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1 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE.

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1 1 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE 5 et 6 Novembre 2003 « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX AXA, JM.LOIZEAU MAAF C.PARTRAT ISFA - Institut des Actuaires

2 2 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Sommaire Besoin en fonds propres Définition et propriétés dune mesure de risque Principales mesures de risque pour le besoin en fonds propres Ecart-type (variance) Probabilité de ruine et Value at Risk (VaR) Tail Value at Risk (TVaR) Excess Tail Value at Risk (XTVaR) Expected Policyholder Deficit (EPD) Mesures de risque basées sur les opérateurs de distorsion Lien avec les approches réglementaires Conclusion

3 3 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Besoin en fonds propres Pourquoi ce besoin ? Contrainte de solvabilité vs rentabilité Besoin en fonds propres global dun centre de profit au sens large (compagnie, branche, produit) Approches Bottom-up et Top-down NON TRAITEES Le besoin en fonds propres dun assureur non-vie dépend du point de vue : Assurés, organismes de contrôle, agences de notation Actionnaires, management de la compagnie, souscripteurs

4 4 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Besoin en fonds propres Vision interne de la compagnie représente le capital théorique jugé nécessaire par lassureur pour maintenir son activité Différence entre ce capital nécessaire et le capital disponible (CSR) Vision externe du besoin en capital représente le capital minimum réglementaire ou exigé par le marché

5 5 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Définition dune mesure de risque F X fonction de répartition de X : Dans la suite, X représentera le résultat de la compagnie On appelle mesure de risque une fonction ρ associant à un risque X un réel positif ρ(X) Dans la suite, ρ(X) représentera le besoin en fonds propres

6 6 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Exemples de représentations

7 7 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Exemple

8 8 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Propriétés des mesures de risque Liste non exhaustive (ii) : Sous-additivité (iii) : Homogénéité positive (iv) : Monotonie (i) : Invariance par translation pour toute constante c,

9 9 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Propriétés des mesures de risque (v) : Borne supérieure (vi) : Conservatisme (vii) Sévérité : le besoin en capital doit tenir compte des amplitudes possibles des pertes

10 10 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Notion de cohérence Cohérence selon Artzner et al. [1999] = propriétés (i), (ii), (iii) et (iv) Limite de la propriété dhomogénéité positive Limite de la propriété de sous-additivité Exemple :

11 11 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Principales mesures de risque pour le besoin en fonds propres

12 12 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Ecart-type (Variance) Sous-additive et homogène positive MAIS pas conservatrice Moins sensible aux événements extrêmes que dautres mesures de risque : mauvaise représentation des pertes sensiblement éloignées de la moyenne Peu adaptée pour mesurer le besoin en fonds propres

13 13 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Ecart-type

14 14 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR) Probabilité de ruine = probabilité que le capital initial C, connu, soit absorbé par un résultat déficitaire : VaR : perte maximale (sur une période donnée) pour un certain niveau de sécurité α

15 15 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR)

16 16 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR) Concept simple Facile à calculer Mesure le risque en un seul nombre et ne tient pas compte de la sévérité de la ruine Pas sous-additive MAIS peut faire sens dans un objectif de solvabilité

17 17 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Tail Value at Risk (TVaR) TVaR = perte moyenne au-delà dun certain seuil dépendant de α Mesure le risque à laide de deux nombres Très sensible à la queue de distribution de X

18 18 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Tail Value at Risk (TVaR)

19 19 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Tail Value at Risk (TVaR) Assez facile à expliquer et à calculer Plus conservatrice que la VaR Respecte toutes les propriétés (i) à (vii) Risque dans la queue de distribution appréhendé UNIQUEMENT par le moment d ordre 1

20 20 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Excess Tail Value at Risk (XTVaR) Ruine moyenne au-delà dun certain seuil dépendant de α Issue de la TVaR : TVaR = VaR + XTVaR

21 21 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Expected Policyholder Deficit (EPD) Appréhende la probabilité de perte des assurés et lespérance de celle-ci A = actifs de lassureur X = engagement de lassureur vis à vis des assurés

22 22 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Expected Policyholder Deficit (EPD) Utile pour les autorités de contrôle : ratio EPD Calcul plus complexe Vérifie les propriétés de conservatisme et de sévérité mais le respect des autres propriétés na pas été démontré à ce jour

23 23 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Mesures de risque avec opérateurs de distorsion Principe = déformation dune loi de distribution donnée : F*(x)=g(F(x)) Opérateur de distorsion g = fonction croissante et concave t.q : g : [0,1] [0,1], g(0)=0 et g(1)=1 La VaR correspond à la distorsion

24 24 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Opérateurs de distorsion - Exemple

25 25 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Mesures de risque avec opérateurs de distorsion S. Wang propose la transformation suivante : Le besoin en capital est égal à Prend en compte toute la distribution Peu intuitive Mise en œuvre complexe

26 26 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Lien avec les approches réglementaires Marge de solvabilité européenne, Solvency II et probabilité de ruine RBC et EPD Canada et TVaR

27 27 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Conclusion Le respect des propriétés est-il important ? Quelle mesure ? Groupe de travail AAI (octobre 2003) : « pour lassurance, la valeur à risque dans la queue de distribution (TVaR) comporte plus davantages comme mesure de risque que le facteur VaR ». La TVaR ?... « Ce qui est simple est faux et ce qui est compliqué est inutilisable »

28 28 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Références bibliographiques Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1999), « Coherent measures of risk ». Mathematical Finance 9(3), 203–228. Butsic R. (1994), « Solvency measurement for Property-Liability Risk-Based Capital applications », Journal of Risk & Insurance 61. De la Foata C., Odjo H. (2001), « Analyse dun système de sécurité cohérent et optimal pour une compagnie dassurance IARD », ASTIN 2001 Groupe de travail de lAAI sur lévaluation de la solvabilité de lassureur (www.actuaries.org)www.actuaries.org Wang S. (2002), « A risk measure that goes beyond coherence », AFIR Wirch J.L., Hardy M.R. (1999), « A synthesis of risk measures for capital adequacy », Insurance : Mathematics & Economics 25.

29 29 05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT Merci de votre attention


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