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Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012. Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Source de limage: www.mlssystems.com/thermoforming.htm.

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1 Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Source de limage:

2 Présentation du plan de cours Plan de cours: Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htmhttps://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm SYS Été

3 Introduction SYS Été

4 Pourquoi fait-on la modélisation ? SYS Été 2011 Modèle (Thinès-Lemp. 1975): Système artificiel dont certaines propriétés présentent des analogies avec des propriétés, observées ou inférées, dun système étudié, et dont le comportement est appelé, soit à révéler des comportements de loriginal susceptibles de faire lobjet de nouvelles investigations, soit à tester dans quelle mesure les propriétés attribuées à loriginal peuvent rendre compte de son comportement manifeste. Référence : Cours 2, Automatique des systèmes linéaires à temps continu, Fréd éric Gouaisbaut, LAAS-CNRS. 4

5 Les raisons de modéliser SYS Été 2011 Entraînement des opérateurs; Design des procédés; Sécurité; Design des systèmes de contrôle. 5

6 Lentrainement de opérateurs SYS Été 2011 Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… Un modèle dun procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. Simulateur de vol;… 6

7 Le design de procédés industriels SYS Été 2011 Le modèle mathématique dun procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. Dimensionnement dun réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. 7

8 La sécurité dun procédé SYS Été 2011 La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance dun équipement, le système va en se détériorant ou non. Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance dune valve. On aussi utiliser le modèle dun procédé pour faciliter le design dun système de sécurité. 8

9 Le design de systèmes de contrôle SYS Été 2011 Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. 9

10 Modélisation dun système dynamique SYS Été

11 Éléments dun système dynamique SYS Été 2011 États du système 11

12 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: 12

13 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: 13

14 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: 14

15 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: 15

16 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: 16

17 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: Sorties du système: 17

18 Équations dun système dynamique SYS Été 2011 États du système: Équations différentielles: Sorties du système: 18

19 Ces équations proviennent de… SYS Été 2011 …lois et relations mathématiques des domaines suivants: 19

20 Exemples SYS Été 2011 Loi dArrhenius Lois de Newton Relation courant tension dune inductance Les principes de la thermodynamique Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) 20

21 Types… SYS Été 2011 Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: Le système peut-être invariant dans le temps. Le système peut ne pas avoir dentrées. Le système peut être continu ou discret. Linéaire Non-linéaire 21

22 Différentes approches de modélisation SYS Été 2011 Équations différentielles ordinaires; Transformées de Laplace; Équations détat. 22

23 Exemple des 3 approches SYS Été 2011 Soit un système mécanique: u(t) = force externe (entrée); y(t) = déplacement de la masse (sortie). Équation différentielle ordinaire 23

24 Approche – équations différentielles SYS Été 2011 Solution: Divisant par k : 24

25 Obtention de la sortie y(t) SYS Été 2011 Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon damplitude A. 25

26 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2011 Solution. Transformée de Laplace : 26

27 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2011 Puis : Ce qui donne: 27

28 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2011 Si u(t) est un échelon damplitude A: Donc : 28

29 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2011 Et la transformé de Laplace inverse donne: Donc : 29

30 Bilan SYS Été 2011 Manipulations plus simples 30

31 Approche – équations détat SYS Été 2011 Solution. Équation de départ : Posant : 31

32 Approche – équations détat SYS Été 2011 Léquation se réécrit: Donc, nous avons le système déquations suivant : 32

33 Approche – équations détat SYS Été 2011 Sous forme matricielle : La sortie y(t) sécrit : 33

34 Approche – équations détat SYS Été 2011 Valeurs propres de la matrice A : Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… 34

35 Approche – équations détat SYS Été 2011 La sortie y(t) sécrit : Exponentielle dune matrice !!! 35

36 Rappels de notions de systèmes asservis SYS Été

37 Rappel – Signaux dentrée SYS Été

38 Rappel – Transformée de Laplace SYS Été

39 Rappel – Transformée de Laplace SYS Été 2011 Fonction sinusoïdale amortie: Fonction « cosinusoïdale » amortie: 39

40 Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace SYS Été

41 Rappel – Décomposition en fractions partielles SYS Été cas possibles: Les racines du dénominateur sont réels et distincts; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. 41

42 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1 SYS Été 2011 Exemple: 42

43 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2 SYS Été 2011 Exemple: 43

44 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3 SYS Été 2011 Exemple: 44

45 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été 2011 Représentation dun nombre complexe: Soit: En posant s = j ω, on obtient: Cest un nombre complexe. 45

46 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été 2011 Amplitude du nombre complexe : Exprimé en décibel: 46

47 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été 2011 Phase dun nombre complexe : Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. 47

48 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été

49 Rappel – Diagramme de Nyquist SYS Été 2011 Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. 49

50 Rappel – Marges de phase et de gain SYS Été 2011 Diagramme de Bode: 50

51 Rappel – Marges de phase et de gain SYS Été 2011 Diagramme de Nyquist: 51

52 Rappel – Lieu des racines SYS Été 2011 Position des pôles en boucle fermée: 52

53 Rappel – Lieu des racines SYS Été 2011 Dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée: Localisation des pôles de T(s) est fonction du gain K 53

54 Modélisation de la circulation (modèle simplifié) Exemple: SYS Été

55 Circulation automobile SYS Été 2011 Frustré(e) dêtre pris(e) dans la circulation ? Voyons ce quil se passe au feux de circulation. 55

56 Circulation automobile SYS Été 2011 Modèle dune voiture: Obstacle: Voiture; Feu de circulation; Arrêt. Vitesse de la voiture: 56

57 Circulation automobile SYS Été 2011 À un feu rouge: Distance entre les deux voitures: 57

58 Circulation automobile SYS Été 2011 Dérivons cette distance: Le feu passe au vert: Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c; Ainsi: 58

59 Circulation automobile SYS Été 2011 Cette équation: Devient (après Transformée de Laplace): 59

60 Circulation automobile SYS Été 2011 Soit la situation suivante à analyser: L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h). Cela implique que m = 5/4 et b =

61 Circulation automobile SYS Été 2011 Dans le domaine temporel: Comme x(0) = l = 4 m, alors: 61

62 Circulation automobile SYS Été 2011 Vitesse du second véhicule: 62

63 Outils matlab/simulink SYS Été

64 MATLAB® SYS Été 2011 Création dun modèle: Système bilinéaire: Fonction bilin_ss.m: 64

65 MATLAB® SYS Été 2011 Points déquilibre: Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles. Commande « fsolve »: 65

66 MATLAB® SYS Été 2011 Pour obtenir la dynamique du système: Fonction bilin_dyn.m: Exécution: 66

67 MATLAB® SYS Été

68 MATLAB® SYS Été

69 SIMULINK® SYS Été 2011 Simulation via schémas blocs: 69

70 SYS Été

71 Chimie SYS Été 2011 Réaction chimique: Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de la température). Loi dArrhenius: k : constante de la vitesse de réaction E : Énergie dactivation (calorie/gramme-mole); R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/k); A : Facteur de fréquence; T : Température en kelvin. 71

72 Physique mécanique SYS Été 2011 Lois de Newton: 1 ère loi (principe de linertie) : Dans un référentiel galiléen, le centre dinertie dun solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos, soit animé dun mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant). 72

73 Physique mécanique SYS Été 2011 Lois de Newton: 2 e loi (théorème du centre dinertie) : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de lobjet par son vecteur accélération. 73

74 Physique mécanique SYS Été 2011 Loi de Newton: 3 e loi : Lorsqu'un solide S 1 exerce une force sur un solide S 2, le solide S 2 exerce sur le solide S 1, la force directement opposée. 74

75 Physique électrique SYS Été 2011 Relation tension/courant dans une inductance: Relation tension/courant dans un condensateur: 75

76 Thermodynamique SYS Été 2011 Les principes: 0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique. 1 : Lénergie est toujours conservée. Transformation dune forme dénergie à une autre. 2 : Lénergie se dégrade. Passage de lénergie potentielle à lénergie cinétique (frottement, chaleur,…). 76

77 Physiologie SYS Été 2011 Modèles à compartiments: Dynamique du cholestérol: 77

78 Sources dimages/modèles SYS Été Figures aux acétates #38 et #40: Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008; Modèle de circulation: ml (visité le 6 septembre 2012), 1997; ml Figure à lacétate #77: Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., « Compartment models », (visité le 6 septembre 2012),


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