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Mathématiques SN RÉSOLUTIONS déquations et inéquations TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN RÉSOLUTIONS déquations et inéquations TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions déquations SINUSOÏDALES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 32 = sin x 32 sin -1 ( ) = x Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 32

3 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

4 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 32 = sin x 32 sin -1 ( ) = x Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 32 3 x 1 = 23 x 2 = et Comme x 1 et x 2 sont les zéros à lintérieur de 1 cycle seulement, il faut aussi nommer tous les autres ! 3 23 + 1 P P = 2 | b | 2 | 1 | P = Période = 2 = 2 Réponse : x + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n où n 3 23 + 1 P – 1 P

5 sin -1 ( ) = 3x Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 = - sin 3x 12 = sin 3x 12 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 12 2

6 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

7 6 3x = 56 et P = 2 | b | 2 | 3 | P = Période Réponse : x + n, + n où n x + n, + n où n 18 518 sin -1 ( ) = 3x Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 = - sin 3x 12 = sin 3x 12 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 12 2 18 x 1 = 518 x 2 = 23 = 23 23

8 cos -1 ( ) = (x + ) Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 = cos (x + ) 12 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? 12 12

9 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

10 cos -1 ( ) = (x + ) Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 = cos (x + ) – 1 12 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? 12 1 2 3 x + = 53 et -2 -2 3 x 1 = 23 x 2 = P = 2 | b | 2 | 1 | P = Période = 2 = 2 Réponse : x + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n où n -2 -2 3 23

11 sin -1 ( ) = (x + 1) Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 = sin (x + 1) 2 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 2 2

12 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

13 sin -1 ( ) = (x + 1) Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 = sin (x + 1) 2 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 2 2 76 (x + 1) = (x + 1) = 11 11 6 (x + 1) = (x + 1) = et P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x + 2n, + 2n où n x + 2n, + 2n où n 16 56 16 x 1 = 56 x 2 = = 2 7 6 x + 1 = 11 11 6 x + 1 = 76 116

14 cos -1 ( ) = x Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2 0 = 2 cos x + 2 = cos x - 2 2 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? - 2 2 2

15 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

16 cos -1 ( ) = x Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2 0 = 2 cos x + 2 = cos x - 2 2 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? - 2 2 2 34 x = x = 54 et 3 4 x = 34 x 1 = 5 4 x = 54 x 2 = P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x + 2n, + 2n où n x + 2n, + 2n où n 34 54 = 2

17 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 13 13 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

18 1 1yx P( 1 ) = (, ) 113 13 P( 2 ) = (, ) 13 2 2 = – 1 2 = – 1 1

19 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 13 13 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,34 = (x – 0,25) et – 0,34 = (x – 0,25) – 0,34 = (x – 0,25)

20 1 1yx P( 1 ) = (, ) 1 1 3 13 P( 2 ) = (, ) 13 2 2 = – 0,34 2 = – 0,34 0,34 - 0,34 2 = 2,8 2 = 2,8

21 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 13 13 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,34 = (x – 0,25) et – 0,34 = (x – 0,25) – 0,34 = (x – 0,25) 0,3582 = x 1 2,8 = (x – 0,25) 1,1413 = x 2 P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x 0,3582 + 2n, 1,1413 + 2n où n x 0,3582 + 2n, 1,1413 + 2n où n = 2

22 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 2 = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2)

23 1 1yx P( 1 ) = ( 0,4, ) 1 P( 2 ) = ( 0,4, ) 2 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 1 0,4

24 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 2 = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2) 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2

25 1 1yx P( 1 ) = ( 0,4, ) 1 P( 2 ) = ( 0,4, ) 2 1,16 0,4 - 1,16 2 2 = 2 – 1,16 2 = 2 – 1,16 2 = 5,123 2 = 5,123

26 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 2 = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2) 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2 6,32 = x 1 5,123 = 0,5x – 2 14,25 = x 2 P = 2 | b | 2 | 0,5 | P = Période Réponse : x 6,32 + 4 n, 14,25 + 4 n où n x 6,32 + 4 n, 14,25 + 4 n où n = 4 = 4

27 Résolutions dinéquations SINUSOÏDALES Exemple : Résoudre 2 sin 2 (x + ) 0 1 2 4 32 32 52 72 -2 - -3 -3 2 -2 -2 -5 -5 2 -3 -3 -7 -7 2 2 3 + 1 P Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES -

28 Résoudre 2 sin 2 ( x + ) 0 Exemple : 2 (x + ) sin -1 ( 0 ) 2 sin 2 (x + ) 0 sin 2 (x + ) 0 Quel est langle dont la valeur en « y » est 0 ?

29 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

30 Résoudre 2 sin 2 ( x + ) 0 Exemple : 2 (x + ) = sin -1 ( 0 ) 2 sin 2 (x + ) = 0 sin 2 (x + ) = 0 Quel est langle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) = 0 2 (x + ) = 2 (x + ) = et P = 2 | b | 2 | 2 | P = Période Réponse : x [ - + n, + n ] où n x [ - + n, + n ] où n -2 -2 = x 1 = - x 1 = - x 2 =

31 Résolutions déquations TANGENTES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES -

32 1 1yx RAPPEL sin sin cos cos tan = On sait que : Donc : yx tan = P( ) = (, ) cos cos sin sin x y 1

33 Résolutions déquations TANGENTES 0 = - tan 2 (x – ) + 1 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 4 -1 = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 Quel est langle dont la valeur est « 1 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (1) = 2 (x – ) 4 Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES -

34 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

35 0 = - tan 2 (x – ) + 1 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 4 -1 = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 Quel est langle dont la valeur est « 1 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (1) = 2 (x – ) 4 = 2 (x – ) 4 4 et 4 54 = x – 4 8 4 58 = x 1 38 = x 2 78 P = | b | | 2 | P = Période Réponse : x + n où n x + n où n =2 2 38

36 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0 REMARQUE… 14 + + 24

37 En RÉSUMÉ… 2 = – 1 2 = – 1 Avec SIN : 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 Avec COS : 2 = + 1 2 = + 1 Avec TAN :

38 0 = -3 tan (x – ) + 3 Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 12 = tan (x – ) 12 Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 ( ) = (x – ) 12 12 33 33 33

39 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0 12 32 ÷ =12 2 3 x =1 3 Il faut rationnaliser ! EXPLICATION : 3 3

40 0 = -3 tan (x – ) + 3 Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 12 = tan (x – ) 12 Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 ( ) = (x – ) 12 12 33 33 33 = (x – ) 12 6 et 12 76 = x – = x – 26 = x 1 43 = x – = x – 14 14 6 = x 2 10 10 3 P = | b | | 1/2 | P = Période Réponse : x + 2 n où n x + 2 n où n = 2 = 2 43

41 Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions dinéquations TANGENTES Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 1 8 - 5 52 32 -2 - -3 -3 2 8 P = /2 y = 1

42 Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 1 8 -1,1071 2 (x + ) 8 et + -1,1071 2 (x + ) + -1,1071 2 (x + )8 -0,55355 x + 8 -0,94625 x 1 2,0344 2 (x + ) 8 1,01722 x + 8 0,6245 x 2 1 - tan 2 (x + ) – 1 8 2 - tan 2 (x + ) 8 -2 tan 2 (x + ) 8 Quel est langle dont la valeur est « -2 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (-2) 2 (x + ) 8 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

43 - 5 52 32 -2 - -3 -3 2 8 y = 1 -0,94625 P = | b | | 2 | P = Période Réponse : x ] + n, -0,94625 + n ] où n x ] + n, -0,94625 + n ] où n = -3 -3 8 2 22


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