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Chap 6 1 Chapitre 6 Réseaux de Petri et logique temporelle w3.uqo.ca/luigi/

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1 Chap 6 1 Chapitre 6 Réseaux de Petri et logique temporelle w3.uqo.ca/luigi/

2 INF6001 Chap 6 2 Réseaux de Petri Formalisme pour la spécification de systèmes répartis Inventé au début des années 1960 par un chercheur allemand, Carl Adam Petri Un des informaticiens les plus cités En même temps un des moins productifs en termes de nombre de publications! A été énormément étudié et développé, et lest encore aujourdhui, surtout en Europe, et surtout en France En principe très simple, mais Un très grand nombre de variations a été étudié Beaucoup de ressources Web, cours en ligne, etc.

3 INF6001 Chap 6 3 Places, transitions et tire - modèle de base Places Transitions Arcs Quand toutes les places dentrée à une transition sont marquées avec des jetons, la transition peut tirer et alors les jetons sont retirés des places dentrée et ajoutés à toutes les places de sortie. Jeton ou Marque Tire!

4 INF6001 Chap 6 4 Observez la différence... Après la transition, des jetons seront mis dans les deux places suivantes et il y aura traitement parallèle dans les deux directions Après la transition, un seul jeton sera mis dans une seule des deux places suivantes (lune ou lautre) et une seule branche sera exécutée Nous avons deux jetons, donc deux transitions sont possibles: ceci serait ou bien lune et lautre ou bien deux fois une des deux

5 INF6001 Chap 6 5 Exemple p1 p2 p3 t0 t1 t2 t3 Marquage initial: Y a-t-il une transition qui peut tirer?

6 INF6001 Chap 6 6 Deux transitions qui peuvent tirer, t1 et t3 Marq. initial p1 p2 p3 t1 t3 (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) t0 t1 t2 t3 t0 t2

7 INF6001 Chap 6 7 Analyse daccessibilité pour les réseaux de Petri Un réseau de Petri avec 3 états (= marquages) accessibles Marq. initial p1 p2 p3 t1 t3 t2 t0 (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) t0 t1 t2 t3 t0 t2

8 INF6001 Chap 6 8 Vecteurs de marquages Les états peuvent être représentés par des vecteurs de marquages (1 0 0) = jeton sur p1, pas de jeton sur p2 ou p3, etc. Le réseau peut être vu comme une machine à états (graphe de marquage) (1 0 0) (0 0 1) (0 1 0) t1 t0 t3 t2

9 INF6001 Chap 6 9 Il est aussi possible dobtenir un RP à partir dune machine à états vend 15¢ bonbon vend 20¢ bonbon 0 5 Figures provenant de Machine à états

10 INF6001 Chap 6 10 Réseau de Petri équivalent chaque transition a seul. 1 entrée et 1 sortie 5 10 vend 15¢ bonbon vend 20¢ bonbon

11 INF6001 Chap 6 11 Représentation de parallélisme Les Réseaux de Petri sont plus synthétiques que les machines à états pour la représentation du parallélisme Pour représenter ce réseau, une machine à états doit donner lentrelacement de t2 et t3 t2 t3 t1t4

12 INF6001 Chap 6 12 Machine à états correspondante t2 t3 t1t4 p1 p2 p3 p4 p5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t2 t3 t4 t1 Mais sil y avait plus de transitions à entrelacer…

13 INF6001 Chap 6 13 Le même chose en LOTOS 1 ère possibilité (à contrôler comme exercice) A := B |[t4,t1]| C where B := t2; t4; t1; B C := t3; t4; t1; C

14 INF6001 Chap 6 14 Même chose en LOTOS 2 ème possibilité (Exercice) A:= (t2; exit ||| t3; exit) >> B B:= t4; t1; A Aspect de LOTOS qui na pas été expliqué: Lopérateur >> cause une synchronisation entre les exit qui résulte dans une action interne i, suivie par le comportement B t2 t3 t2 i t4 t1

15 INF6001 Chap 6 15 Explosion détats dans graphes de marquage t1 t2 t3 p1 p2 p3 p5 p4 t t1 t t2 t4 t3 t4 t3 etc. Exercice: compléter ceci p5 p6

16 INF6001 Chap 6 16 Modélisation de flux de données (utilisée pour la conception darchitecture de matériel) a a b b a+b a-b + - / 0 =0 x Erreur copy x = (a+b)/(a-b) a b

17 INF6001 Chap 6 17 Modélisation de protocoles: envoi et attente prêt à env. attente acquitt. acq. reçu msg. reçu acq. envoyé prêt à rec. tampon plein env. msg. rec. acq. recevoir env. acquitt. proc.1 proc.2

18 INF6001 Chap 6 18 Exercice: calculer le graphe de marquage p1 p2 p3 p7 p8 p6 p5 p4 t1 t2 t4 t5 t3 t6

19 Service Transport OSI en RP: phase connexion INF6001 Chap 6 19

20 INF6001 Chap 6 20 Modélisation des files Les files dattente sont modélisées par le fait quune place peut contenir plus dun jeton Cependant dans les RP de base les jetons dans une place nont pas dordre Cas limite: t1 t2 p1 p2 p3 p1 a un jeton et est capable de tirer t1 un nombre arbitraire de fois; cependant p3 na pas de jeton donc un nombre arbitraire de jetons pourra saccumuler dans p2 sans jamais tirer t2

21 INF6001 Chap 6 21 Modélisation de files, cas plus normal… t1 p1 p2 p3 Supposons que t3 tire beaucoup plus rapidement que t1. Si p2 se trouve à être vide, un nombre arbitraire de jetons peut saccumuler dans p3, cependant dès que p2 aura un jeton, t2 tirera (symétrique pour t1 et t3) t2 t3 p4

22 INF6001 Chap 6 22 Poids aux transitions Les arcs peuvent avoir un poids, ce qui permet dexprimer concisément des situations plus compliquées Jusquà présent, tous les arcs avaient poids 1 22 Il faut 2 jetons sur la place de haut pour causer le tir

23 Réseaux de Petri colorés Les couleurs identifient des types de données différentes Une place peut contenir des jetons de différents couleurs, p.ex. 1 jeton rouges et 2 verts Une règle de tirage pourrait être comme suit: Pour tirer, il faut consommer au moins un jeton rouge et un vert, et le résultat sera trois jetons bleus dans la place suivante INF6001 Chap 6 23

24 INF6001 Chap 6 24 Différentes possibilités avec Petri Nets séquence choix parallélisme synchronisation Confusion: P peut faire tirer A ou B (ce dernier avec Q) mais sil fait tirer A, B devient impossible A B C P Q Fusion Les trois transitions ne sont pas obligées dêtre simultanées, la place a besoin dun seul jeton pour procéder B Q Priorité/inhibition: le cercle indique que sil y a un jeton dans Q, la transition B ne peut pas tirer

25 INF6001 Chap 6 25 Réseau de Petri pour bit alterné [Tanenbaum]

26 INF6001 Chap 6 26 Autre bit alterné (problématique dans certains aspects) BA unidirectionnel Communication directe (synchrone) entre les deux stations Et sans erreur! DT0 est envoyé et reçu ACK0 est envoyé et reçu DT1 est envoyé et reçu ACK1 est envoyé et reçu Retour au début… t0 remet le jeton dans SS0, car il en aura besoin pour t2 Cependant ce mécanisme peut causer accumulation dun nombre arbitrairement grand de jetons dans DT0 et DT1 [Sarikaya] Récepteur état initial Émetteur état initial SS0 RS0 DT0 ACK0 SS1 DT1 ACK1 RS1 t0 t1 t2 p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 t3 t4 t5

27 INF6001 Chap 6 27 Variétés de Réseaux de Petri Ces idées de base a été développées grandement et nous avons: RP colorés RP temporisés: temps associé aux transitions RP stochastiques RP Markoviens RP numériques RP emboîtés RP orientés objet Etc, etc…

28 INF6001 Chap 6 28 V&V avec Réseaux de Petri Un grand nombre de techniques de vérification sont associées aux RP Principalement basées sur la manipulation des vecteurs de marquage et de matrices reliées Questions de vérification Accessibilité: nous avons vu comment faire lanalyse daccessibilité avec les RP n-borné: dans aucune place on ne peut jamais avoir plus de n jetons Vivacité (liveness): une transition est vivace si elle peut être tirée à partir de létat initial (directement ou indirectement) Absence de blocage: impossibilité darriver à un état final diwww.epfl.ch/w3lco/pub/racloz/ ps9798/LesProprietes.fm.ps Ces questions sont adressée avec des algorithmes basés sur la manipulation des vecteurs de marquage

29 INF6001 Chap 6 29 Propriétés des RP avec exemples Borné: quaucune place ne puisse avoir un nombre arbitrairement grand de jetons Vivace: toute transition peut être tirée (directement ou indirectement) à partir de nimporte quel marquage Donc il ny a pas dimpasse Réversible si pour toute transition t il existe une transition t qui en renverse les effets C. Girault and R. Valk, Petri Nets for Systems Engineering, Springer Verlag, 2003

30 INF6001 Chap 6 30 Comment vérifier les différentes propriétés B, L, R? Technique de base: calculer le graphe de marquage Exercice: faire ceci pour quelques uns des RP précédents

31 INF6001 Chap 6 31 Critique des RP Les RP permettent de représenter des systèmes entiers Notation naturelle pour le parallélisme Le problème majeur est que pour représenter un système réel il faut remplir des énormes graphes, sans aucune structure! Aussi difficulté den comprendre le fonctionnement Plusieurs méthodes existent pour remédier à cette situation, mais la notation devient plus complexe et les chercheurs ne sont pas daccord sur les meilleurs méthodes Cependant les RP sont utiles comme représentation interne associée à une autre technique qui est utilisée par lusager P. ex. loutil Caesar/Aldébaran transforme LOTOS en RP Il y a des outils qui transforment SDL en RP Les méthodes de vérification pour les RP deviennent donc disponibles aux utilisateurs de SDL, LOTOS, etc. On appelle ceci Petrification!

32 Présentations la semaine prochaine INF6001 Chap 6 32

33 Présentations préliminaires des projets Yaovi Ahadjitse : Vérification de propriétés du protocole AODV utilisant loutil Promela-Spin Nora Belghazi : Utiliser le navigateur Use Case Maps pour illustrer un scenario de conditions routières des véhicules a lentrée dune autoroute Christian Deschamplain : Amélioration dun protocole de routage ad hoc sans fils pour léquité des flux et la QdS avec vérifications et tests Boné Maboudou : Techniques de réduction de l´explosion d´états dans les machines a états finis. INF6001 Chap 6 33

34 Pour la semaine prochaine Chacun doit faire une présentation préliminaire mais informative de son propre projet: Approx 15 transparents, 20 mins chaque Chacun aussi doit me donner un rapport préliminaire de la longueur dapprox 5 pages, voir spécifications dans: s s Je peux attendre jusquà vendredi 2 mars pour ce rapport INF6001 Chap 6 34

35 INF6001 Chap 6 35 Model checking? Analyse de modèle?

36 INF6001 Chap 6 36 Model checking??

37 INF6001 Chap 6 37 Histoire: logique modale, logique temporelle, modèle Les concepts de logique modale, logique temporelle et modèle furent développés par les philosophes Prior, Meredith et Kripke autour des années 1960 Mais ils étaient déjà connus en philosophie avant ça La logique modale est un système logique où on utilise des opérateurs additionnels pour spécifier des modalités P.ex. les opérateurs nécessité et possibilité en ajout aux opérateurs logiques conventionnels sil est nécessaire quil pleuve, donc il est possible que je me mouille Le même principe est utilisé pour définir autres types dopérateurs modales: Logique déontique, dont les opérateurs modales sont obligatoire, défendu, permis, etc. Logique temporelle, dont les opérateurs sont désormais, finalement La logique temporelle fut introduite en informatique par Amir Pnueli en 1977

38 INF6001 Chap 6 38 Logique: Rappel de Notation Variables: x, y, z… Constantes: a, b, c… Opérateurs principaux: Logique propositionnelle: (et) (parfois aussi écrit &, &&..) (ou) (parfois aussi écrit ||) (négation) (parfois aussi écrit ~ ou !) (implication), A B est défini comme A B (équivalence, iff), A B est défini comme A B B A Logique des prédicats: P(x1, …, xn) (le tuple x1, …, xn a la propriété P) x1,…,xn (il existe x1, …, xn ) x1,…,xn (pour tous les x1, …, xn ) P.ex. x,y z =(x+y,z) ou x,y z (x+y=z) ( x (P(x) Q(x)) P(a) ) Q(a) ( x (P(x) Q(x)) y(P(y))) z Q(z)

39 INF6001 Chap 6 39 Dualité entre opérateurs logiques Lois de dualité (De Morgan): A B = ( A B) x P(x) = x P(x) Ces deux dernières se justifient par les deux premières et le fait que x P(x) = ( P(a) P(b) P(c)….) Si a, b, c… sont tous les éléments du domaine en considération Faisant lhypotèse que le domaine nest pas vide!

40 INF6001 Chap 6 40 Logiques modales Dans les logiques modales, on ajoute des opérateurs pour exprimer certaines propriétés qui ne peuvent pas être exprimées directement en logique pure P.ex. nécessité et possibilité (logique modale usuelle) Obligation et permission (logique déontique) Les logiques modales sont caractérisées par le fait quil y a dualité entre ces opérateurs: nécessaire (x) non possible non x obligatoire (x) = non permis non x

41 INF6001 Chap 6 41 Logique temporelle Les modalités principales sont: dorénavant, désormais (aussi écrit G) finalement, enfin (aussi écrit F) Dualité: p = p (sil fera beau dorénavant, il est faux que finalement il pleuvra!) p = p (si finalement je serai riche, il est faux que je serai toujours pauvre!) Et donc aussi (par élimination des doubles négations) p = p

42 INF6001 Chap 6 42 Assertions sur traces ou runs = exécutions Holzmann, SPIN model checker, Chap. 6 Le modèle de SPIN est un automate fini qui est capable dexécuter des séquences dévénements Une exécution (ou run, ou chaîne) est une séquence de transitions détat correspondant à une exécution de lautomate Les transitions sont de la forme:(s i, l, s j ) État initial, étiquette (opération exécutée), état final Les traces sont de la forme {(s 0, l 0, s 1 ), (s 1, l 1, s 2 ), (s 2, l 2, s 3 ), … } Ces séquences ont des propriétés qui peuvent être contrôlées (checked) Vrai ou faux = chaînes

43 Concept de modèle Un modèle représente un monde, un univers qui peut ou non avoir certaines propriétés P.ex. les automates discutés dans le cours sont des modèles de protocoles INF6001 Chap 6 43

44 INF6001 Chap 6 44 Un modèle X=13X=(X/2)+1 X>0 X=X/2 X0X0 s0 Nous pouvons affirmer des propriétés pour: Des états: p.ex. à létat s1, X=13 toujours (invariant) pas besoin de logique temporelle ici Des chaînes, p.ex. x0 ou x0, mais pas x0 (!) Exercice: contrôlez ceci s1 s2 s3 X: entier. État dacceptation

45 Une chaîne possible pour ce modèlè (s0, X=13, s1)(s1, x=(x/2)+1, s2)(s2, x>0, S3) …. INF6001 Chap 6 45

46 INF6001 Chap 6 46 Acceptation de chaînes infinies Dans cette logique, une chaîne est acceptée ssi elle passe un nombre infini de fois par un état dacceptation Ssi elle reste dans une boucle incluant un état dacceptation On naccepte que des chaînes infinies On ne considère que les propriétés des chaînes infinies

47 Concept de satisfaction, symbole Un modèle, ou partie de modèle, peut satisfaire une propriété ou non Il satisfait la propriété ssi la propriété est vraie dans le modèle P.ex. si on regarde le modèle de la vie dun sujet A, on pourrait constater que A a été étudiant gradué: propriété satisfaite A est devenu professeur: propriété satisfaite A est devenu riche: propriété non-satisfaite A a vécu dans au moins 4 villes différentes: propriété satisfaite A a vécu dans 10 villes différentes: propriété non-satisfaite INF6001 Chap 6 47

48 Exemples de satisfaction en logique Une formule logique est satisfiable sil y a une affectation de valeurs de vérité aux variables qui la rend vraie p q est satisfait si au moins un de p ou q est satisfait (= est vrai) P.ex. supposons quaujourdhui il fait beau (Il fait beau) (jai bien mangé) est satisfait indépendamment de comment jai mangé. Mais (Il fait beau) (jai bien mangé) est satisfait seulement si les deux sont satisfaits INF6001 Chap 6 48

49 Une propriété peut aussi être satisfaite à un état À létat courant, chacun de vous satisfait la propriété: vous êtes étudiant gradué Dans un état futur, vous pourriez ou non satisfaire la propriété: avoir obtenu la maîtrise INF6001 Chap 6 49

50 INF6001 Chap 6 50 Les opérateurs temporels sont des abréviations Utilisons la notation p pour dire: La chaîne satisfait la propriété p vrai est toujours vrai, pour tout faux est toujours faux, pour tout p est une abréviation pour: pour tous les éléments de, p est vrai dorénavant, désormais p est une abréviation pour: Pour au moins un élément de p est vrai finalement, enfin

51 INF6001 Chap 6 51 Notation pour les chaînes i est lélément i de la chaîne [i] est la chaîne qui commence à lélément i Donc récursivement: 1 [2] 1 2 [3] Etc. … … σ iσ i σ[i]

52 Par rapport à notre exemple (s0, X=13, s1)(s1, x=(x/2)+1, s2)(s2, x>0, S3)(s3, x=x/2,s2) … 1 = (s0, X=13, s1) [1] = 2 = (s1, x=(x/2)+1, s2) [2] = (s1, x=(x/2)+1, s2)(s2, x>0, S3) (s3, x=x/2,s2) …. 3 =(s2, x>0, S3) [3] = (s2, x>0, S3) (s3, x=x/2,s2) … Etc. INF6001 Chap 6 52

53 INF6001 Chap 6 53 Notation pour les chaînes i P veut dire que le i-ème élément de la chaîne satisfait la propriété P i] Q veut dire que la chaîne à partir du i-ème élément satisfait la propriété Q … … σ iσ i σ[i]

54 Deux opérateurs jusquà: faible et fort FAIBLE: Je serai pauvre jusquà ce que je serai riche: Définition: Ou bien je suis déjà riche Ou bien je serai pauvre jusquà ce que je serai riche Lévénement attendu pourrait ne jamais se vérifier FORT: Nous regarderons le spectacle jusquà la fin Définition: Nous regarderons le spectacle jusquà la fin dans le sens précédent Il y aura une fin INF6001 Chap 6 54

55 INF6001 Chap 6 55 Définition formelle de jusquà faible U i] (p U q) Définition: i q ( i p i+1] (p U q) ) σ à partir du ième élém. satisfait p U q ou bien le i-ème élément de σ satisfait déjà q, ou le ième élément satisfait p et le reste de la chaîne satisfait p U q

56 INF6001 Chap 6 56 Définition formelle de dorénavant p Définition: (p U faux ) 1 faux ( 1 p 2] (p U faux )) Touj. faux Récursivement, p est vrai pour tous les i et donc il est vrai pour

57 INF6001 Chap 6 57 Définition formelle de jusquà fort U Le jusquà fort garantit que q devient vrai i] (p U q) Définition: i] (p U q) j, ij ( j q) la chaîne satisfait p U q il y aura un σ j futur qui satisfiera q ij: i présent, j futur Observez: pour définir U fort nous utilisons lU faible

58 INF6001 Chap 6 58 Définition formelle de finalement q Définition: ( vrai U q) 1] ( vrai U q) j, ij ( j q) [1] ( vrai U q) = 1 q ( 1 vrai 2] ( vrai U q) ) = 1 q 2] ( vrai U q) = 1 q ( 2 q 3] ( vrai U q)) etc. jusquà ce que q sera satisfait Nimporte quelle chaîne satisfait vrai!

59 Importance de U, jusquà faible Il est intéressant dobserver que U est lopérateur fondamental de la logique temporelle. Il peut être défini sans utiliser les autres opérateurs, mais les autres opérateurs peuvent être définis en termes de lui. Comme conséquence des définitions, nous avons: INF6001 Chap 6 59 (p U q)

60 INF6001 Chap 6 60 Formules fréquemment utilisées p qréponse, causalité p qUrp implique q jusquà r (précédence) ptoujours finalement p (progrès vers p) infiniment souvent p il sera toujours vrai quil y aura des p dans le futur p finalement toujours p nous allons vers une stabilité p qcorrélation p p finalement devient toujours faux pp deviendra faux au moins une fois encore il sera toujours vrai que p sera faux dans un futur

61 La différence… riche(L) Dorénavant, il y aura toujours un futur dans lequel L sera riche La richesse reviendra toujours à L (il pourra cependant être non-riche de temps en temps) riche(L) Il y aura un moment à partir duquel L sera toujours riche INF6001 Chap 6 61

62 INF6001 Chap 6 62 Équivalences utiles (exercice: en prouver quelques unes) Équivalent à (p U q)( q) U ( p q) (p U q)( q) U ( p q) (p q) p q (p q) p q p U (q r)(p U q) (p U r) (p q) U r(p U r) (q U r) p U (q r) ( p U q) (p U r) (p q) U r(p U r) (q U r) (p q) p p (p q) p q p

63 Lois dimplication INF6001 Chap 6 63 Lois de réflexivité p p (si p dorénavant, donc p maintenant) p p (si p maintenant, donc enfin p) Implications entre opérateurs p p Distributivité faible (p q) ( p q) p v q (p v q) ( p q) (p q) (p q) p q

64 INF6001 Chap 6 64 Opérateur prochain état (aussi écrit X) i] p Définition: i+1 p est vrai dans le prochain état Attention: ceci est le prochain état par rapport à létat courant, pas à un état suivant par rapport à un autre operateur comme … … i i+1 σ[i]

65 INF6001 Chap 6 65 Une façon plus intuitive de définir Par raisonnement récursif, il est possible de prouver que p ssi i ( i p) Pour faire un peu de pratique, voyons comment ceci fonctionne pour un de la forme: 1 1 p = 1 (p U faux) = 1 faux ( 1 p (p U faux) ) = (étant donné que 1 faux est faux) 1 p (p U faux) = 1 p ( 2 faux ( 2 p (p U faux) )) = (étant donné que 2 faux est faux) 1 p ( 2 p (p U faux) ) =... 1 p 2 p 3 p … etc. donc tous les satisfont p

66 INF6001 Chap 6 66 Une façon plus intuitive de définir Par raisonnement récursif, il est aussi possible de prouver que p ssi i ( i p) Le raisonnement est semblable au précédent: sen convaincre comme exercice

67 Dualité de p = p (il sera sec dorénavant, ssi il est faux que finalement il pleuvra!) p = p (finalement je serai riche ssi il est faux que je serai toujours pauvre!) INF6001 Chap 6 67

68 INF6001 Chap 6 68 Dualité de Il est maintenant facile de prouver que, sont duales, comme conséquence de la dualité de, p = i ( i p) = ¬ i ¬ ( i p) = (dualité de et ) ¬ ¬ p La preuve de ¬ ¬p = p est semblable

69 INF6001 Chap 6 69 Logiques temporelles linéaires et à branchements La logique temporelle que nous venons détudier est dite logique temporelle linéaire Car elle est basée sur lhypothèse quil ny a quun seul futur On étudie aussi les logiques temporelles à branchements, basées sur lhypothèse quil y a plusieurs futurs CTL, Computational Tree Logic Nous avons des opérateurs pour exprimer: Dans tout futur possible, p sera vrai Il y a un futur dans lequel p sera vrai Il y a aussi des logiques pour exprimer le passé: Si p a été vrai dans un passé, il devra être vrai dans un futur Temporal logic with past

70 INF6001 Chap 6 70 Conclusion sur la logique temporelle Elle est utile pour exprimer les propriétés de systèmes qui évoluent dans le temps Comme tous les systèmes réels Les vérificateurs de modèles temporels (temporal logic model checkers) lutilisent Lutilisation de ces concepts dépasse grandement lingénierie des protocole Il y a par ex. des applics à la vérif du matériel, circuits etc.

71 Exercice Lexpression p q dit que si enfin p se vérifie, il y aura aussi un q sans ordre entre p et q Donc une question pourrait être si p q implique q p ou si les deux sont équivalents La réponse est négative, car p q = p q Ceci est vrai dans le cas où p est dorénavant faux ou q se vérifie enfin q p = q p Ceci est vrai dans le cas où q est dorénavant faux ou p se vérifie enfin Pour bien comprendre, remplacez p et q par des événements concrets INF6001 Chap 6 71

72 Automate Büchi (v. prochain cours) Utilisant loutil voici lautomate de Büchi de p q Celui pour q p est identique après échange de p et q INF6001 Chap 6 72

73 Cependant … ( p q) (( p q) ( q p)) Ceci est vrai, mais il na rien à faire avec la logique temporelle, car (p q) ((p q) (q p)) Est aussi vrai : il est une tautologie INF6001 Chap 6 73

74 INF6001 Chap 6 74

75 Autres symboles de logique et théorie des ensembles Je mets ici quelques symboles utiles, car il ne se trouvent toujours pas dans les tableaux de symboles fournis par Word. Cette diapo nest pas nécessairement reliée au cours INF6001 Chap 6 75


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