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LAnalyse de Covariance Modèle complet Le modèle dANCOVA Le modèle de la régression commune.

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1 LAnalyse de Covariance Modèle complet Le modèle dANCOVA Le modèle de la régression commune

2 Modèles linéaires simples LAnalyse de Covariance

3 Utilisation de lANCOVA Afin de comparer une relation entre une variable dépendante (Y) et une variable indépendante (X 1 ) pour différents niveaux dune variable discrète (X 2 ) ex: la relation entre le poids (Y) et la taille (X 1 ) pour différents groupes taxonomiques (oiseaux et mammifères, X 2 ) Taille Masse Taille LAnalyse de Covariance

4 Lorsque lon fait ces comparaisons, on suppose que les modèles sont qualitativement similaires pour tous les niveaux de la variable discrète... …autrement ce serait comme comparer des pommes et des oranges! X1X1 Y Modèles qualitativement différents Y Modèles qualitativement similaires LAnalyse de Covariance Utilisation de lANCOVA

5 Le modèle de la régression simple Le modèle de la régression: toutes les régressions simples sont décrites par 2 paramètres: lordonnée à lorigine (a) et la pente (b) X X Y b = Y X (pente) a (ordonnée à lorigine) eiei XiXi YiYi Observées Prédites LAnalyse de Covariance

6 X1X1 Y a diffèrent même b X1X1 Y a & b diffèrent X1X1 Y même a, même b X1X1 Y même a différents b LAnalyse de Covariance

7 Ajustement au modèle Commencer par un modèle dordre supérieur en incluant le plus de termes possible. Ajuster un modèle réduit Tester la signification du terme exclus Modèle dordre supérieur Modèle réduit F Terme exclus (p ) Terme inclus (p ) LAnalyse de Covariance

8 Le modèle complet i est la pente de la régression de Y sur X 1 estimée pour le niveau i de la variable discrète X 2 i est la différence entre les moyennes de la variable discrète X 2 pour chaque niveau i et la moyenne générale. Le modèle complet LAnalyse de Covariance Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

9 Le modèle complet Pour le modèle complet contenant 2 variables indépendantes, on a 3 hypothèses nulles: Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 hypothèses nulles LAnalyse de Covariance

10 Y Y Y Le modèle complet

11 Conditions dapplication Les résidus sont indépendants et distribués normalement La variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable discontinue (homoscedasticité) pas derreur sur les variables indépendantes LAnalyse de Covariance Le modèle complet

12 Ajuster le modèle complet, tester la différence entre les pentes Si H 02 est rejetée, faire des régressions séparées pour chaque niveau de la variable catégorique Si H 02 est acceptée, ajuster le modèle d ANCOVA. Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 X1X1 Y ANCOVA Régressions séparées H 02 acceptéeH 02 rejetéee LAnalyse de Covariance Le modèle complet

13 Exemple Q1: la pente de la régression de LFKL sur LAGE est la même pour les deux sexes? Femelles Mâles age, sexe et longueur de lesturgeon LAnalyse de Covariance Le modèle complet

14 SEX$*LAGE Conclusion 1: la pente est la même pour les deux sexes (accepter H02 ) p(SEX$*LAGE) > 0.05 Q2: lordonnée à lorigine est-elle la même? Exemple LAnalyse de Covariance DepVar: LFKL N: 92 Multiple R: Squared multiple R: Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P LAGE SEX$ Error Le modèle complet

15 Décomposition de la variation (n-2) (différence des ordonnées à lorigine) Interaction A et B (non parallélisme des droites) Résidus autour des droites Totale (n-1) 1 Effet facteur B/A (var continue A) Hors régression Sources de variation Modèle linéaire simple SCE ddl (p-1) (n-2p) LAnalyse de Covariance Le modèle complet

16 Le modèle: est la pente de la régression de Y sur X 1 regroupée pour tous les niveaux de la variable catégorique X 2. i est la différence entre la moyenne pour chaque niveau i et la moyenne générale LAnalyse de Covariance Le modèle additif

17 Pour une ANCOVA avec 2 variables indépendantes, deux hypothèses nulles: Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 Le modèle additif LAnalyse de Covariance hypothèses nulles

18 Y Y Y LAnalyse de Covariance Le modèle additif

19 Conditions dapplication du modèle additif les résidus sont indépendants et distribués normalement la variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable catégorique (homoscedasticité) les pentes des régressions de Y sur X sont les mêmes pour tous les niveaux de la variable catégorique (ce nest pas une condition dapplication du modèle complet!!) LAnalyse de Covariance Le modèle additif

20 Procédure Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 X1X1 Y Régression commune Régressions séparées H 01 acceptéeH 01 rejetée Ajuster le modèle dANCOVA, tester: Si H 01 est rejetée, séparer les régressions pour chaque niveau de la variable discontinue Si H 01 est acceptée, ajuster une régression commune. LAnalyse de Covariance Le modèle additif

21 Exemple Conclusion 2: Ordonnée à lorigine est la même pour les deux sexes. H01 est acceptée. p(SEX$ >.05), le meilleur modèle est la régression commune. la réduction du R2 est négligeable (.697 to.696). LAnalyse de Covariance Le modèle additif LAGE Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: Squared multiple R: Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P SEX$ Error

22 Le modèle à droites confondues Le modèle: est la pente de la régression de Y sur X 1, regroupée pour tous les niveaux de la variable discrète X 2. est la moyenne groupée de X 1. LAnalyse de Covariance Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

23 On a deux hypothèses nulles pour la régression commune: Le modèle à droites confondues LAnalyse de Covariance hypothèses nulles Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

24 LAGE Exemple Le modèle à droites confondues LAnalyse de Covariance Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: Squared multiple R: Adjusted squared multiple R: Standard error of estimate: Effect Coefficient Std Error Std Coef Tolerance t P(2 Tail) CONSTANT

25 Conditions dapplication du modèle à droites confondues Les résidus sont indépendants et distribués normalement la variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable discrète (homoscédasticité) Le modèle à droites confondues LAnalyse de Covariance

26 Conclusion Aller du modèle complexe au modèle simple Donc choisir a priori les variables explicatives LAnalyse de Covariance


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