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ULYSSE1 Théorie des situations Lélaboration dune situation didactique pour introduire la désignation, légalité et le signe dégalité

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Présentation au sujet: "ULYSSE1 Théorie des situations Lélaboration dune situation didactique pour introduire la désignation, légalité et le signe dégalité"— Transcription de la présentation:

1 ULYSSE1 Théorie des situations Lélaboration dune situation didactique pour introduire la désignation, légalité et le signe dégalité

2 ULYSSE2 Aujourdhui on peut considérer les mathématiques comme des systèmes de « symboles » construits et définis formellement, sans référence « directe » à des objets non mathématiques.Aujourdhui on peut considérer les mathématiques comme des systèmes de « symboles » construits et définis formellement, sans référence « directe » à des objets non mathématiques. Nous allons ici considérer que, pour les élèves au moins, la totalité des assemblages mathématiques sont des « signifiants potentiels » dénués de signifiés.Nous allons ici considérer que, pour les élèves au moins, la totalité des assemblages mathématiques sont des « signifiants potentiels » dénués de signifiés. Les signifiés originels de ces signifiants mathématiques seront les situations où ils sont apparus.Les signifiés originels de ces signifiants mathématiques seront les situations où ils sont apparus. Nous étudions ces associations « situation signifiée/ texte signifiant » aussi bien pour concevoir des situations nouvelles que pour décrire et comprendre les situations « naturelles » observées.Nous étudions ces associations « situation signifiée/ texte signifiant » aussi bien pour concevoir des situations nouvelles que pour décrire et comprendre les situations « naturelles » observées. Note : On peut cependant distinguer des signifiants : par exemple un symbole nouvellement introduit, et des signifiés, par exemple lassemblage auquel ce symbole peut se substituer. Une définition est donc un signe. Mais on pourrait aussi considérer lassemblage comme le signifiant, et le symbole comme le signifié.Note : On peut cependant distinguer des signifiants : par exemple un symbole nouvellement introduit, et des signifiés, par exemple lassemblage auquel ce symbole peut se substituer. Une définition est donc un signe. Mais on pourrait aussi considérer lassemblage comme le signifiant, et le symbole comme le signifié.

3 ULYSSE3 En mathématiques, quexprime légalité A = B Il existe de très nombreuses façon équivalentes de définir la relation dégalité.Il existe de très nombreuses façon équivalentes de définir la relation dégalité. La plus connue sappuie sur la théorie des ensembles: « A=B » est synonyme de « A B et B A ». On sait que cette relation est réflexive (A=A), symétrique (si A=B alors B=A) et transitive (si A=B et B=C alors A=C) Mais il nest pas facile, parfois, de la distinguer dune équivalence.La plus connue sappuie sur la théorie des ensembles: « A=B » est synonyme de « A B et B A ». On sait que cette relation est réflexive (A=A), symétrique (si A=B alors B=A) et transitive (si A=B et B=C alors A=C) Mais il nest pas facile, parfois, de la distinguer dune équivalence. Nous choisissons celle de la théorie des modèles : « A=B » si:Nous choisissons celle de la théorie des modèles : « A=B » si: a. dans toutes les occurrences de A dans des formules dune théorie, A peut être remplacé par B (et réciproquement) sans changer la validité de ces formulesa. dans toutes les occurrences de A dans des formules dune théorie, A peut être remplacé par B (et réciproquement) sans changer la validité de ces formules b. si dans toutes les réalisation de cette théorie, A=B est la relation didentité: A et B sont le même objet.b. si dans toutes les réalisation de cette théorie, A=B est la relation didentité: A et B sont le même objet. Il existe donc dans cette théorie un quantificateur !E qui exprime quil existe un et un seul objet E (réalisations égalitaires)Il existe donc dans cette théorie un quantificateur !E qui exprime quil existe un et un seul objet E (réalisations égalitaires)

4 ULYSSE4 La désignation A et B sont des signifiants, leur signifié est le même et il est le seul. A et B sont deux façons de désigner un même objet. La désignation est une correspondance élémentaire entre un élément du modèle et lassemblage correspondant dans la théorie.A et B sont des signifiants, leur signifié est le même et il est le seul. A et B sont deux façons de désigner un même objet. La désignation est une correspondance élémentaire entre un élément du modèle et lassemblage correspondant dans la théorie. Elle peut être définie par la situation suivante:Elle peut être définie par la situation suivante: Dans une situation S, un actant X doit utiliser un objet matériel A pour réaliser le projet défini par S mais il nen dispose pas. Il sait quun autre actant Y, distant, possède cet objet parmi plusieurs autres. Les deux agents sont souvent dans des situations similaires, et X a besoin tantôt dun objet tantôt dun autre. Ils doivent coopérer pour élaborer un langage simplifié dans lequel les objets dont a besoin X seront désignés chacun par un symbole différent. A, B, C, etc.Ils doivent coopérer pour élaborer un langage simplifié dans lequel les objets dont a besoin X seront désignés chacun par un symbole différent. A, B, C, etc. Lusage de ce « code » résout leur problème et A est le signifiant dun objet bien précis parmi les autres.Lusage de ce « code » résout leur problème et A est le signifiant dun objet bien précis parmi les autres.

5 ULYSSE5 IGEC…AIGEC…A Y X A Message fourniture X a besoin dune pièce pour compléter son ellipse Suivant le code, il adresse le message A au magasinier Y Y choisit la pièce désignée par A et lenvoie à X X vérifie ladéquation de la pièce fournie JHFD…BJHFD…B T Z B Message fourniture Deux autres actants Z et T font la même chose plus loin, mais avec un code différent

6 ULYSSE6 Lingénierie de la désignation Lusage des codes résout le problème de la désignation: A est le signifiant dun objet bien déterminé.Lusage des codes résout le problème de la désignation: A est le signifiant dun objet bien déterminé. Dans S, un actant X qui communique le message A à lintention de Y pour obtenir un certain objet que les observateurs désigneront par la lettre ODans S, un actant X qui communique le message A à lintention de Y pour obtenir un certain objet que les observateurs désigneront par la lettre O La situation S : (X A Y ) O ( où A représente la communication du message A et ou représente le choix de O par Y pour envoyer lobjet demandé à A).La situation S : (X A Y ) O ( où A représente la communication du message A et ou représente le choix de O par Y pour envoyer lobjet demandé à A). La « mise en place » de cette situation serait sans doute facile avec des élèves de 6-7 ans et totalement inutile avec des élèves de ans et plus: la description suffirait.La « mise en place » de cette situation serait sans doute facile avec des élèves de 6-7 ans et totalement inutile avec des élèves de ans et plus: la description suffirait. Dans le 2 ième cours dingénierie didactique nous montrons comment les enfants de 5 ans sont amenés à la concevoir et à fabriquer un langage (un code) de désignation dobjets quelconques. Dans le 2 ième cours dingénierie didactique nous montrons comment les enfants de 5 ans sont amenés à la concevoir et à fabriquer un langage (un code) de désignation dobjets quelconques. Nous passons donc ici sur ces prolégomènes afin de définir la situation fondamentale de légalitéNous passons donc ici sur ces prolégomènes afin de définir la situation fondamentale de légalité

7 ULYSSE7 Lingénierie de légalité Maintenant il faut créer une situation qui donne à « A= B » un signifié correctMaintenant il faut créer une situation qui donne à « A= B » un signifié correct Pour cela il faut que les deux « tribus » (X, Y) et (Z,T) qui parlent des langages différents, aient des rapports appropriés:Pour cela il faut que les deux « tribus » (X, Y) et (Z,T) qui parlent des langages différents, aient des rapports appropriés: X demande à T de lui procurer A. T envoie autre chose. On peut sattendre à ce que les messages ou leurs auteurs soient incriminés. La solution serait que soit que T comprenne ou conçoive quil lui faut envoyer B quand X lui demande A. ou que X comprenne quil lui faut demander B pour recevoir A.X demande à T de lui procurer A. T envoie autre chose. On peut sattendre à ce que les messages ou leurs auteurs soient incriminés. La solution serait que soit que T comprenne ou conçoive quil lui faut envoyer B quand X lui demande A. ou que X comprenne quil lui faut demander B pour recevoir A. Mais comprendre la relation ce nest pas lexprimer.Mais comprendre la relation ce nest pas lexprimer. Le message qui exprime A = B doit être envoyé par quelquun, disons U qui a pratiqué les deux tribus et qui informe les intéressés X ou Y.Le message qui exprime A = B doit être envoyé par quelquun, disons U qui a pratiqué les deux tribus et qui informe les intéressés X ou Y. Le schéma de la situation de formulation de légalité est alors le suivantLe schéma de la situation de formulation de légalité est alors le suivant

8 ULYSSE8 U A = B ? JD…BJD…B T X A Schéma de la situation signifiée par la formule A=B Évidemment le moment venu, il faudra aménager lintroduction du signe «=» dans le domaine numérique Il est ainsi possible en principe de concevoir des modèles de situations pour chaque énoncé de Mathématique. Ces situations nont en général pas grand intérêt didactique. Mais létude théorique et expérimentale de leurs propriétés mathématiques, ergonomiques, psycholinguistiques, didactiques etc. est devenue possible et par là leur amélioration systématique.

9 ULYSSE9 Exercice Imaginer une situation réalisable en classe de préscolaire ou 1ère année primaire pour définir lusage du signe « = »Imaginer une situation réalisable en classe de préscolaire ou 1ère année primaire pour définir lusage du signe « = » Attention, il ne sagit pas de léquivalence !Attention, il ne sagit pas de léquivalence !

10 ULYSSE10 Fin


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