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Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012.

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1 Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012.
Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012. Source de l’image:

2 Présentation du plan de cours
Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm SYS Été 2011

3 Introduction SYS Été 2011

4 Pourquoi fait-on la modélisation ?
Modèle (Thinès-Lemp. 1975): Système artificiel dont certaines propriétés présentent des analogies avec des propriétés, observées ou inférées, d’un système étudié, et dont le comportement est appelé, soit à révéler des comportements de l’original susceptibles de faire l’objet de nouvelles investigations, soit à tester dans quelle mesure les propriétés attribuées à l’original peuvent rendre compte de son comportement manifeste. Référence : Cours 2, Automatique des systèmes linéaires à temps continu, Frédéric Gouaisbaut, LAAS-CNRS. SYS Été 2011

5 Les raisons de modéliser
Entraînement des opérateurs; Design des procédés; Sécurité; Design des systèmes de contrôle. SYS Été 2011

6 L’entrainement de opérateurs
Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. Simulateur de vol;… SYS Été 2011

7 Le design de procédés industriels
Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. SYS Été 2011

8 La sécurité d’un procédé
La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un équipement, le système va en se détériorant ou non. Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance d’une valve. On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le design d’un système de sécurité. SYS Été 2011

9 Le design de systèmes de contrôle
Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. SYS Été 2011

10 Modélisation d’un système dynamique

11 Éléments d’un système dynamique
Entrées contrôlables Système (procédé) Sorties Perturbations Paramètres États du système SYS Été 2011

12 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: SYS Été 2011

13 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) SYS Été 2011

14 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) SYS Été 2011

15 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations SYS Été 2011

16 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations Vecteur des paramètres SYS Été 2011

17 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Sorties du système: SYS Été 2011

18 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Sorties du système: Vecteur des sorties (p sorties) SYS Été 2011

19 Ces équations proviennent de…
…lois et relations mathématiques des domaines suivants: Physique mécanique Physique électrique Chimie Mécanique des fluides Thermo-dynamique Biologie Physique nucléaire Physiologie SYS Été 2011

20 Exemples Chimie Loi d’Arrhenius Physique mécanique Lois de Newton
Physique électrique Relation courant tension d’une inductance Thermo-dynamique Les principes de la thermodynamique Physiologie Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) SYS Été 2011

21 Types… Linéaire Non-linéaire
Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: Le système peut-être invariant dans le temps. Le système peut ne pas avoir d’entrées. Le système peut être continu ou discret. Linéaire Non-linéaire SYS Été 2011

22 Différentes approches de modélisation
Équations différentielles ordinaires; Transformées de Laplace; Équations d’état. SYS Été 2011

23 Exemple des 3 approches Soit un système mécanique:
u(t) = force externe (entrée); y(t) = déplacement de la masse (sortie). Équation différentielle ordinaire SYS Été 2011

24 Approche – équations différentielles
Solution: Divisant par k : SYS Été 2011

25 Obtention de la sortie y(t)
Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon d’amplitude A. SYS Été 2011

26 Approche – transformée de Laplace
Solution. Transformée de Laplace : SYS Été 2011

27 Approche – transformée de Laplace
Puis : Ce qui donne: SYS Été 2011

28 Approche – transformée de Laplace
Si u(t) est un échelon d’amplitude A: Donc : SYS Été 2011

29 Approche – transformée de Laplace
Et la transformé de Laplace inverse donne: Donc : SYS Été 2011

30 Manipulations plus simples
Bilan Manipulations plus simples SYS Été 2011

31 Approche – équations d’état
Solution. Équation de départ : Posant : SYS Été 2011

32 Approche – équations d’état
L’équation se réécrit: Donc, nous avons le système d’équations suivant : SYS Été 2011

33 Approche – équations d’état
Sous forme matricielle : La sortie y(t) s’écrit : SYS Été 2011

34 Approche – équations d’état
Valeurs propres de la matrice A : Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… SYS Été 2011

35 Approche – équations d’état
La sortie y(t) s’écrit : Exponentielle d’une matrice !!! SYS Été 2011

36 Rappels de notions de systèmes asservis

37 Rappel – Signaux d’entrée
SYS Été 2011

38 Rappel – Transformée de Laplace
SYS Été 2011

39 Rappel – Transformée de Laplace
Fonction sinusoïdale amortie: Fonction « cosinusoïdale » amortie: SYS Été 2011

40 Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace
SYS Été 2011

41 Rappel – Décomposition en fractions partielles
3 cas possibles: Les racines du dénominateur sont réels et distincts; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. SYS Été 2011

42 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1
Exemple: SYS Été 2011

43 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2
Exemple: SYS Été 2011

44 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3
Exemple: SYS Été 2011

45 Rappel – Diagramme de Bode
Représentation d’un nombre complexe: Soit: En posant s = jω, on obtient: C’est un nombre complexe. SYS Été 2011

46 Rappel – Diagramme de Bode
Amplitude du nombre complexe: Exprimé en décibel: SYS Été 2011

47 Rappel – Diagramme de Bode
Phase d’un nombre complexe: Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. SYS Été 2011

48 Rappel – Diagramme de Bode
SYS Été 2011

49 Rappel – Diagramme de Nyquist
Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. SYS Été 2011

50 Rappel – Marges de phase et de gain
Diagramme de Bode: SYS Été 2011

51 Rappel – Marges de phase et de gain
Diagramme de Nyquist: SYS Été 2011

52 Rappel – Lieu des racines
Position des pôles en boucle fermée: SYS Été 2011

53 Rappel – Lieu des racines
Dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée: Localisation des pôles de T(s) est fonction du gain K SYS Été 2011

54 Modélisation de la circulation (modèle simplifié)
Exemple: SYS Été 2011

55 Circulation automobile
Frustré(e) d’être pris(e) dans la circulation ? Voyons ce qu’il se passe au feux de circulation. SYS Été 2011

56 Circulation automobile
Modèle d’une voiture: Obstacle: Voiture; Feu de circulation; Arrêt. Vitesse de la voiture: SYS Été 2011

57 Circulation automobile
À un feu rouge: Distance entre les deux voitures: SYS Été 2011

58 Circulation automobile
Dérivons cette distance: Le feu passe au vert: Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c; Ainsi: SYS Été 2011

59 Circulation automobile
Cette équation: Devient (après Transformée de Laplace): SYS Été 2011

60 Circulation automobile
Soit la situation suivante à analyser: L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h). Cela implique que m = 5/4 et b = -5. SYS Été 2011

61 Circulation automobile
Dans le domaine temporel: Comme x(0) = l = 4 m, alors: SYS Été 2011

62 Circulation automobile
Vitesse du second véhicule: SYS Été 2011

63 Outils matlab/simulink
SYS Été 2011

64 MATLAB® Création d’un modèle: Système bilinéaire: Fonction bilin_ss.m:

65 MATLAB® Points d’équilibre:
Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles. Commande « fsolve »: SYS Été 2011

66 MATLAB® Pour obtenir la dynamique du système: Fonction bilin_dyn.m:
Exécution: SYS Été 2011

67 MATLAB® SYS Été 2011

68 MATLAB® Champ vectoriel SYS Été 2011

69 SIMULINK® Simulation via schémas blocs: SYS Été 2011

70 Fin de la présentation SYS Été 2011

71 Chimie Réaction chimique:
Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de la température). Loi d’Arrhenius: k : constante de la vitesse de réaction E : Énergie d’activation (calorie/gramme-mole); R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/k); A : Facteur de fréquence; T : Température en kelvin. SYS Été 2011

72 Physique mécanique Lois de Newton: 1ère loi (principe de l’inertie) :
Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant). SYS Été 2011

73 Physique mécanique Lois de Newton:
2e loi (théorème du centre d’inertie) : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle  des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l’objet par son vecteur accélération. SYS Été 2011

74 Physique mécanique Loi de Newton: 3e loi :
Lorsqu'un solide S1 exerce une force sur un solide S2, le solide S2 exerce sur le solide S1, la force directement opposée. SYS Été 2011

75 Physique électrique Relation tension/courant dans une inductance:
Relation tension/courant dans un condensateur: SYS Été 2011

76 Thermodynamique Les principes:
0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique. 1 : L’énergie est toujours conservée. Transformation d’une forme d’énergie à une autre. 2 : L’énergie se dégrade. Passage de l’énergie potentielle à l’énergie cinétique (frottement, chaleur,…). SYS Été 2011

77 Physiologie Modèles à compartiments: Dynamique du cholestérol:
SYS Été 2011

78 Sources d’images/modèles
Figures aux acétates #38 et #40: Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008; Modèle de circulation: ml (visité le 6 septembre 2012) , 1997; Figure à l’acétate #77: Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., «  Compartment models », (visité le 6 septembre 2012) , 2005. SYS Été 2011


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