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Mathématiques SN RÉSOLUTIONS déquations et inéquations TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN RÉSOLUTIONS déquations et inéquations TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions déquations SINUSOÏDALES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 32 = sin x 32 sin -1 ( ) = x Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 32

3 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

4 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 32 = sin x 32 sin -1 ( ) = x Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 32 3 x 1 = 23 x 2 = et Comme x 1 et x 2 sont les zéros à lintérieur de 1 cycle seulement, il faut aussi nommer tous les autres ! P P = 2 | b | 2 | 1 | P = Période = 2 = 2 Réponse : x + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n où n P – 1 P

5 sin -1 ( ) = 3x Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 = - sin 3x 12 = sin 3x 12 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 12 2

6 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

7 6 3x = 56 et P = 2 | b | 2 | 3 | P = Période Réponse : x + n, + n où n x + n, + n où n sin -1 ( ) = 3x Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 = - sin 3x 12 = sin 3x 12 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? x 1 = 518 x 2 = 23 = 23 23

8 cos -1 ( ) = (x + ) Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 = cos (x + ) 12 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? 12 12

9 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

10 cos -1 ( ) = (x + ) Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 = cos (x + ) – 1 12 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? x + = 53 et x 1 = 23 x 2 = P = 2 | b | 2 | 1 | P = Période = 2 = 2 Réponse : x + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n où n

11 sin -1 ( ) = (x + 1) Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 = sin (x + 1) 2 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 2 2

12 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

13 sin -1 ( ) = (x + 1) Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 = sin (x + 1) 2 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = et P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x + 2n, + 2n où n x + 2n, + 2n où n x 1 = 56 x 2 = = x + 1 = x + 1 =

14 cos -1 ( ) = x Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x = 2 cos x + 2 = cos x Quel est langle dont la valeur en « x » est ?

15 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

16 cos -1 ( ) = x Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x = 2 cos x + 2 = cos x Quel est langle dont la valeur en « x » est ? x = x = 54 et 3 4 x = 34 x 1 = 5 4 x = 54 x 2 = P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x + 2n, + 2n où n x + 2n, + 2n où n = 2

17 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

18 1 1yx P( 1 ) = (, ) P( 2 ) = (, ) = – 1 2 = – 1 1

19 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,34 = (x – 0,25) et – 0,34 = (x – 0,25) – 0,34 = (x – 0,25)

20 1 1yx P( 1 ) = (, ) P( 2 ) = (, ) = – 0,34 2 = – 0,34 0,34 - 0,34 2 = 2,8 2 = 2,8

21 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,34 = (x – 0,25) et – 0,34 = (x – 0,25) – 0,34 = (x – 0,25) 0,3582 = x 1 2,8 = (x – 0,25) 1,1413 = x 2 P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x 0, n, 1, n où n x 0, n, 1, n où n = 2

22 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2)

23 1 1yx P( 1 ) = ( 0,4, ) 1 P( 2 ) = ( 0,4, ) 2 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 1 0,4

24 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2) 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2

25 1 1yx P( 1 ) = ( 0,4, ) 1 P( 2 ) = ( 0,4, ) 2 1,16 0,4 - 1, = 2 – 1,16 2 = 2 – 1,16 2 = 5,123 2 = 5,123

26 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2) 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2 6,32 = x 1 5,123 = 0,5x – 2 14,25 = x 2 P = 2 | b | 2 | 0,5 | P = Période Réponse : x 6, n, 14, n où n x 6, n, 14, n où n = 4 = 4

27 Résolutions dinéquations SINUSOÏDALES Exemple : Résoudre 2 sin 2 (x + ) P Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES -

28 Résoudre 2 sin 2 ( x + ) 0 Exemple : 2 (x + ) sin -1 ( 0 ) 2 sin 2 (x + ) 0 sin 2 (x + ) 0 Quel est langle dont la valeur en « y » est 0 ?

29 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

30 Résoudre 2 sin 2 ( x + ) 0 Exemple : 2 (x + ) = sin -1 ( 0 ) 2 sin 2 (x + ) = 0 sin 2 (x + ) = 0 Quel est langle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) = 0 2 (x + ) = 2 (x + ) = et P = 2 | b | 2 | 2 | P = Période Réponse : x [ - + n, + n ] où n x [ - + n, + n ] où n = x 1 = - x 1 = - x 2 =

31 Résolutions déquations TANGENTES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES -

32 1 1yx RAPPEL sin sin cos cos tan = On sait que : Donc : yx tan = P( ) = (, ) cos cos sin sin x y 1

33 Résolutions déquations TANGENTES 0 = - tan 2 (x – ) + 1 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 Quel est langle dont la valeur est « 1 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (1) = 2 (x – ) 4 Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES -

34 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

35 0 = - tan 2 (x – ) + 1 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 Quel est langle dont la valeur est « 1 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (1) = 2 (x – ) 4 = 2 (x – ) 4 4 et 4 54 = x – = x 1 38 = x 2 78 P = | b | | 2 | P = Période Réponse : x + n où n x + n où n =2 2 38

36 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0 REMARQUE…

37 En RÉSUMÉ… 2 = – 1 2 = – 1 Avec SIN : 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 Avec COS : 2 = = + 1 Avec TAN :

38 0 = -3 tan (x – ) + 3 Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) = tan (x – ) 12 Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 ( ) = (x – )

39 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) ÷ = x =1 3 Il faut rationnaliser ! EXPLICATION : 3 3

40 0 = -3 tan (x – ) + 3 Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) = tan (x – ) 12 Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 ( ) = (x – ) = (x – ) 12 6 et = x – = x – 26 = x 1 43 = x – = x – = x P = | b | | 1/2 | P = Période Réponse : x + 2 n où n x + 2 n où n = 2 = 2 43

41 Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions dinéquations TANGENTES Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – P = /2 y = 1

42 Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – , (x + ) 8 et + -1, (x + ) + -1, (x + )8 -0,55355 x ,94625 x 1 2, (x + ) 8 1,01722 x + 8 0,6245 x tan 2 (x + ) – tan 2 (x + ) 8 -2 tan 2 (x + ) 8 Quel est langle dont la valeur est « -2 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (-2) 2 (x + ) 8 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

43 y = 1 -0,94625 P = | b | | 2 | P = Période Réponse : x ] + n, -0, n ] où n x ] + n, -0, n ] où n =


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