Jérôme Palaysi APR-LIRMM Montpellier

Jérôme Palaysi APR-LIRMM Montpellier
Classes de graphes remarquables pour le problème du routage dans les réseaux tout-optique. Jérôme Palaysi APR-LIRMM Montpellier Présentations... Les résultats que je vais vous présenter permettent de comparer sous certains points 2 problèmes fondamentaux dans les réseaux tout-optique: la minimisation de charge et le routage tout-optique. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Les fibres optiques et le multiplexage fréquentiel
Les liens des réseaux tout-optique sont des fibres optiques. La large bande passante d’une fibre optique peut-être divisée en un certain nombre de canaux, chacun utilisant une longueur d’onde nécessairement différente. Cette technique est aussi appelée WDM. Notons que le débit pour chaque canal est alors de l’ordre du gigabits par seconde. Dans la suite nous parlerons indifféremment de longueur d’onde, de fréquence ou encore de couleur. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Routeurs Tout-Optique
Voici la représentation schématique d’un routeur tout-optique. Il est connecté à 4 fibres optique entrantes et 4 autres fibres optique sortantes. Les routeurs des réseaux tout-optique ont pour particularité de router les communications sans faire de conversion optoélectronique (ces conversions étant très coûteuse en temps). Ces routeurs sont destinés à fonctionner dans un réseaux en mode commutation de circuit. Certains travaux les décrivent par exemple munis de miroir amovibles capables d’orienter une communication entrant par une certaine fibre optique et avec une certaine fréquence vers une autre fibre optique. Bien sûr deux signaux avec la même couleur ne peuvent pas être orientés au même moment vers une même fibre sortante. Certains routeurs, plus coûteux, peuvent être munis de convertisseurs et sont capables de modifier la fréquence d’une communication sans procéder là non plus à une quelconque conversion optoélectronique. convertisseur AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Les réseaux tout-optique
Définir ici la charge d’un routage. Voilà la représentation d’un réseaux tout-optique supportant à un moment donné 4 communications. Nous avons représenté par des carrés les routeurs tout-optique sans convertisseur et par un hexagone l’unique routeur tout-optique de ce réseau qui est capable de convertir les longueurs d’onde. Comme le réseaux fonctionne en mode commutation de circuit, des ressources ont été allouées exclusivement pour chaque communication. Les deux premiers routeur utilisent la fréquence rouge tout le long de cette route. Ces deux autres routeurs utilisent la même fréquence le long d’une route disjointe. Ces deux routeurs là utilisent cette route mais avec une fréquence différente pour éviter un conflit avec la communication dont nous venons de parler. Enfin ces deux derniers routeurs utilisent cette route, avec la couleur rouge sur les deux premières fibres optique et la couleur bleu sur la dernière, profitant ainsi du fait que la route traverse un routeur tout-optique capable de conversion. Soulignons de nouveau que nulle part deux communications partagent sur un même lien la même fréquence. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

La Minimisation de Charge
1 2 3 La minimisation de charge est NP-Difficile en général. 4 AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Le routage tout-optique
1 2 3 Si les routeurs du réseau sont tous incapables de faire des conversions alors minimiser le nombre de longueur d’onde correspond au problème dit du routage tout optique: la donnée est un graphe et une famille de requêtes de connexion. Le résultat est une affectation de route colorée à chaque requête. Deux routes en conflits (qui partagent une même arête) ne doivent pas avoir la même couleur. Le but est de minimiser le nombre de couleurs. Si on choisit les même routes que tout à l’heure on voit que 3 couleurs sont nécessaires car les routes des requêtes 1 2 et 3 sont en conflits 2 à 2. Or il suffisait de satisfaire la requête 2 par une route différente pour voir que 2 couleurs suffisaient en utilisant le bleu pour la chaîne précédemment colorée en vert. Le problème de minimisation de charge et du routage tout-optique sont donc 2 problèmes différents. En particluier nous tout en les définissant nous venons de voir que: tout routage minimal pour la charge n’est pas un routage optimal pour el routage tout-optique d’un autre côté le dernier routage est un routage de charge 2: c’est donc aussi un routage optimal du point de vue de la charge. Nous appelons un tel routage un routage bi-optimal. Nous verrons plus tard qu’un graphe et une famille de requêtes étant données il n’existe pas toujours un routage bi-optimal. Le routage tout-optique est NP-difficile en général. 4 AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Jérôme Palaysi, APR-LIRMM
Considérons un routage dans un réseau sans convertisseur et une coloration optimale de ce routage. Quelle est la charge de ce routage ? Sur un lien donné du réseau la charge sur ce lien est égale au nombre de couleurs que je peux compter sur ce lien. La charge du routage est donnée par le lien qui supporte le plus de couleurs. Le nombre de couleurs du routage est donc au moins aussi grand que sa propre charge. Ceci est vrai en particulier pour un routage qui est optimal pour une instance du problème du routage tout optique: son nombre de couelurs est plus grand que sa propre charge qui est elle-même plus grande que la charge optimale atteinte par certains routages. VIEUX: Considérons ici un routage. Sa charge est 2. Le nombre de couleur nécessaire pour le colorer est 3. Pour tout routage le nombre de couleur nécessaire est forcément supérieur à sa charge. Donc quel que soit notre instance de communication (où le routage n’est pas donné) nous savons que w>=L où L est la charge minimale parmi tous les routages possibles est w le nombre de couleur minimal parmi tous les routages possibles. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

si le routage n’est pas donné, en orienté pas de borne sup en L (thèse Bruno Beauquier) si le routage est donné il est plus facile dans tous les cas de montrer que le nombre de cuoleurs nécessaire peut être bcp plus grand que la charge. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Cependant pour certaines familles de graphes…
Avant que je ne revienne sur l’intérêt de comparer ces deux paramètres pi et oméga, notons que toutefois lorsqu’on restreint notre étude à des familles de graphe particulière des bornes sup. sont connues. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

tout routage sur un anneau…
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x y AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

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Motivation : une stratégie de résolution du routage tout-optique
La stratégie: minimiser la charge d’abord; affecter les fréquences ensuite. Routage bi-optimal. Graphes bi-critères: Pour résoudre le problème du routage tout-optique on peut d’abord essayer de calculer un routage en approchant la plus petite charge possible et colorer ce routage avec un nombre de couleurs voisin de la charge. Cette stratégie de résolution en 2 étapes successive peut emmener à des résultats exacts en temps polynomial (réseaux linéaires) ou à des résultat d’approximation (cycle, arbre de cycles, grille et tores si on se restreint le routage à des routes ligne-colonne). Sans tenir compte de la complexité algorithmique on peut se poser la question suivante: quels sont les graphes pour lesquels cette stratégie pourrait permettre de trouver la meilleure solution: ce sont les graphes bi-optimaux: c’est-à-dire des graphes pour lesquels il existe, quelle que soit la famille de requêtes à satisfaire, un routage optimal tant du point de vue du problème de minimisation de charge que du point du vue du routage tout-optique. Je vais montrer maintenant que les graphes bi-critères sont soit des arbres soit de simples cycles mais pas autre chose… AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Lemme 1 D’abord: si G est un graphe bi-critère qui n’est pas un simple cycle alors c’est un arbre… AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve lemme 1 (1) a s b c AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve lemme 1 (2) 2 a 4 2 s b 2 Le seul routage de charge minimale est celui-ci. La charge est 4. Le nombre de couleur qu’il nécessite est 6 car les 6 chaînes qui passent par s sont en conflits 2 à 2. 4 c AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve lemme 1 (3) a s b Le seul routage de charge minimale est celui-ci. La charge est 4. Le nombre de couleur qu’il nécessite est 6 car les 6 chaînes qui passent par s sont en conflits 2 à 2. c AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Lemme 2 AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve lemme 2 (a) (b) (c) Pour montrer le lemme précédent on part d’un routage de charge minimale satisfaisant notre famille de requêtes et on applique tant que possible les 2 transformations ci-dessus. Lorsque ces transformations ne sont plus possibles alors on a forcément un routage qui a au plus la même charge mais tel qu’il existe un sommet qui n’est couvert pas aucune chaîne: on a donc à faire à un routage sur un réseau linéaire colorable avec pi couleurs. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve lemme 2 Pour montrer le lemme précédent on part d’un routage de charge minimale satisfaisant notre famille de requêtes et on applique tant que possible les 2 transformations ci-dessus. Lorsque ces transformations ne sont plus possibles alors on a forcément un routage qui a au plus la même charge mais tel qu’il existe un sommet qui n’est couvert pas aucune chaîne: on a donc à faire à un routage sur un réseau linéaire colorable avec pi couleurs. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Théorème 1 Si G est un arbre ou un cycle de longueur 3 ou 4 alors G est bi-critère, et réciproquement, sauf peut-être pour les cycles de longueur supérieure ou égale à 5. Notre premier théorème dit donc que les seuls graphes bicritères sont les arbres et quelques cycles, au moins ceux de longueur 3 et 4. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Pour quels graphes ? Soit T un arbre orienté symétrique. Les deux assertions suivantes sont équivalentes: pour toute instance T est une subdivision d’étoile AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Théorème 2 Soit C un graphe non orienté. Les 2 assertions suivantes sont équivalentes: Pour toute famille de requêtes: T est une chaîne ou un cycle de longueur inférieure ou égale à 4. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve Théorème 2 (1) Si c’est un arbre c’est une chaîne. AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve théorème 2 (2) Si c’est un cycle c’est un cycle de longueur 3 ou 4 mais pas plus... AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Preuve théorème 2 (3) AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

Conclusion et Perspective
Les graphes pour lesquels Les graphes pour lesquels il existe toujours un routage bi-optimal. Question: qu’en est-il des cycles de «grande» longueur ? AlgoTel 2004 Jérôme Palaysi, APR-LIRMM

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