminant) Précision : approche probabiliste – 3(6/9) Implantation –CADNA –Boite à outils Matlab RFPA Non dédiée « Maths Applis » Type rfpa > type double Surcharge dopérateurs Fonctions built-in Objectifs –Combien de décimales « justes » ? –Précision/imprécision des données en entrée en machine !!! –Codage des algorithmes : perte de précision ? Inst. I+1 Inst. II1 Inst. I Test i OUI NON

26 25 Précision : approche probabiliste – 4(7/9) Application : équation de Sylvester AX+XB=C Moyenne sur les différentes composantes

27 26 Précision : approche probabiliste – 5(8/9) Site CADNA add-on à certains compilateurs Fortran/C (LINUX) –Définition de variables stochastique –Surcharge dopérateur –Fichier « trace »

28 27 Précision : approche probabiliste – 6(9/9) Application : Digestion anaérobie (SMC-LAG) –Système raide –Mal conditionné –Modèle algébro-différentiel Dimension 41 (21 EDO + 20 eq. alg.) –Simulateur : instabilité ? Réécriture Méthodes dintégration ad-hoc –Pertes de précision « Localisées »

29 28 Amélioration de la précision(1/3) Raffinement itératif (portable !) [Barraud, 2002] – Calcul du résidu non trivial produit scalaire arithmétique en précision finie – Produits scalaires en précision étendue CONVERGENCE de lalgorithme – Solution exacte – Problèmes linéaires

30 29 Améliorer la précision(2/3) non oui Eliminer les cas triviaux FIN fullp X

31 30 Améliorer la précision(3/3) Exemple 1 –x num = A\b –x exact = solution exacte (formelle) du problème en machine –x théorique = solution exacte du problème posé –Résidu standard : b-Ax s = 10, c = 1e-8 : non représentable en machine s = 10, c = 1e+8 : représentable en machine Exemple 2 –Interprétation de résidu = 0 ?

32 31 Conclusion Stabilité des algorithmes –Bonnes bibliothèques –Sites web –Programmes spécifiques Précision –Conditionnement Systèmes équations linéaires Sylvester/Riccati Développement pour chaque problème… –Approche probabiliste

33 32 Bibliographie

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