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1 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Modélisation de la topologie avec le Graphe Génératif Gaussien Pierre Gaillard Sous la direction de : Michaël.

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1 1 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Modélisation de la topologie avec le Graphe Génératif Gaussien Pierre Gaillard Sous la direction de : Michaël Aupetit (CEA) Gérard Govaert (UTC) Commissariat à lÉnergie Atomique

2 2 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Introduction Quelle est la « forme » de ce nuage de points ? Quelle est la topologie des variétés génératrices de ce nuage de point? 1 point et 1 courbe

3 3 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Pourquoi modéliser la topologie? Reconnaissance de formes –Ajout de caractéristiques topologiques au caractéristiques statistiques et géométriques –Détection de classes distinctes via composantes connexes Analyse exploratoire –Mesure de caractéristiques topologiques –Plus court chemin le long des variétés Robotique, commande de processus –Trajectoire optimale –Cinématique inverse

4 4 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Hypothèse Des variétés génératrices inconnues… …desquelles sont issues les observations avec une ddp inconnue… …corrompues par un bruit de nature inconnue

5 5 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Modèle proposé Des variétés génératrices inconnues… …desquelles sont issues les observations avec une ddp inconnue… …corrompues par un bruit de nature inconnue Supposons une variété composite… …à chaque composant de laquelle est associé une ddp… …convoluée à un bruit gaussien isovarié.

6 6 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Quelle variété composite? Simplexes Complexes de simplexes 0-simplexe 1-simplexe 2-simplexe 3-simplexe... Réalisation géométrique dun k-simplexe = enveloppe convexe de k+1 points dans avec Complexe de simplexes Le graphe de Delaunay en est un

7 7 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Approche proposée Positionnement de prototypes (QV) Construction graphe de Delaunay (variété composite) Initialisation Modèle statistique de densité généré par la variété composite (équiprobabilité des composants)

8 8 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Approche proposée Apprentissage Réglage de la variance et des probabilités des variétés composantes pour maximiser la vraisemblance du modèle / données Utilisation de lalgorithme EM

9 9 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Approche proposée Certaines composantes ont une probabilité associée nulle: Elle ne servent pas à expliquer les données On peut les supprimer : élagage du graphe Après apprentissage Graphe représentant la topologie

10 10 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Expérience Modélisation correcte de la topologie des variétés génératrices du nuage de point malgré le bruit

11 11 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Points clefs On suppose que la topologie de la variété composite estime celle de la variété génératrice dautant mieux que le modèle est vraisemblable La topologie de la variété composite est Extractible (pour extraire linformation topologique du modèle) Flexible (pour permettre une approximation universelle) Critère statistique de vraisemblance valable en dimension quelconque

12 12 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Conclusion Méthode pour extraire linformation topologique avec une approche statistique Perspectives –Extension du modèle aux complexes de simplexes –Extension du modèle dans un cadre supervisé QUESTION ?

13 13 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Annexes Difficultés techniques –Établir le modèle générateur gaussien sur un complexe de simplexe et en déduire les équations dapprentissage et dexploitation (intégration numérique)

14 14 RIAS 2006 Gaillard Pierre & Aupetit Michaël Une base de simplexes générateurs wawa wbwb vpvp v Fonctions « erf » Intégration dune gaussienne sur un domaine simpliciel : … … Schéma numérique Algorithmes de cubature et quasi-Monte Carlo wawa wbwb wcwc Aucune w


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