- énergie bornée (tend vers 0 lorsque

Présentation au sujet: "- énergie bornée (tend vers 0 lorsque "— Transcription de la présentation:

1 - énergie bornée (tend vers 0 lorsque 𝑡→∞) ; - amplitude bornée ;
Modélisation des signaux Un signal expérimental est une grandeur physique (oscilloscope, ...) et doit donc être physiquement réalisable. Ces signaux physiques sont représentés par des fonctions x(t) à valeurs réelles d'une variable réelle t. Le signal possède les caractéristiques suivantes : - énergie bornée (tend vers 0 lorsque 𝑡→∞) ; - amplitude bornée ; - continu temporellement ; - causal (x(t) = 0 pour t < 0) ; spectre du signal borné (tend vers 0 lorsque f→∞). Mais sur le plan théorique, pour la commodité du calcul et l'étude de certains phénomènes, les signaux peuvent être représentés par des fonctions : - à énergie théorique infinie (sin(t)); - avec des discontinuités (signal carré) ; - définies sur l'ensemble des réels (sin(t) est définie même pour t<0) ; - à valeurs complexes : x(t) = A e jt = A[cos(t) + j.sin(t)].

2 𝑦=𝜌.𝑒𝑥𝑝 𝑗𝜑 =𝜌. 𝑐𝑜𝑠 𝜑 +𝑗.𝑠𝑖𝑛 𝜑 module de y : 𝑦 = 𝑎 2 + 𝑏 2 =𝜌
Modélisation des signaux, propriétés des signaux complexes 𝑗 2 =−1 𝑦=𝑎+𝑗𝑏 𝑦=𝜌.𝑒𝑥𝑝 𝑗𝜑 =𝜌. 𝑐𝑜𝑠 𝜑 +𝑗.𝑠𝑖𝑛 𝜑 module de y : 𝑦 = 𝑎 2 + 𝑏 2 =𝜌 Argument de y : 𝑎𝑟𝑔 𝑦 =𝜑 𝑡𝑔 𝜑 = 𝑏 𝑎 𝑒𝑥𝑝 𝑢.𝑣 =𝑒𝑥𝑝 𝑢 .𝑒𝑥𝑝 𝑣 = 𝑒 𝑢 . 𝑒 𝑣 = 𝑒 𝑢.𝑣 conjugué de y : 𝑦 ∗ =𝑎−𝑗𝑏 𝑦. 𝑦 ∗ = 𝑎+𝑗𝑏 . 𝑎−𝑗𝑏 = 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑦 2 On associe le point M au nombre complexe 𝑦=𝑎+𝑗𝑏

3 Classification déterministe/aléatoire (phénoménologique)
 - les signaux certains (ou déterministes) dont l'évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ; - les signaux aléatoires (ou probabilistes) dont le comportement temporel est imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d'observations statistiques.

4 Classification continu/discret (morphologique)
Les 4 morphologies selon que l’axe des abscisses (temps) ou l’axe des ordonnées (amplitude) est discrétisé ou non.

5 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝é𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡 1 𝑒𝑡 𝑡 2
Analogie avec l’électrocinétique pour définir l’Energie d’un signal 𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛é𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑝𝑖𝑝é𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑅 𝑃 𝑡 = 𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑢 𝑡 ∗𝑖 𝑡 = R 𝑖 2 = 𝑢 2 𝑅 i(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝é𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡 1 𝑒𝑡 𝑡 2 𝐸= 𝑡 1 𝑡 2 𝑃 𝑡 𝑑𝑡 ∝ 𝑡 1 𝑡 2 𝑢 2 𝑑𝑡 ∝ 𝑡 1 𝑡 2 𝑖 2 𝑑𝑡 𝑅=1 Ω 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑 ′ 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙 𝑦(𝑡) 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑 ′ 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙 𝑦(𝑡) 𝐸 𝑦𝑦 = −∞ +∞ 𝑦 𝑡 .𝑦 𝑡 𝑑𝑡 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑟𝑜𝑢𝑔𝑒 Voir un peu plus loin la diapositive « Intégration Numérique »

6 𝐸 𝑦𝑦 = −∞ +∞ 𝑃 𝑡 𝑑𝑡= −∞ +∞ 𝑦 2 𝑑𝑡;
Classification énergétique On appelle énergie Eyy et puissance moyenne Pyy d'un signal y(t), les valeurs suivantes : 𝐸 𝑦𝑦 = −∞ +∞ 𝑃 𝑡 𝑑𝑡= −∞ +∞ 𝑦 2 𝑑𝑡; 𝑃 𝑦𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑇→∞ 1 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑃 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑖𝑚 𝑇→∞ 1 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑦 2 𝑑𝑡 ∗ 𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒, 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑦 2 𝑝𝑎𝑟 : 𝑦 2 = 𝑦 𝑡 . 𝑦 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠𝑡 𝑇−𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒 : 𝑃 𝑦𝑦 = 1 𝑇 0 𝑇 𝑦 2 𝑑𝑡 On en déduit 2 classes de signaux : signaux d’énergie finie 𝐸 𝑦𝑦 <∞. On a : 𝑃 𝑦𝑦 =0. (signaux transitoires, signaux physiques, à support borné: en l’infini positif et négatif, le signal tend vers zéro); Ces signaux sont aussi appelés « signaux de carré sommable ». signaux de puissance moyenne finie non-nulle : 0< 𝑃 𝑦𝑦 <∞ On a 𝐸 𝑦𝑦 =∞. (signaux périodiques, quasi-périodiques ou aléatoires permanents).

7 signal à puissance finie (énergie infinie)
signal à puissance nulle (énergie finie)

8 Largeur de bande du signal : F
Classification spectrale Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal 𝑋 𝑓 2 ). Largeur de bande du signal : F Fréquence moyenne Fmoy = (Fmax — Fmin)/2 2 classes de signaux : signaux à bande étroite : F/Fmoy petit  (soit Fmax  Fmin) ; signaux à large bande :  F/Fmoy grand  (soit Fmax >> Fmin). Théorème de Parseval: l’énergie d’un signal se retrouve intégralement dans son spectre. X(f), la représentation du signal dans le domaine fréquentiel est obtenu par une transformation de Fourier

9 La distribution de Dirac (t)
Par définition, la distribution (ou « pic ») de Dirac (t) est une impulsion centrée sur t=0 de largeur infiniment étroite et de surface unité. Elle est donc partout nulle sauf en t=0.

10 Produit d’un scalaire et d’une fonction Produit de 2 fonctions
La distribution de Dirac (t) Par rapport à (t), la courbe (t-t0) est décalée vers les t>0 si t0>0. La distribution de Dirac permet de « prélever » la valeur d'une fonction pour un temps donné : Il est nécessaire de conserver dans l'expression le produit par la distribution de Dirac afin de ne pas perdre l'information temporelle qui lui est liée. Produit d’un scalaire et d’une fonction Produit de 2 fonctions Propriété de localisation

11 La propriété de localisation permet d’écrire:
La distribution de Dirac (t) La propriété de localisation permet d’écrire: −∞ +∞ 𝑥 𝜏 .𝛿 𝜏−𝑡 𝑑𝜏 = −∞ +∞ 𝑥 𝑡 .𝛿 𝜏−𝑡 𝑑𝜏 =𝑥 𝑡 −∞ +∞ 𝛿 𝜏−𝑡 𝑑𝜏 =𝑥 𝑡 soit: On a aussi : −∞ +∞ 𝑒𝑥𝑝 2𝜋𝑗𝑓𝑡 .𝛿 𝑡 𝑑𝑡= −∞ +∞ 𝑒𝑥𝑝 2𝜋𝑗𝑓0 .𝛿 𝑡 𝑑𝑡= −∞ +∞ 1.𝛿 𝑡 𝑑𝑡=1 L’impulsion de Dirac peut aussi être définie par : 𝛿 𝑡 = −∞ +∞ 𝑒𝑥𝑝 2𝜋𝑗𝑓𝑡 𝑑𝑓 𝑥 𝑡 = −∞ +∞ 𝑥 𝜏 .𝛿 𝜏−𝑡 𝑑𝜏 1 On verra que cette relation peut être comprise comme : « la valeur du signal x à un instant t est égale à l’énergie d’interaction du signal x et d’un pic de Dirac décalé en t »

12 TF de fonctions sinusoïdales
Démontrer les relations: 𝑇𝐹 cos 2𝜋 𝑓 0 𝑡 = 𝛿 𝑓− 𝑓 0 + 𝛿 𝑓+ 𝑓 0 et 𝑇𝐹 sin 2𝜋 𝑓 0 𝑡 = 1 2𝑗 𝛿 𝑓− 𝑓 0 − 𝛿 𝑓+ 𝑓 0 en utilisant les formules d’Euler: exp 𝑗𝑥 = cos 𝑥 +𝑗. sin 𝑥 ; exp −𝑗𝑥 = cos 𝑥 −𝑗. sin 𝑥 On rappelle la relation : −∞ +∞ 𝑒𝑥𝑝(−𝑗2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡= 𝛿 𝑡

13 Démarrer Matlab, configurer le « desktop », créer un dossier de travail, ouvrir l’éditeur
Lancer Matlab en double-cliquant l’icône ou sur : Configurer le bureau « desktop » en défaut Fermer la fenêtre « historique » En cliquant sur l’icône naviguer par exemple jusqu’à votre clé usb et créer un nouveau dossier nommé par exemple « master_TdS ». C’est là où seront sauvés vos travaux. L’icône ouvre un éditeur de texte permettant de créer des programmes (aussi appelés « scripts » ou « M-file ») et des fonctions.

14 Créer un signal en écrivant un programme, utiliser les fonctions ones, size , xlim, ylim, xlabel, ylabel, grid, plot Etudier, réaliser et exécuter le script ci-dessous. Les lignes précédées du symbole « % » sont des commentaires qui ne seront pas exécutées. % Création du vecteur t. % t s'étale de -10 secondes à + 10 secondes par pas de 0.1 seconde. Le ";" évite l'affichage des 201 % éléments. t = -10 : 0.1 : 10; % Création du vecteur p qui sera nul partout sauf entre -0,5 s et +0,5 s. % Exemple 1 : a = ones(2, 4) renvoie une matrice 2 lignes 4 colonnes composée de 1. % Exemple 2 : size(t) renvoie [1, 201]. p = ones(1, 201); tau=0.5; % Les éléments de p dont les indices répondent à certaines conditions sont mis à zéro. p(t<-tau)=0; p(t>tau)=0; % On représente le résultat avec "t" en abscisse et "p" en ordonnée. Les points seront symbolisés % par des "o" et reliés entre eux grâce au symbole « - ». plot(t, p, '-o') % On définit les limites du graphe et on fait afficher une grille. On place le titre des axes. xlim([-12, 12]) ylim([-0.5, 1.5]) grid on xlabel('t(s)') ylabel('fonction "porte"')

15 Sauver le script sous le nom « A1»
Enregistrer un programme, utiliser les fonctions clear, clc, exécuter un programme en l’appelant Sauver le script sous le nom «  A1» Le fichier A1.m apparait dans le répertoire courant Dans la fenêtre de commandes, taper : >> clear % les variables en cours sont effacées >> clc % la fenêtre des commandes est effacée >> A1 % le script est lancé, les variables apparaissent % dans le « workspace »

16 Mettre au point un programme, utiliser l’aide
Dans l’éditeur on peut exécuter une partie seulement du programme afin de la mettre au point. Pour cela, sélectionner les lignes à tester, cliquer-droit et « évaluer » En naviguant dans l’aide, on peut trouver les fonctions Matlab nous permettant d’atteindre nos objectifs. Ici pour calculer l’énergie, on a besoin d’une fonction d’intégration.

17 Créer des vecteurs, utiliser l’indexation directe, utiliser l’indexation logique
Dans un programme A0 créer le vecteur a de la façon suivante : a=0:0.1:20; Par défaut Matlab le forme sur une ligne et 201 colonnes : Pour rendre un vecteur vertical (201 lignes, 1 colonne), écrire la commande : a=a(:)  On peut extraire une partie de a, par exemple les éléments indexés de 1 à 5 :  b=a(1:5) Ou de 11 à 20 par pas de 2 : c=a(11:2:20) L’extraction peut se faire « logiquement » (Vrai/Faux) : d=a(a>0.4) 

18 Etudier, deviner ce que réalisent, puis exécuter chacune des commandes suivantes dans le script A0 ou dans la fenêtre de commandes : A =zeros(1, 10) for i=1:2:10, A(i)=1, end B=[zeros(1,4),ones(1,5)] % les crochets [ et ] sont appelés « opérateur de concaténation C=[] % la variable C doit être initialisée avant d’être utilisée dans la boucle for…end for i=1:4, C=[C,zeros(1,2),1], end D=[1,2,8,0,-4,12] D=[1,2,8,0,-4,12, -1000]; E=D(2:4) F=D(D>4) G=[E, F] H=[E;F] I=D(2:2:10) La fonction « rand » renvoie des nombres aléatoires compris entre 0 et 1. Etudier les 2 commandes suivantes: K=rand(5,4) K(3:5,3)=1

19 Mathématiquement on calcule (avec tau=0,5) :
Mettre une matrice à la puissance 2, utiliser la fonction trapz, calculer l’énergie et la puissance d’un signal Après avoir lu et étudié les 4 diapositives suivantes concernant les opérations sur les matrices et l’intégration numérique, reprendre le programme A1 qui définit p(t) = 1 si t  [-0.5, +0.5]; p(t) = 0 ailleurs. Calculer l’énergie de la « porte » p(t) en complétant le script avec les lignes suivantes : % On calcule l'énergie. % On définit d'abord le carré de la porte p. Puis on calcule l'intégrale E p2=p.^2; E=trapz(t,p2); Mathématiquement on calcule (avec tau=0,5) : 𝐸 𝑝 = −∞ +∞ 𝑝(𝑡) 2 𝑑𝑡= −𝑡𝑎𝑢 +𝑡𝑎𝑢 𝑝(𝑡) 2 𝑑𝑡= −𝑡𝑎𝑢 +𝑡𝑎𝑢 1 𝑑𝑡=𝑡𝑎𝑢− −𝑡𝑎𝑢 =1 Obtenez vous le même résultat avec le script Matlab ? D’où provient la différence théorie/numérique (faire un zoom sur la figure représentant le signal p2(t)) ? Calculer la puissance théoriquement 𝑃 𝑡ℎ𝑒𝑜𝑟 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠→∞ 1 𝑠 − 𝑆 2 𝑆 2 𝑝(𝑡) 2 𝑑𝑡 et numériquement la puissance 𝑃 𝑛𝑢𝑚 = E=trapz(t,p2) 𝑡 𝑒𝑛𝑑 −𝑡(1) du signal porte.

20 Addition des matrices (+) Les matrices doivent être de même dimension (size)

21 Produit élément à élément (.*)
Remarquer le point « . » précèdant l’opérateur multiplication. Les 2 matrices doivent être de même dimension (ici elles sont 3X2). La même chose s’applique pour l’opérateur puissance « .^ »

22 Produit matriciel (*) Le nombre de colonnes de la M1 doit être égal au nombre de lignes de la M2

23 Intégration numérique
Dans ce exemple, il s’agit de calculer l’intégrale 𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 qui est égale à l’aire sous la courbe. Cette aire est découpée en rectangles représentés en rouge sur la figure. L’aire de chacun de ces rectangles est 𝑓 𝑡 .𝑑𝑡 et on en fait la somme 𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟 1 + 𝑟 2 + 𝑟 3 +…+ 𝑟 6 Cette méthode est améliorée si ce sont des trapèzes qui sont utilisés à la place des rectangles. Sous Matlab, l’opération est réalisée en utilisant la fonction trapz selon la syntaxe : 𝑓 𝑡 𝑑𝑡=𝑡𝑟𝑎𝑝𝑧(𝑡, 𝑓) Avec t = vecteur des temps = 𝑡 1 , …, 𝑡 4 et f le vecteur des valeurs de f à ces instants.

24 Une étude théorique montre qu’on a :
Créer un signal sinusoïdal complexe, calculer son énergie et sa puissance, utiliser l’indexation directe d’un vecteur (t(1), t(2), …, t(end)) L’objectif est de calculer l’énergie et la puissance du signal sinusoïdal complexe : u(t) = a.exp(jt). Une étude théorique montre qu’on a : 𝐸 𝑢 = −∞ +∞ 𝑎.𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡) 2 𝑑𝑡= −∞ +∞ 𝑎 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡) 2 𝑑𝑡= −∞ +∞ 𝑎 2 𝑑𝑡=+∞ et u(t) étant T-périodique, la définition de la puissance est : 𝑃 𝑢 = 1 𝑇 0 𝑇 𝑎.𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡) 2 𝑑𝑡= 1 𝑇 0 𝑇 𝑎 2 𝑑𝑡= 𝑎 2 On prendra 𝑎=2 et 𝜔=0.5 rad/s. L’énergie Eu sera calculée sur des domaines de plus en grands : 0≤𝑡≤𝑇, puis 0≤𝑡≤2𝑇, puis 0≤𝑡≤3𝑇, … La puissance 𝑃= 𝐸 𝑡 sera calculée selon : 𝑃 𝑢 = 𝐸 𝑢 0≤𝑡≤𝑇 𝑇−0 , puis 𝑃 𝑢 = 𝐸 𝑢 0≤𝑡≤2𝑇 2𝑇−0 , puis 𝑃 𝑢 = 𝐸 𝑢 0≤𝑡≤3𝑇 3𝑇−0 , … Les résultats sont-ils conformes à ce que l’on attend ? Pour répondre, mettre les lignes suivantes dans le bon ordre, étudier et exécuter le script qui sera nommé A2 : u2 = abs(u).^2; % voir l'aide sur « abs », « subplot », … a=2; w=0.5; % la valeur de oméga « w » permet de calculer celle de la période T=2*pi/w=4*pi t = 0 : 0.1 : 2*T; u = a*exp(j*w*t); ru=real(u); iu=imag(u); E=trapz(t,u2), P=E/(t(end)-t(1)) subplot(2,1,2); plot(t, iu, '-*'), ylim([-2.2, 2.2]), grid on subplot(2,1,1), plot(t, ru, '-o'), ylim([-2.2, 2.2]), grid on xlabel('t(s)'), ylabel('partie réélle de u(t)') xlabel('t(s)'), ylabel('partie imaginaire de u(t)') T=4*pi;

25 Utiliser la fonction zeros, créer un delta de Dirac
Ouvrir à nouveau le fichier A1 et le sauver sous le nouveau nom A3. Modifier A3 en changeant le nom du signal « p » en « delta ». Modifier A3 de façon à ce que toutes les valeurs du vecteur delta(t) soient nulles (utiliser la fonction «zeros») sauf en t=0. Affecter à ce point la valeur 𝐴= 1 𝑇 𝑒 avec 𝑇 𝑒 le pas utilisé pour créer le vecteur temps. On pourra utiliser l’indexation logique avec l’opérateur « == ». Vérifier qu’on a 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑡 .𝑑𝑡=1 . Créer un delta de Dirac décalé Le programme A5 suivant devrait générer un delta en t0=5.25 secondes. Cela ne marche pas. Modifier le programme pour obtenir le résultat voulu. Te=0.1; t = -10 : Te : 10; delta = zeros(size(t)); t0=5.25; delta(t==t0)=1/Te; plot(t, delta, '-o') grid on xlabel('t(s)') ylabel('delta de Dirac décalé')

26 Soit le programme A7 suivant :
Utiliser une boucle for..end, la fonction line, vérifier numériquement une relation du cours Soit le programme A7 suivant : clear close all clc pas=10; tic Te=0.01;T_peigne=0.5; t = -5 : Te : 5; delta=0; for f=-100:pas:100 delta=delta + exp(2*pi*j*f*t); line(t, abs(delta)); end toc Déterminer le rôle de chaque commande. Expérimentez les valeurs 10, 5, 2, 1 et 0.5 pour le pas de fréquence. Utilisez le zoom pour faire vos observations. Que deviendrait le signal si on pouvait faire varier la fréquence f continument, cad si on pouvait utiliser un pas infiniment petit (pas=0) ? Quelle relation du cours cette expérience cherche t’elle à illustrer ?

27 t==round(t/T_peigne)*T_peigne
Utiliser la fonction round, créer un peigne de Dirac Dans un programme A6, créer un peigne de Dirac 𝑝 𝛿 𝑡 de période 𝑇 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 =0.5 seconde et défini de t=-5s à t=5s avec une période d’échantillonnage 𝑇 𝑒 =𝑡 2 −𝑡 1 =0.01. Il y aura une dent en t = 0s. Chacune des n « dents » aura une amplitude = 1. On pourra éventuellement utiliser l’indexation logique en remarquant que l’on a : 𝑡=𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑖è𝑟𝑒 𝑡 𝑇 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 . 𝑇 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 lorsque t est un multiple de 𝑇 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 . En langage Matlab, cette condition s’écrit : t==round(t/T_peigne)*T_peigne

28 Pour cela mettre les lignes du script A4 dans le bon ordre :
Créer un signal sinusoïdal, utiliser les fonctions subplot et text, vérifier : 𝑣 𝑡 .𝛿 𝑡 =𝑣 0 .𝛿 𝑡 Pour cela mettre les lignes du script A4 dans le bon ordre : subplot(3,1,2); plot(t, delta),grid on t = -10 : Te : 10; v = a*cos(2*pi*f*t); xlabel('t(s)'), ylabel('delta(t)') delta = zeros(size(t)); delta(t==0)=1/Te; text(-8,15,'v(t)*delta(t) comparé avec v(0)*delta(t)', 'BackgroundColor', ‘w') subplot(3,1,3); plot(t, V_delta , ‘-',t, V0_delta , 'o'),grid on V_delta = v.*delta; V0_delta = v(t==0).*delta; subplot(3,1,1), plot(t, v), grid on a=2; f=0.1; Te=0.1; xlabel('t(s)'), ylabel('v(t)') xlabel('t(s)'), ylabel('v(t)*delta(t)')