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3. Systèmes L.I.T. 3.0. Systèmes LIT, introduction Afin de faciliter la compréhension des notions abordées dans ce chapitre, des signaux numériques (signaux.

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1 3. Systèmes L.I.T Systèmes LIT, introduction Afin de faciliter la compréhension des notions abordées dans ce chapitre, des signaux numériques (signaux à temps discret) seront utilisés. Ce sont des suites de nombres dont lordre n joue le rôle du temps t des signaux continus: x(n)={x(0), x(1), x(2), …} Limpulsion de Dirac prend une valeur infinie en t=0: (t)= pour t=0 Limpulsion numérique prend la valeur 1 en n=0: N (n)=1 pour n=0 En effet, on a : N (n)

2 Un Système Linéaire et Invariant dans le Temps (LIT) transforme un signal temporel x(t) en un autre y(t). Dans lexemple ci-dessous, la source est un haut-parleur et le récepteur un microphone. Le système LIT est constitué de lair ambiant et des parois sur lesquelles se réfléchit le son. Adoptons un raisonnement « discret » avec x(n) = {x(1), x(2), x(3),...} où lindice n joue le rôle du temps continu t. On voit sur la figure quà un instant n donné, la réponse y(n) dépend de lentrée telle quelle est à linstant n, mais aussi à cause des différents chemins de parcours, de lentrée telle quelle existait aux instants n-1, n-2, Systèmes L.I.T Systèmes LIT, équation aux différences finies 2 Source x(t) Récepteur y(t) provient de x(t) provient de x(t-t 0 ) On écrit dune manière générale que y est une combinaison linéaire de lentrée courante x(n), des entrées passées x(n-1), x(n-2),... et même des sorties pécèdentes y(n-1), y(n-2),... : Cette relation est appelée « équation aux différences finies » Remarquer quon a pris a 0 =1.

3 * Ladditionneur, symbolisé par, qui additionne les signaux à ses entrées. * Le multiplieur, symbolisé par a, qui multiplie un signal par un scalaire a * Lélément « délai », symbolisé par z -1, qui produit une sortie retardée de une valeur par rapport à son entrée. La fonction filter(b, a, x) implémente cette transformation y(n) = LIT[x(n)]. Ainsi par exemple : b=[1, 0.25]; a=[1, -0.5, -0.25]; x=[0:0.1:3, 0:0.1:3]; y=filter(b, a, x); subplot(211),stem(x) subplot(212), stem(y,'r') Implémente: 1 y(n) = 1 x(n) x(n-1) y(n-1) y(n-2) 3. Systèmes L.I.T graphe de fluence dun système LIT numérique Il est possible de visualiser léquation de récurrence associée à un système LIT, sous la forme dune structure (ou graphe de fluence) faisant apparaître les éléments de base suivants :

4 Un Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT) présente les propriétés : 3. Systèmes L.I.T propriétés LIT, Réponse impulsionnelle dun SLIT Une impulsion brève, injectée à l'entrée d'un LIT, donne en sortie un signal h(t). Cette réponse est appelée réponse impulsionnelle (ou percussionnelle) du filtre : Linéarité Invariance dans le Temps

5 3. Systèmes L.I.T Convolution numérique Linéarité Invariance dans le Temps

6 On a légalité suivante : en effet: propriété de localisation est élément neutre de la convolution 1 3. Systèmes L.I.T Définition du Produit de Convolution (continue), δ(n) élément neutre de la convolution Le produit de convolution entre 2 signaux x(t) et h(t) est défini par la relation : 6 On trouve lexpression continue à partir de lexpression discrète :

7 3. Systèmes L.I.T Produit de convolution On peut refaire avec la convolution en temps continu ce qui a été fait pour la convolution numérique (3.4.): On écrit : La réponse du SLIT est : 7

8 3. Systèmes L.I.T Produit de convolution 8

9 3. Systèmes L.I.T Propriétés du produit de convolution Commutativité: x*y = y*x Distributivité sur laddition: x*(u + v) = x*u + x*v Associativité: x*(y*z) = (x*y)*z est élément neutre:x* = x Translation:x(t)* (t-t 0 ) = x(t-t 0 ) On admettra : La TF dun produit de convolution est un produit simple et réciproquement. Définition 9

10 3. Systèmes L.I.T. 3.8bis. Systèmes LIT, Propriétés du produit de convolution t t f f TFi TF SLIT réponse impulsionnelle h(t) SLIT réponse en fréquence H(f) TFi TF

11 3. Systèmes L.I.T Filtre fréquentiel (A) Un filtre est un système Linéaire et Invariant dans le Temps (LIT): Filtrer x(t) c'est supprimer ou atténuer certaines fréquences que contient X(f). Cette sélection est effectuée dans le domaine fréquentiel par une multiplication : produit de X(f) par H(f). Le produit dans le domaine fréquentiel est remplacé par un produit de convolution dans le domaine temporel : convolution de x(t) par Un filtre fréquentiel est un multiplieur fréquentiel et un convolueur temporel. 11

12 Allure du module du spectre des filtres idéaux. 3. Systèmes L.I.T Filtre fréquentiel (B) Soit H(f) la fonction de transfert (ou réponse en fréquence) d'un filtre. Le diagramme de Bode est la représentation en gain et en phase de H(f) : Module de H(f) ou gainou en décibels Argument de H(f) ou phase : 12

13 3. Systèmes L.I.T Filtre temporel L'apodisation (ou filtre temporel) consiste à observer un signal à travers une fenêtre d'observation de durée donnée. Un filtre temporel est un multiplieur temporel et un convolueur fréquentiel. Il n'existe pas de filtre temporel ne modifiant pas le spectre des signaux d'entrée. Dans la pratique, les signaux temporels sont toujours traités sur un support fini (une « tranche temporelle »). Pour prélever une partie du signal, l'opération la plus simple consiste à multiplier le signal par une fonction porte de type P (tt 0 ) 13

14 Commutativité Démontrer que x(t)*y(t) = y(t)*x(t). Partir de la définition de la convolution. Dans le calcul on posera une nouvelle variable u=t-. La convolution permet deffectuer une translation Démontrer que x(t)* (t-t 0 ) = x(t-t 0 ). Partir de la définition de la convolution et utiliser la propriété de localisation du produit par un Dirac. 14 Que réalise ce SLIT ? Analyser le programme suivant, l exécuter et dire ce que réalise la commande filter. Donner le graphe de fluence correspondant. t=linspace(0,10,200); f=0.5; x=cos(2*pi*f*t); subplot(311), plot(t, x) n=0.25*randn(size(t)); x=x+n; subplot(312), plot(t, x) longueur=8; b=1/longueur*ones(1,longueur); a=1; x=filter(b,a,x); subplot(313), plot(t, x)

15 Limpulsion de Dirac est élément neutre de la convolution Sous Matlab, créer une porte p(n) comportant N=100 éléments: p(n)=1 pour 20 n 30; p(n)=0 ailleurs. Créer une impulsion de Dirac(n) comportant N=100 éléments et Dirac(1)=1. Calculer en utilisant la fonction conv, la convolution : p * Dirac. Syntaxe : nouveau_signal = conv(p, Dirac) Vérifier graphiquement que p*Dirac = p. Convolution dune porte par elle-même Reprendre la porte définie précédemment ( Limpulsion de Dirac est élément neutre de la convolution ) et représenter sa convolution par elle-même (p*p). Créer de lécho (décaler un signal par convolution) Créer sous Matlab un signal « rampe » de N=1000 éléments telle que rampe(n)=n/20 pour 1 n 50 (n est lindice des éléments de rampe) et rampe=0 ailleurs. Créer le signal echo de N éléments, partout nul sauf pour les indices = 200, 400, 600 et 800 pour lesquels on a echo(200)=2, echo(400)=1, echo(600)=0.75 et echo(800)=0.60 ( il sagit détudier : echo = 2. (n-n 1 ) + 1. (n-n 2 ) (n-n 3 ) (n-n 4 ) ). Calculer sous Matlab la convolution rampe*echo. Réaliser les représentations graphiques. Réaliser un effet similaire en utilisant filter. 15


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