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1 Complexité de requêtes du problème de collision et de problèmes liés C. Dürr (LRI - Orsay) travail avec Harry Buhrman, Mark Heiligman, Peter Høyer, Frédéric.

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1 1 Complexité de requêtes du problème de collision et de problèmes liés C. Dürr (LRI - Orsay) travail avec Harry Buhrman, Mark Heiligman, Peter Høyer, Frédéric Magniez, Miklos Santha, Ronald de Wolf v1

2 2 Utiliser les algorithmes quantiques connus Shor : Problème de sous-groupe caché Grover : Recherche du minimum, Problème de collision, Recherche du median Trouver de nouveaux algorithmes quantiques Utiliser de nouveaux opérateurs unitaires Transformée de Hadamard Deutsch-Jozsa, Bernstein-Vazirani Transformée de Fourier Simon, Shor Matrice de Haar Høyer-Neerbek-Shi Matrices de Hadamard van Dam

3 3 Problème de collision Entrée : f:[N] Z 0 1 … i j N-1 Chercher : i,j [N] tel que f(i)=f(j), i j f : Z :

4 4 0 1 … i N-1 Problème dintersection Entrée : f:[N] Zg:[M] Z Chercher : i [N], j [M] tel que f(i)=g(j) f : Z : 0 1 … j M-1 : g

5 5 Modèles de complexité Modèle de requêtes On compte le nombre dappels à f ou g Modèle de comparaisons On ne peut pas lire directement f ou g Seuls des comparaisons f(i)

6 6 Entrée: f:[N] {0,1} Outil recherche quantique Trouver (avec proba ½ ): i [N], tel que f(i)=1 en appelant f O(N ½ ) fois f(i)=0 f(i)=1 [Grover]

7 7 Complexité classique/quantique Rechercher z Z dans f:[N] Z cas général (f nest pas forcément triée) (N), (N ½ )[Grover] cas f triée (log N), (log N) 0.53 log N par [Fahri,Goldstein,Gutman,Sipser] log 3 N+O(1) par [Høyer,Neerbek,Shi]

8 8 Outil amplication quantique Entrée : Algorithme A avec probabilité de succès p Répéter O(p -½ ) fois A pour probabilité de succès ½ succès [Brassard,Høyer,Mosca,Tapp]

9 9 Borne inférieure par réduction Problème de recherche pour h:[N] {0,1} trouver i tel que h(i)=1 (N ½ ) [Bennet,Bernstein,Brassard,Vazirani] Problème de collision f: i i+h(i) Donc le problème de collision est (N ½ ) f:

10 10 Intersection: cas f trié Chercher j [M] tel que g(j) f([N]) ce test coûte log(N) Cette recherche coûte M tests Coût total O( M log(N)) j f([N]) f::g … et N

11 11 AB Intersection: cas général Trouver une intersection entre f et g –ChercherA [N], |A|=k etB [M], |B|=k 2 tel que f(A) g(B) {} Trouver une intersection entre f(A) et g(B) –Trier f(A) –Chercher j B tel que g(j) f(A) j f(A) f::g coûte O(k log k) coûte O( k 2 log k) coûte O( (MN/k 3 ) k log k) =O ( (MN/k) log k)

12 12 Complexité Meilleur choix de k avec k min(N, M) N M N 2 N 2

13 13 Intersection: cas f et g triées Application possible Question à google.com Calcul quantique Réponse: éléments en commun de tableaux précalculées et triées (une par mot clé) … et N=M f: g:

14 14 Sous-problème f: f est découpé en blocs de taille r a f i : restriction de f au i-ième bloc g:b g i : restriction de g au bloc de taille r, commençant au premier b, tq g(b) f(a) collision? Sous-problèmes (f i,g i ) dénis pareillement 0 i N/r

15 15 Algorithme Le problème initial a une solution si et seulement si un parmi les 2N/r sous- problèmes a une solution (est positif) Recherche quantiquement un sous- problème positif Appliquer récursivement cet algorithme aux sous-problèmes

16 16 Complexité T(N) T(N) c(N/r) ½ (log(N+1)+T(r)) Appel récursif Recherche binaire du début de bloc Recherche quantique dun sous-problème Choisir r=log 2 (N) T(N) c (N/r) ½ T(r) pour des constantes c,c

17 17 Complexité T(N)=O(N ½ c log*(N) ) Logarithme itéré log (i) (x) = log log … log (x) log*(x) = min{i 0 : log (i) (x) 1} Fonction presque constante c log*(N) = o(log (i) (N)) pour tout i pour une constante c

18 18 Entrée : graphe G(V,E), n=|V|, m=|E| Trouver : a,b,c V tel que (a,b), (b,c), (c,a) E Recherche naïve Recherche quantique sur (a,b,c) V 3 Complexité de requêtes O(n 3/2 ) Recherche de triangles

19 19 Pour graphes épars Recherche quantique dune arête (a,b) E Recherche quantique dun 3-ième sommet c tel que (b,c), (c,a) E Amplier quantiquement la probabilité de succès … m=o(n 2 ) O(m ½ ) requêtes O(n ½ ) requêtes O(m ½ ) répétitions Au total O(n+(nm) ½ )

20 20 Récapitulatif classique/quantique Collision dans f 2-to-1 ( i !j f(i)=f(j)) (N ½ ), O(N )[Brassard,Høyer,Tapp] Collision dans f (N), O(N ¾ logN), (N ½ logN) [Høyer,Neerbek,Shi] Intersection entre f et g triées (N), O(N ½ c log*(N) ) Triangles (n 2 ), O(n+(nm) ½ )

21 21 Problèmes difciles Pour f : [N] Z Parité des collisions trouver la parité du nombre de i,j (i

22 22 Directions futures Trouver une borne inférieure pour le problème de collision dans f 2-to-1 Fermer le fossé entre les deux bornes pour le problème de collision Dans le modèle de requêtes, utiliser le fait que pour f : [N] [N] j f(j) avec =e 2 i/N est 0 pour f sans collision et diff. de 0 pour f avec une unique collision


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