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Andrzej Grzegorczyk (Varsovie) Théorie des textes – comme base adéquate de l étude de la discernabilité / (décidabilité) ( sans usage de l'arithmétique.

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1 Andrzej Grzegorczyk (Varsovie) Théorie des textes – comme base adéquate de l étude de la discernabilité / (décidabilité) ( sans usage de l'arithmétique ) lidée générale - différencier les processus mentaux: Mettre en évidence lessentiel du contenu purement logique dans la Métalogique (et écarter le contenu purement mathématique là où il nest pas nécessaire) Clermont Ferrand 2006

2 Réflexions philosophiques Discerner = affirmer = constater = vérifier = reconnaître ont un sens cognitif. Décider un sens volitif Le discernement est le fondement du savoir DISCERNER = répondre à la question: x A ? Ou non ? (par: convention, évidence empirique, méthodes logiques ) Discernement possède toujours un fondement empirique ( En maths. nous oublions souvent que le sens du calcul provient de lexpérience de compter les objets qui appartiennent aux divers ensembles. ) Si x est le uple, alors A est une RELATION: La question du discernement en général est la suivente : A ? Ou non ?

3 Discernement par les procédés logiques D éfini comme Représentabilité dans une théorie donnée Cela signifie quil y a: 1. Un domaine M (des éléments) 2. Une théorie formelle T 3. Les éléments x M ont leurs noms: N(x) ( N(x) sont des termes dans la théorie T) 4. Pour lensemble A il y a une formule (..), telle que: A est représenté au sens étroit par (..) dans la théorie T: A (N(x),..) est un théorème de T A ¬ (N(x),..) est un théorème de T. Une autre version: Représentabilité au sens large: 4`. Il y a deux formules: (..) et Ψ(..) (pour A et M –A ) A (N(x),..) est un théorème de T A Ψ(N(x),..) est un théorème de T. En ces cas Lensemble A peut être dit : DISCERNABLE au sens général, (par des méthodes logiques et daprès les interprétations)

4 EXEMPLE le plus connu : Les relations récursives entre nombres naturels sont les premières reconnues comme discernables (au sens général) : découverte de Gödel [1931] La procédure Diagonale de Gödel donne le Théorème général : Si T nest pas contradictoire et s i chaque relation discernable (au sens général) est représentée ( au sens étroit ) dans la théorie T, la théorie T (lensembles des théorèmes) nest pas discernable. Théorie T = Arithmétique le domaine = des nombres: 1,2,3,… Les noms = des chiffres Eg. 0. S0, SS0,… N(x)=SS…0=S x 0 proprieté de représentation: x.. A (N(x)..) est un théorème de T x.. A ¬ (N(x)..) est un théorème de T cest le Théorème De représentation, pour les relations récursives.

5 L Arithmétique faible étudiée récemment: L objet des recherches des logiciens à Varsovie et à Prague Addition et multiplication comme relations: (A) (A(x, y, z) A(x, y, u)) z = u (M)(M(x, y, z) M(x, y, u)) z = u (Q1) ¬(0=S(x)) z A(x,y,z) (Q2) Sx=Sy x = y z M(x,y,z) (Q3) ¬ x=0 y(x = Sy) (Q4) A(x, 0, x) (Arithmétique Q de R.Robinson (Q5) A(x,y,u) A(x,Sy,Su) sans les axiomes dexistence) (Q6) M(x, 0, 0) (Q7) (M(x, y, u) A(x, u, z)) M(x, Sy, z) Théorie probablement non discernable

6 Les Relations Récursives / Discernables Définition inductive GR = La plus petite classe qui: Contient 4 éléments initiaux: 0, 1 et deux relations: Addition et Multiplication et close pour les d é finitions utilisant: I. Connecteurs Logiques ( ¬ ) II. Quantification limitée ( et restreints à < ) III. Quantification Duale : Si P,R GR et Q(..x) z P(..x,z) Q(..x) z R(..x,z) alors aussi Q GR (Application du théorème de Post) La récursivité est définie à laide des notions logiques

7 Le problème le plus intéressant Le problème le plus intéressant: Quels sont dautres domaines dans les quels on pourrait trouver des ensembles discernables? (daprès la définition générale) Le premier à considérer est: le domaine des textes linéaires tout qui est valable dans la culture ce sont des textes Les nombres d arithmétique peuvent être conçus aussi comme des textes: finis linéaires composés avec un signe: l, ll, lll,… Mais: La théorie qui semble être intéressante c est La théorie des textes finis linéaires, c omposés avec deux signes (au moins) C est La théorie de la concaténation

8 La concaténation peut être décrite comme un collage linéaire Utilisons la convention de guillemetage: Un texte avec les guillemets: texte est le nom du texte qui est entre les guillemets. Appliquant la convention nous pouvons dire que: Si la concaténation cest lastérisque * alors: A * B = AB – ||– = – * ||– etc. concate * nation = concaténation Les signes (symboles) fondamentaux sont des textes, les plus courts et indivisibles: – x*y et aussi: | x*y. Les signes: – et | seront pris comme fondamentaux Ayant 2 signes: –, | nous pouvons en créer plusieurs p.ex : –|–, –||–, –|||–, … etc. (Qui peuvent remplaçer (coder ) tout: lettres, symboles, points, virgules, parenthèses,…etc…etc) Alors nous pouvons facilement créer des textes qui sont traductions des textes normaux de nimporte quel langage.

9 Théorie TC de la Concaténation A1 x*(y*z)=(x*y)*z A2 x*y=z*u ( (x=z Λ y=u) V w ( (w*u=y Λ x*w=z) V (z*w=x Λ w*y=u) )) A3 x*y A4 x*y A5 TC est étudiée dans Studia Logica 79 pp TC est non-discernable A1 et A2 sont découverts par Tarski 1930 (en marge de..Verité …), mais Tarski na pas entamé de recherches sur les conséquences de ses axiomes. Interprétation intuitive : Concaténation comme collage linéaire: A1 Deux relieurs qui relient le même texte A2 Deux éditeurs qui coupent le même livre en 2 vol. Tarski censément considéra A1 et A2 comme trop faibles (et pas intéressants)

10 La théorie TC nest pas discernable (Mais je nai pas prouvé que TC est essentiellement non-discernable) La preuve: se compose des pas suivants: La Métathéorie MT: nous prenons la théorie de la con- caténation (mais du II degré) La théorie des Textes est destinée à ce rôle. Dans MT nous admettons la Définition inductive de la Discernabilité Prouvons le Théorème De représentation (au sens large) Appliquons la construction Diagonale de Gödel On va voir quelques détails de plus près:

11 La Définition inductive de la Discernabilité (la discernabilité concèrne les relations à plusieurs arguments) La classe des Relations Discernables (GD) = la plus petite classe qui : contient 4 éléments initiaux: Deux signes primitifs: – et | ( nommés:, en TC) et la Relation dIdentité et La Relation de Concaténation, et qui est close pour les d é finitions utilisant: I.Les Connecteurs Logiques II.La Quantification limitée (restreinte) aux sous-textes III.La Quantification Duale: Définition purement logique – un succès de lidée générale Q(x,..) y P(y,x..) et aussi: Q(x,..) y R(y,x..) où P,R GD

12 Motivation de la Définition inductive La Motivation est la continuation de: Quines characterization of computability. Quine in his book: Mathematical Logic characerized general recursivness as mechanical recognizability, or as recognizability by a finite amount of inspection. inspection may be conceived as an effective and of course finite checking procedure. Checking, (recognizing, discernment) concern finite TEXTS of given symbols. On va vérifier la Définition de GD daprès lintuition de Quine

13 Les éléments initiaux de la classe GD peuvent être considerés comme empiriquement discernables by a finite amount of inspection. we can empirically discern the stroke| (as perpendicular) from the stroke (as horizontal), hence also we are able to discern whether a given finite text w written in this language is (or is not) identical with the text z, and we are able to discern whether a given text w is (or is not) the product of concatenation of given two other finite texts u and v. Les relations initialles de larithmétique sont aussi empiriquement discernables de façon semblable.

14 Les applications des connecteurs logiques ne conduisent pas en dehors des relations discernables Pour la négation ( ¬ ): discerner lidentité (ex: x=|? ), c est le même processus mental que discerner sa négation: ¬(x=|)? Même situation pour: x= ?, x=y?, x=y*z? Pour la conjonction ( et ) : Le discernement de: ( x A x B ) consiste à discerner que: x A et que: x B on voit facilement que l es relations considerées restent recognizables by a finite amount of inspection. Alors toute composition booléenne de relations initiales reste discernable par des procédés finis

15 La quantification limitée aux sous-textes If a property P is (GD) Finitely Checkable, then also the property Q defined as follows is GD: Q(..x,y) z(z y P(..x,z)) where z y means that the text z is contained in the text y: z y (z=y w,u(y=w*z y=z*w (y=w*z*u)) Motivation: The amount of subtexts contained in the text y is finite, hence the inspection remains finite. ( the same follows for ) Q(..x,y) z(z y P(..x,z)) Les relations définies par lapplication de la quantification limitée aux sous-textes restent discernables par des procédés finis

16 La quantification duale If two properties P,R are GD then the property Q, which has two following dual definitions is also GD: 1. Q(..x) z P(..x,z) 2. ¬ Q(..x) z R(..x,z) Motivation : If the both definitions are true, then according to the rule of excluded middle (and De Morgan Rule) also: 3. ….x z( P(..x,z) V R(..x,z) ) is true. Now if we arrange all texts in lexicografical order then for given x and after a finite amount of inspection we find a text z such that P(..x,z) or R(..x,z). (E.Post?) Hence by 1. we get Q(..x) or by 2. we get ¬(Q(,,x)). So we get the discernment by a finite amount of inspection Les relations définies par la quantification duale restent discernables par des procédés finis

17 La particularité dite: de forme canonique des Relations Récursives / Discernables La quantification duale peut être appliquée: une fois et en dernier comme procédé pour définir une relation discernable. Chaque Q GR (GD) est de la forme: Q(x,..) y P(y,x,..) et Q(x,..) y R(y,x,..) où P,R sont des Relations Discernables définies sans application de la quantification duale. P,R sont: Élémentaires où La classe des Relations Discernables Élémentaires est définie comme close seulement par: I. connecteurs logiques et II. quantificateurs restreints. { Les quantificateurs restreints peuvent être conçus comme ( et ) conjonctions et disjonctions finies mais multiples et de longeur variable)

18 Exemple dun raisonnement qui utilise la concatenation: Une suite finie des textes est aussi un texte. Cela nous donne une méthode pour créer les définitions élémenaires des notions définies par récurrence p.ex: itération dune fonction dans TC: y= f n (c) = f(f(f(..(c)..))). ITER(f,n,c) On construit la suite s des paires: s=( * *…* )) y = f n (c) s[ v,u,x (condition initiale) {s= s= *u} (condition finale) {s= s=v* } (condition inductive) { u ((s= *u) v,w,a,b((s=v* *w s= *w) (w= z w= *z))} y=x ] On peut aussi prouver que : y f n (c) s[ v,u,x { (condition initiale) } { (condition finale) } { (condition inductive) } yx ] (la situation de quantification duale) Tous les quantificateurs excepté s dans les deux equivalences peuvent être restreints aux sous-textes de s. Alors la relation définie est GD. Le raisonnement sappuie sur lexercice de limagination de textes

19 La motivation de Quine indique le chemin de la preuve du Théorème de Représentation Pour les éléments initiaux: la representabilité résulte directement des axiomes. Les constructions qui utilisent les Connecteurs Logiques héritent de la proprieté de representabilité grâce au calcul de propositions. Les quantifications limitées héritent de la même propriété car elles sont des disjonctions (ou conjonctions) de longueur variable mais toujours finies. Quantification Duale. Le Théorème de Représentation pour les extensions de TC (qui sont vraies dans le modèle standard), - est facil à prouver, alors TC est non-discernable. Mais Pour les extensions non contradictoires quelconques le problème officiellement reste ouvert …! Le modèle standard = composé des textes finis

20 lidée générale: de Mettre en évidence lessentiel du contenu purement logique dans la Métalogique en écartant le contenu math. en matière de discernabilité est maintenant menée à bien partiellement Pour atteindre le but il faut prouver sans recours aux nombres, quaucune extension non contradictoire de TC nest discernable. (Autrement dit: prouver que: TC est essentiellement non discernable.) La méthode qui peut être (presque sûrement) efficace : définir dans TC une relation discernable qui range tous les termes de TC en ordre lexicographique et utiliser cet ordre pour prouver la représentabilité. Jespère que les participants de cette rencontre peuvent facilement résoudre ce problème!


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