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Graphes Conceptuels J.F. Baget Inria. Objectifs Faire de la représentation de connaissance avec des graphes et des opérations de graphes – RdC: langage.

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1 Graphes Conceptuels J.F. Baget Inria

2 Objectifs Faire de la représentation de connaissance avec des graphes et des opérations de graphes – RdC: langage formel, syntaxe, sémantique, mécanisme dinférence – Graphes: syntaxe graphique et mécanismes dinférences par opérations de graphes (ici homomorphismes)

3 Plan Prélude – Homomorphismes de graphes – Logiques, théorie des modèles Graphes Conceptuels: syntaxe Graphes Conceptuels: sémantique Graphes Conceptuels: projection

4 Coloration de graphe K-coloration: associer à chaque sommet une des couleurs {1,..., K} de façon à ce que tous les voisins aient une couleur différente.

5 Homomorphisme de graphe Homomorphisme: associer à chaque sommet de H un sommet de G de façon à ce que si x et y sont deux sommets voisins de H, alors leurs images sont voisines dans G. H G Exercice: il existe un homomorphisme de H dans G et de G dans H

6 Coloration et homomorphismes Propriété: G est K-colorable ssi il existe un homomorphisme de G dans Kn (le graphe complet à n sommets) Doù le terme de classe de coloration: classe(G) = {H | il existe un homomorphisme de H dans G} Exercice: quelle est la classe des graphes suivants?

7 Une propriété utile Propriété: la composition de deux homomorphismes est un homomorphisme. Exercice: preuve

8 Logique (version abstraite) Logique L = (F, I, M) – F est un ensemble de formules (syntaxe) – I est un ensemble dinterprétations – M F x I (f, i) M se lit « i est un modèle de f » (la formule f est vraie dans le monde i) f est conséquence sémantique de f (f f) si tous les modèles de f sont des modèles de f. (sémantique)

9 Exemple 1 forme rectangle ovale ovale bleu ovale vert bleu vert rectangle bleu rectangle vert Exercice: voir que rectangle vert rectangle

10 Exemple 2: Logique des propositions Soit A un ensemble datomes SYNTAXE – a A est une formule (un atome) – si f et f sont deux formules, alors (f et f), (f ou f), et (non f) sont des formules. SEMANTIQUE – Une interprétation est une application de A dans {Vrai, Faux} – (f, i) M ssi la substitution des atomes a de f par leur interprétation i(a) a pour valeur Vrai

11 Mécanismes dinférences Soit L = (F, I, M) une logique Soit une relation sur F x F La relation est dite correcte par rapport à L ssi f f f f. La relation est dite complète par rapport à L ssi f f f f. Exercice: dessiner le graphe de la relation (i.e. ) pour la logique de lexemple 1.

12 Preuve de correction et complétude Pour calculer la conséquence sémantique, on veut être plus efficace que: « pour chaque modèle de f, voir que cest aussi un modèle de f » (en particulier, ce nombre peut être infini) Donc on exhibe un algorithme pour calculer une relation binaire sur les formules, et on prouve la correction et la complétude de cette relation. Ici, un schéma de preuve qui sera utilisé pour les graphes conceptuels.

13 Un schéma de preuve Soit L = (F, I, M) une logique Soit C un ensemble (ens. de codage), t f : F C et t i : I C Soit une relation sur C x C Soient les trois propriétés suivantes: – (P1) est transitive – (P2) (f, i) M ssi t i (i) t f (f) – (P3) qqsoit f F, il existe un modèle i de f avec t f (f) t i (i)

14 Schéma de preuve (suite) Théorème: si (P1) et (P2) sont vérifiées, alors est correct par rapport à L. Si, de plus, (P3) est vérifié, alors est complet par rapport à L.

15 Démonstration (correction) 1) Supposons f, f deux formules et t f (f) t f (f) 2) Si f na pas de modèle, alors f f, sinon soit i un modèle de f. 3) On a t i (i) t f (f) (P2) 4) Donc t i (i) t f (f) (P1) 5) Donc i est un modèle de f (P2) 6) Donc f f t f (f) t i (i) 1) 3) 4)

16 Démonstration (complétude) 1) Supposons f, f deux formules et f f 2) Tous les modèles de f sont des modèles de f 3) En particulier il existe un modèle i de f avec t f (f) t i (i) (P3) 4) Comme i est aussi un modèle de f (2), alors t i (i) t f (f) (P2) 5) Donc t f (f) t f (f) (P1) t f (f) t i (i) 5) 3) 4)

17 Graphes conceptuels [Sowa,84] Syntaxe Sémantique Mécanisme dinférence

18 Syntaxe (1): Le support Support S = (T C, T R = (T R 1,..., T R k ), M, conf) T C, T R 1,..., T R k sont des ensembles partiellement ordonnés, 2 à 2 disjoints – T C est lensemble des types de concepts – T R i est lensemble des types de relations darité i. M est lensemble des marqueurs individuels conf: M T C est la relation de conformité.

19 Exemple de support animal chat souris nourriture croquettes All croquettes de souris TCTC TR3TR3 mangeregarde TR2TR2 apporte M = {Mickey} conf(Mickey) = souris

20 Syntaxe (2): Graphe conceptuel Graphe conceptuel sur un support S, G = (V, H,, ) avec: – V un ensemble de sommets – H un ensemble dhyperarcs – : H V + associe à chaque hyperarc ses extremités – étiquette chaque sommet par un élément de T C x (M {*} ) (type et marqueur – individuel ou générique); et chaque hyperarc darité k par un élément de T R k. Notons que si un sommet a un marqueur individuel m, alors son type est conf(m).

21 Exemple chat: * regarde souris: Mickey mange croquettes: * apporte

22 Sémantique (1): interprétation du support Soit S = (T C, T R = (T R 1,..., T R k ), M, conf) un support Une interprétation de S est une structure (D, i c, i 1,..., i k, i m ) où: – D est un ensemble (le domaine) – i m : M D – i c : T C 2 D – i j : T R j 2 D j

23 Exemple dinterprétation Mickey animal souris chat nourriture croquettes imim icic croquettes de souris D all

24 Exemple dinterprétation (suite) i 2 (regarde) = {(, ), (, )} i 2 (mange) = {(, )} i 3 (apporte) = {(,, )}

25 Modèle dun support Une interprétation (D, i c, i 1,..., i k, i m ) est un modèle dun support (T C, T R = (T R 1,..., T R k ), M, conf) ssi: – t <= t i(t) i(t) (concepts ou relations) – i(m) i c (conf(type(m))) Exercice: voir que linterprétation de lexemple est un modèle du support.

26 Modèle dun graphe conceptuel Une modèle (D, i c, i 1,..., i k, i m ) dun support S est un modèle dun graphe G = (V, H,, ) ssi il existe : V D tq: – si v est un sommet individuel de marqueur m, (v) = i m (marqueur(v)) – si v est un sommet, (v) i c (type(v)) – si (h) = (v 1,..., v k ), alors ( (v 1 ),..., (v k )) i k (type(h)) Exercice: voir que linterprétation de lexemple est un modèle du graphe conceptuel.

27 Projection Soient G et H deux graphes conceptuels sur S. Une projection de H dans G est une application : V(H) V(G) telle que: – etiq( (v)) <= etiq(v) (ordre produit sur ordre de T C et * plus générique que marqueurs individuels, eux-même 2 à 2 incomparables) – Pour tout h de H, avec (h) = (v 1,..., v k ), il existe h dans G avec (h) = ( (v 1 ),..., (v k )) et type(h) <= type(h) Exercice: voir que cest bien une généralisation de Homomorphisme de graphe (doù NP-complétude).

28 Exemple: projection chat: * regarde souris: * nourriture: * apporte Exercice: trouver une projection de ce graphe dans lexemple précédent.

29 Forme normale Un graphe conceptuel est dit sous forme normale si deux sommets individuels distincts ont toujours des marqueurs différents. Un graphe conceptuel G est mis sous sa forme normale nf(G) en fusionnant les sommets individuels ayant même marqueur.

30 Théorème H est conséquence sémantique de G si et seulement si il existe une projection de H dans nf(G). Preuve: on va utiliser le shéma de preuve précédent. – C: graphes et interprétations sont codés par des graphes – : homomorphisme

31 Transformations t f et t i C: ensemble de graphes conceptuels t f : cest lidentité t i : construire le graphe G(i) de la façon suivante – associer à chaque élément d de D un sommet s(d). Le type dun sommet s(d) est la conjonction des types t tels que d i c (t) Le marqueur dun sommet s(d) est lensemble des marqueurs m tels que i m (m) = d. – pour 1 <= j <= K, pour t T R j, pour chaque (d 1,..., d K ) i j (t), rajouter un hyperarc h avec (h) = (s(d 1 ),..., s(d K )) et type(h) = t.

32 Exemple: graphe conceptuel dune interprétation chat: * regarde souris: Mickey mange croquettes: * apporte regarde 1 2


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