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Résolution symbolico-numérique dun système déquations algébro-différentielles modélisant la distillation de Rayleigh Dr. Karim Alloula (ingénieur informatique.

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1 Résolution symbolico-numérique dun système déquations algébro-différentielles modélisant la distillation de Rayleigh Dr. Karim Alloula (ingénieur informatique scientifique) Dr. Jean-Pierre Belaud (Maître de conférences ENSIACET) Pr. Jean-Marc Le Lann (directeur ENSIACET)

2 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Plan de lexposé –Contexte scientifique –Objectif: Intégration symbolico-numérique déquations différentielles algébriques –Un système de calcul symbolico-numérique: eXMSL –Un modèle algébro-différentiel de référence: la distillation de Rayleigh –Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL –Conclusions, Attentes, Perspectives

3 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Département Procédés et Systèmes Industriels Un département attaché: – à la qualité des modèles métiers Simulation moléculaire (Hadj Kali 2004) Modèle daffectation des ressources (Edi 2007) … –à la structuration des modèles Simulation suivant une approche modulaire simultanée (Joulia 1987) Modèle orienté objet de procédés dynamiques (Jourda 1996, Moyse 2000) Modèle orienté composants pour la simulation (Belaud 2002) Réseaux de Petri différentiels à objets (Perret 2003) … –à la qualité des méthodes de résolution Homotopie continuation pour la résolution des systèmes non linéaires (Letourneau 1992) Méthodes de type prédicteur-correcteur pour la résolution déquations différentielles algébriques (Le Lann HDR 1999) Algorithmes génétiques multi-critères pour loptimisation dateliers flexibles (Aguilar Lasserre 2006) …

4 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin projets de recherche caractéristiques de notre activité AD-CAPE: Applications de la différentiation automatique en simulation séquentielle modulaire de procédés –Automatic Differentiation for Computer Aided Process Engineering –Projet Esprit –Décembre 1997 – Août 1999 –Simulog, ProSim, INPT, elf, BP Amoco (GLOBAL) CAPE-OPEN (Support): Interopérabilité de composants logiciels pour la simulation de procédés –Delivering the power of component software and open standard interfaces in computer aided process engineering –3 Projets CEE-IMS – –ASPEN Tech., BASF AG, Bayer, BP International Limited, DTU Lyngby, TOTAL, Hyprotech S.L., ICI, IFP, Imperial College-CPSE, INPT-LGC, Norsk Hydro,... Augmenter la qualité des modèles et la fiabilité de la simulation de procédés

5 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Quelques leçons retenues de ces projets AD-CAPE: –Intérêt de disposer automatiquement des dérivées « exactes » dun modèle –Imbrication forte des modèles et des procédures de résolution associées: difficultés à dériver des fonctions implicites (Global) CAPE-OPEN: –Un cadre standardisé et opérationnel pour linteropérabilité entre composants logiciels –Une séparation claire des rôles, une spécification précise des interfaces

6 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Plus dexpressions exactes… en cours de simulation! Obtenir automatiquement les dérivées exactes dun modèle (AD-CAPE) (Alloula, Belaud, Joulia 2000) Obtenir automatiquement les expressions exactes utiles à la résolution dun modèle Faire coopérer des composants logiciels standardisés lors dune simulation de procédés (CAPE-OPEN) (Belaud, Braunschweig 2002) Faire coopérer calcul formel* et calcul numérique lors dune simulation numérique (*) Calcul formel (« computer algebra ») est le nom donné en France à la manipulation sur ordinateur de formules et, plus généralement, dobjets mathématiques (Bulletin INRIA 1991)

7 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Axe de recherche Simulation numérique alternant en cours de calcul étapes dévaluation numérique et étapes de transformation formelle dexpressions mathématiques Objectifs visés par la simulation symbolico-numérique: –Fiabilité –Performance –Prise en compte automatique de spécifications de problèmes dans une syntaxe mathématique… Faisabilité démontrée. Etendre lexpérience acquise à: –dautres classes de problèmes –dautres méthodes de résolution

8 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin La simulation numérique implique déjà plusieurs systèmes de calcul interagissant: –Le calcul formel fait usage des outils et des méthodes du calcul numérique (Maple et Nag - Trefethen 2000) (Mathematica – « Symbolically enhanced numerical computing ») –Le calcul formel synthétise des codes de calcul numérique dans des langages compilés (Mathematica - Alfradique 2005) Eléments scientifiques (1) Proposition 1: Formaliser et généraliser la notion de système de calcul et linteraction entre systèmes de calcul

9 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Eléments scientifiques (2) « Spécification du problème » et « spécification de la solution » sont souvent entremêlées! Ces spécifications interdépendantes sont « des types de description différentes », qui devraient « être construites explicitement et séparément. » (Zualkernan 1988; Houstis 2000) Des efforts de représentation des modèles indépendante des langages de modélisation existent (Chernukhin 2005; Pop 2005) Proposition 2: Produire par « transformation symbolique déquations » des spécifications variées à partir dune spécification commune du problème

10 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Eléments scientifiques (3) Un besoin accru de précision: –Nombre dopérations considérable sur les modèles (Revol 2007) –Qualité des dérivées exigées par les méthodes dordre 1 ou supérieur Des réponses actuelles: –Calcul à précision multiple (iRRAM, MPFR) –Arithmétique stochastique et contrôle de lexactitude (Cestac-CADNA) –Arithmétique à intervalles (intpakX, MPFI) –Arithmétique réelle exacte (Ménissier-Morain 2005) –Représentation des nombres algébriques (Rioboo 2003) –Transformations formelles préalables, puis évaluations numériques différentiation automatique, calcul formel Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul

11 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Eléments scientifiques (4) Les méthodes numériques « récentes » décrivent des étapes de transformations formelles au milieu détapes dévaluation numérique: –Majoration de lindex dun système algébro-différentiel (Campbell 1996) –Construction dun système triangulaire par regroupement de variables et déquations (Pryce 2001) –Calcul de séries majorantes pour les fonctions analytiques… Proposition 4: Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes » de résolution déquations différentielles algébriques

12 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Propositions Proposition 1:Formaliser et généraliser la notion de système de calcul et linteraction entre systèmes de calcul Proposition 2:Produire par « transformation symbolique déquations » des spécifications variées à partir dune spécification commune du problème Proposition 3:Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul Proposition 4 (PEPS LEDA): Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes » de résolution déquations différentielles algébriques

13 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Cadre de létude Simulation dun système physico-chimique décrit par un système déquations algébro-différentielles: la distillation de Rayleigh Environnements commerciaux de résolution de problèmes: –MATLAB –Maple –Mathematica –IMSL Bibliothèque mathématique propriétaire de calcul symbolico-numérique –eXMSL Outils et techniques du calcul formel et du calcul numérique

14 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Transformations formelles déjà mises en oeuvre (1/2) Classe de modèles Transformation formelle Expression initialeRésultat Equations non linéaires Equations différentielles algébriques Calcul de fonction résidu Transformation dinéquations en équations Equations non linéaires saturées, sur ou sous déterminées Formulation généralisée du schéma de Newton (Dedieu 2006) Formulation différentielle du schéma de Newton généralisé (Hirsch 1979) Equations différentielles algébriques Détermination de conditions initiales cohérentes Système EDA 1 er ordre, index 1 Valeurs initiales des variables dépendantes et de leurs dérivées

15 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Transformations formelles déjà mises en oeuvre (2/2) Classe de modèlesTransformation formelleExpression initialeRésultat Equations non linéaires Equations différentielles algébriques Optimisation sous contraintes non linéaires Définition dune fonction implicite Fonction explicite Calcul dune matrice Jacobienne Calcul dune dérivée directionnelle Fonction implicite Calcul dune matrice Jacobienne Calcul dune dérivée directionnelle

16 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Cas dutilisation de la bibliothèque mathématique eXMSL (Alloula 2004)

17 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin eXMSL FORTRAN 90 Library Définition du facteur de compressibilité comme une fonction implicite Dérivation formelle par rapport à la température Intégration formelle par rapport à la température Calcul de propriétés thermodynamiques par application de léquation détat SRK

18 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Architecture deXMSL on the Web Standards: MathML, DOM, Service Web (SOAP, TCP/IP), CAPE-OPEN Plates-formes: FORTRAN 90, Java, MS COM,.NET Outils: WebEQ Design Science Inc., IMSL FORTRAN 90 Library (Belaud 2001)

19 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin eXMSL Model Editor Edition du problème doptimisation Demande dévaluation de lexpression saisie Résultat du problème doptimisation spécifié

20 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Distillation de Rayleigh - Présentation Un modèle continu par morceaux… vu comme un modèle unique sous contrainte

21 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL

22 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Modélisation Formulation dans une syntaxe voisine du texte mathématique (conditions initiales, contrainte) Compétence métier : –(normalisation des modèles denthalpie) –Initialisation des fractions molaires vapeur Pas de formalisme supplémentaire pour la gestion du changement détat

23 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Résolution Algorithme numérique: Petzold-Gear BDF (IMSL) Etapes de transformations formelles: –Détermination dun jeu déquations suffisant pour obtenir des conditions initiales cohérentes –Calcul formel des résidus –Calcul formel de la matrice Jacobienne –… Gestion de lévénement détat: –Arrêt de lintégration du modèle en phase liquide: pas minimal de la variable indépendante ou Jacobien du système singulier –Reprise de lintégration du modèle en phase di-phasique avec calcul de nouvelles conditions initiales cohérentes –Intervention dans le processus de résolution!?

24 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Résultats obtenus Résultats très cohérents: comparaison avec le point de bulle du système ternaire obtenu par ailleurs Temps de calcul trop importants, à comparer avec ceux obtenus dans un environnement de calcul interprété (MATLAB, Maple, …) Degré de généralité de la méthode insuffisant: –Que faire pour des systèmes dindex supérieur à 1? –Le changement détat est correctement traité ici… par hasard! –Quelles connaissances métier doit-on apporter pour le calcul de CIC?

25 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Conclusions Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé –Automatiquement par un système de calcul symbolico-numérique –Très précisément –Dans un temps inférieur à celui obtenu avec un environnement de calcul interprété et une méthode similaire Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé –Après des efforts de modélisation (degrés de liberté, formulation unique, …) –Très correctement lors dun changement détat bien particulier –Dans un temps très supérieur à celui obtenu avec un code de calcul compilé et une méthode similaire

26 Attentes Conclusions Application Distillation de Rayleigh Calcul symbolico- numérique Calcul symbolico- numérique Objectif Contexte scientifique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin Attentes par rapport au projet LEDA Par ordre dimportance décroissante 1.Calcul fiable de conditions initiales cohérentes (théorèmes quantitatifs liés à la méthode de Newton) 2.Traitement systématique de certaines singularités 3.Système « minimal » caractérisant les conditions initiales cohérentes 4.Possibilité de passage à léchelle (cf. complexité de la méthode de Pryce)


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