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Mathématiques CST Optimisation de GRAPHES. Mathématiques CST - Loptimisation de GRAPHES - Arbre de valeurs minimales et maximales Arbre qui relie tous.

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1 Mathématiques CST Optimisation de GRAPHES

2 Mathématiques CST - Loptimisation de GRAPHES - Arbre de valeurs minimales et maximales Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une sélection darêtes pour que le poids de larbre soit le plus petit possible (minimal) ou le plus grand possible (maximal). MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 1. Énumérer toutes les arêtes et les placer en ordre croissant de poids (arbre de valeurs minimales). de poids (arbre de valeurs minimales). 2. Choisir larête ayant le plus petit poids. 3. Répéter létape 2 jusquà ce que tous les sommets soient reliés en évitant celles qui formeraient un cycle simple.

3 MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 1. Ordre croissant : Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut sassurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut sassurer que tous les immeubles soient reliés à un coût minimal. immeubles soient reliés à un coût minimal. A B 1320 C F D E

4 Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut sassurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut sassurer que tous les immeubles sont reliés à un coût minimal. immeubles sont reliés à un coût minimal. A B 1320 C F D E MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 2. Arête avec le plus petit poids : E F 2640

5 MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 3. Répéter en évitant de former un cycle simple : Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut sassurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut sassurer que tous les immeubles sont reliés à un coût minimal. immeubles sont reliés à un coût minimal. A B 1320 C F D E E F C B D A 2640 La construction des trottoirs coûtera donc 4545 $. Poids de larbre : = 4545

6 MÉTHODE : Algorithme de Kruskal Exercice #1 : Détermine larbre de valeurs minimales et son poids. A B 4 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 8 – 10 G H D C I E F B H A D I F C E G inutiles Poids de larbre : = 25

7 MÉTHODE : Algorithme de Kruskal Exercice #2 : Détermine larbre de valeurs maximales et son poids. A B 4 G H D C I E F B H A D I F C E G Poids de larbre : = – 8 – 6 – 6 – 5 – 5 – 5 – 4 – 4 – 4 – 3 – 3 – 2 – 2 – 1 inutiles

8 Mathématiques CST - Loptimisation de GRAPHES - Chaîne de poids minimal Chaîne qui a la plus petite valeur. MÉTHODE : Algorithme de Dijkstra 1. On assigne à chaque sommet un nombre et une lettre. Nombre : distance la plus courte Nombre : distance la plus courte Lettre : sommet précédent doù provient la chaîne Lettre : sommet précédent doù provient la chaîne 2. Répéter létape 1 jusquau dernier sommet. 3. Identifier la chaîne la plus courte par une lecture à rebours.

9 Exemple : Situation où les arêtes représentent des chemins et les sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point A à F. A à F. A B 7 C F D E (A) 6 (B) 5 (B) 9 (E) Chaîne la plus courte : ABEF Poids : 9 F E B A

10 Exercice #1 : A B C D E G F H J (A) 3 (A) 7 (A) 12 (D) 21 (F) 22 (H) 7 (C) 17 (E) J H F D A Chaîne de poids minimal : ADFHJ Poids de la chaîne : = 22

11 Exercice #2 : A B C D E G F H J (A) 7 (A) 6 (A) 8 (B) 10 (F) 11 (H) 6 (B) 11 (E) J H F A Chaîne de poids minimal : ABFHJ Poids de la chaîne : = 11 B

12 Chemin critique Mathématiques CST - Loptimisation de GRAPHES - Pour réaliser une tâche (bâtir une maison, faire une recette, construire un avion, etc.), on doit souvent réaliser plusieurs étapes. Certaines étapes doivent obligatoirement être faites avant certaines autres tandis que plusieurs étapes peuvent se faire en même temps (par des personnes ou des équipes différentes). Le chemin critique, cest le temps minimum requis pour exécuter la tâche. Malheureusement, on doit attendre que certaines étapes soient terminées avant de passer aux étapes suivantes. Donc, cest la chaîne ayant la plus grande valeur entre le début et la fin du projet.

13 Exemple : Situation où lon doit repeindre une pièce dune maison Étapes Temps requis (min) Préalables A.Début-- B.Aller chercher au sous-sol l'escabeau, les pinceaux, le rouleau, le bac à peinture,... 15A C.Sabler l'endroit où se trouvait la fissure5B D.Couvrir le plancher d'un plastique10B E.Acheter la peinture à la quincaillerie20A F.Faire le découpage au pinceau50D, E G.Peindre les murs au rouleau30C, D, E H.Nettoyer le rouleau et le bac5G I.Nettoyer les pinceaux5F J.Ranger tout le matériel au sous-sol15H, I K.Admirer le travail-J Temps requis si on effectuait la tâche seul :155-

14 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables A.Début--A

15 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables B.Aller chercher au sous-sol l'escabeau, les pinceaux, le rouleau, le bac à peinture,... 15AA B 15

16 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables C.Sabler l'endroit où se trouvait la fissure5BC 5 A B 15

17 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables D.Couvrir le plancher d'un plastique10BC 5 A B 15 D 10

18 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables E.Acheter la peinture à la quincaillerie20AC 5 A B 15 D 10 E 20

19 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables F.Faire le découpage au pinceau50D, EC 5 A B 15 D 10 E 20 F 50 50

20 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables G.Peindre les murs au rouleau30C, D, EC 5 A B 15 D 10 E 20 F G

21 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables H.Nettoyer le rouleau et le bac5GC 5 A B 15 D 10 E 20 F G H 5

22 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables I.Nettoyer les pinceaux5FC 5 A B 15 D 10 E 20 F G H 5 I 5

23 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables J.Ranger tout le matériel au sous-sol15H, IC 5 A B 15 D 10 E 20 F G H 5 I 5 J 15 15

24 Graphe de la situation : Étapes Temps requis (min) Préalables K.Admirer le travail-JC 5 A B 15 D 10 E 20 F G H 5 I 5 J K 0

25 Procédure pour trouver le chemin critique : C 5 A B 15 D 10 E 20 F G H 5 I 5 J K 0 On assigne à chaque sommet un nombre et une lettre. On assigne à chaque sommet un nombre et une lettre. Le nombre est la plus grande somme des valeurs pour se rendre du point de Le nombre est la plus grande somme des valeurs pour se rendre du point de départ au sommet étudié. départ au sommet étudié. La lettre est le sommet précédent dans la chaîne (ou chemin) qui a cette plus La lettre est le sommet précédent dans la chaîne (ou chemin) qui a cette plus grande somme. grande somme. On identifie la chaîne (ou le chemin) par une lecture à rebours (à reculons). On identifie la chaîne (ou le chemin) par une lecture à rebours (à reculons). 15 (A) 20 (A) 20 (B) 25 (B) 75 (D) 55 (D) 60 (G) 80 (F) 95 (I) 95 (J) Chemin critique : ABDFIJK Temps minimum pour réaliser le projet : 95 minutes

26 A B C D E G F H J (A) 3 (A) 7 (A) 12 (D) 27 (G) 28 (H) 11 (B) 21 (E) J G E B Chemin critique : ADFHJ Exercice #1 : A H

27 A B C D E G F H J (A) 10 (D) 6 (A) 11 (B) 25 (G) 26 (H) 17 (F) 22 (E) J H G E F B A Chemin critique : ABFEGHJ Exercice #2 :


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