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Stat-infoCM3b : 1 Les groupes.

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1 Stat-infoCM3b : 1 Les groupes

2 Stat-infoCM3b : 2 Rappel Un amphi de 200 élèves : loi normale moyenne X et écart type s –Un élève : on peut connaître la probabilité de sa note –Exemple, X=10, s=2, l’élève à 14  Z= (14-10)/2  Top 2,5% L’élève à 11  Z= (11-10)/2  Top 31% Comment faire pour un groupe d’élèves ? –Sur un groupe, les bonnes notes sont compensées par les mauvaises –Extrêmement improbable qu’un groupe ait 14 de moyenne 8 ; 14 ; 16 ; 16 ; 18 –Une moyenne de 12, c’est déjà beaucoup : 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16

3 Stat-infoCM3b : 3 Comment faire ? Individu On compare la note d’un individu à la distribution des notes On conclut grâce à la loi normale Groupe de taille N On compare un groupe de taille N à la distribution des groupes de taille N.  Plus précisément, on compare la moyenne d’un groupe avec la distribution des moyennes des groupes de taille N On conclut grâce à la loi normale

4 Stat-infoCM3b : 4 Exemple VOS notes d’anglais de l’an dernier Notes d’anglais par groupe de 4

5 Stat-infoCM3b : 5 Distribution d’échantillonnage des moyennes On prend un groupe E au hasard de taille N On calcule sa moyenne E = 10,2 On recommence avec beaucoup de groupes 9,6 9,7 10,3 10,8 10,0 10,3 11,2 On obtient une distribution C’est la distribution d’échantillonnage des moyennes

6 Stat-infoCM3b : 6 Théorème central limite Soit X une variable suivant une loi normale de moyenne X écart type s x On note EX la distribution d’échantillonnage des moyennes. Alors –EX suit une loi normale –Cette loi normale a pour moyenne X –Cette loi normale a pour écart type s x /  N

7 Stat-infoCM3b : 7 Exemple des Notes d’anglais Les notes d’anglais suivent –la loi normale (plus ou moins) –de moyenne X=10,5 –et d’écart type s X = 3 Sa distribution d’échantillonnage des moyennes (groupes de taille 4) –suit une loi normale –de moyenne EX=10,5 –et d’écart type s EX =3/  4 = 3/2=1,5

8 Stat-infoCM3b : 8 Exemple des notes Un amphi de 200 élèves suit –la loi normale –de moyenne X=10 –et d’écart type s X = 2 Sa distribution d’échantillonnage des moyennes (groupes de taille 25) –suit une loi normale –de moyenne EX=10 –et d’écart type s EX =2/  25 = 2/5=0,4

9 Stat-infoCM3b : 9 Ne mélangeons pas tout ! X est la moyenne de la distribution X (moyenne de l’amphi) G est la moyenne du groupe G (moyenne des APA, taille 25) EX est la distribution d’échantillonnage des moyennes des groupes de taille 25. –Comme toute distribution, EX a une moyenne. EX est la moyenne de la distribution EX Si c’est clair, tout le reste est facile !

10 Stat-infoCM3b : 10 Exemple

11 Stat-infoCM3b : 11 Problème Un amphi : moyenne X=10, écart type s X = 2 Le groupe des APA (25 élèves) : moyenne G=11 Quelle la probabilité qu’une groupe de taille 25 ait 11 ou plus ?

12 Stat-infoCM3b : H0 H0 : la différence n’est pas significative.

13 Stat-infoCM3b : Données G=11, moyenne de l’amphi X=10, écart type s X =2 On va comparer la moyenne du groupe à la distribution d’échantillonnage des moyennes EX : –EX=10 –s EX =2/  25 = 2/5=0,4

14 Stat-infoCM3b : Test On utilise la loi normale : –Avec un individu : –Avec un groupe :

15 Stat-infoCM3b : Probabilité Z=2,5  P=0,62% –Un groupe de taille 25 a 0,62% de chances d’avoir une moyenne dans [11 ; +∞]

16 Stat-infoCM3b : Conclusion P<5%, on rejette H0

17 Stat-infoCM3b : 17 Autre formulation de la solution

18 Stat-infoCM3b : 18 s et σ

19 Stat-infoCM3b : 19 Quand on ne connaît pas  Dans l’exemple précédent, on a comparé la moyenne d’un groupe G à la moyenne de la population X. Coup de chance, on connaissait l’écart type de la population. Problème : Si on ne connaît pas  X, comment faire ? Solution : On fait une approximation, on remplace  X par s G

20 Stat-infoCM3b : 20 Exemple des salaires Un groupe de 10 femmes comparent leur salaire à celui des employés : Salaire moyen des employés : –moyenne=28 k$, –Écart type=? Salaire des 10 femmes : 24, 27, 31, 21, 19, 26, 30, 22, 15, 36 –Moyenne = 25,1 k$ –Écart type = 5,9 Solution théorique :

21 Stat-infoCM3b : 21 Solution réelle On approxime l’écart type des salaires moyens des hommes par l’écart type des salaires moyens des femmes est remplacé par

22 Stat-infoCM3b : 22 T de student

23 Stat-infoCM3b : 23 Approximation : s G n’est pas  X Si N est grand (N>30) : pas de problème, s G est presque égal à  X Si N est petit (N<30 ) : s G est une sous estimation de  X –Donc le Z obtenue serait trop grand (par rapport à celui qu’on obtiendrait si on connaissait  X ) Dans ce cas, on remplace Z par le T de Student

24 Stat-infoCM3b : 24 T de Student La table du T change selon la taille de l’échantillon Un échantillon de taille N a un degré de liberté (ddl) de N-1. On trouve la probabilité du T de Student grâce –A Excel : Loi.Student –A la table papier

25 Stat-infoCM3b : 25 Table du T

26 Stat-infoCM3b : 26 Exemple des salaires On calcule T : DDL 9  P=5,27% On ne peut pas rejeter H0

27 Stat-infoCM3b : 27 ATTENTION : DDL Pour le  2 DDL = (colonnes-1)x(lignes-1) Pour le T de Student DDL = effectifs - 1

28 Stat-infoCM3b : 28 Récapitulatif On connaît s X On conclut grâce à la table de la loi normale On ne connaît pas  X N est grand (N>30) On conclut grâce à la table de la loi normale On ne connaît pas  X N est petit (N<30) On conclut grâce à la table du T de Student


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