Planification des blocs opératoires avec prise en compte des urgences

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1 Planification des blocs opératoires avec prise en compte des urgences
Chapitre 5-2 Planification des blocs opératoires avec prise en compte des urgences

2 Plan de la présentation
Contexte et problématique Planification avec capacité agrégée : modèle « de base » Planification avec capacité désagrégée Planification avec durées d’interventions aléatoires Conclusions et perspectives

3 Contexte Les établissements hospitaliers sont confrontés à des changements qui devraient les conduire, vers une utilisation de plus en plus efficace des ressources mises à leurs dispositions. Le bloc opératoire représente l’un des secteurs les plus coûteux dans un établissement hospitalier représente aussi une source de recettes pour l’établissement (Dans le cadre de la tarification à l’activité) nécessite la coordination d’un grand nombre de ressources (humaines et matérielles) doit faire face à différentes sortes d’aléas L’optimisation du fonctionnement du bloc opératoire est l’une des premières préoccupations d’un hôpital Minimiser les coûts et améliorer la qualité de service

4 Contexte : Gestion des blocs opératoires
Dimensionnement Déterminer le nombre et la nature des ressources humaines et matérielles Nombre de salles opératoires, lits de réveil, personnel médical, brancardiers,… Planification Gestion de l’emploi du temps des personnels soignants Planification des approvisionnements en consommables et des dispositifs médicaux Planification des activités chirurgicales Déterminer l’ensemble de patients qui seront opérés dans chaque salle opératoire et en chaque jour Ordonnancement Déterminer la séquence et les heures de passage des interventions planifiées sur les différentes ressources, salles opératoires, lits de réveil, équipes de nettoyage, brancardiers, infirmiers…

5 Contexte : Planification
Allouer des plages horaires à chaque chirurgien (ou spécialité chirurgicale) Chaque chirurgien place ses interventions à sa convenance dans les plages allouées ..h .. 17h 00 16h 00 15h 00 14h 00 13h 00 12h 00 11h 00 10h 00 9h 00 Lundi Salle 1 Mardi Mercredi Salle 2 Chirurgien 1 Chirurgien 2 Chirurgien 3 Chirurgien 4 Block scheduling Open scheduling

6 Contexte : Planification
Allouer des plages horaires à chaque chirurgien (ou spécialité chirurgicale) Chaque chirurgien place ses interventions à sa convenance dans les plages allouées ..h .. 17h 00 16h 00 15h 00 14h 00 13h 00 12h 00 11h 00 10h 00 9h 00 Lundi Salle 1 Mardi Mercredi Salle 2 Chirurgien 1 Chirurgien 2 Chirurgien 3 Chirurgien 4 Block scheduling Open scheduling Déterminer l’ensemble des patients qui seront opérés dans chaque salle opératoire et pour chaque jour sur un horizon de planification donné Salle 1 Salle 2 Salle 1 Salle 2 ..h .. 17h 00 16h 00 15h 00 14h 00 13h 00 12h 00 11h 00 10h 00 9h 00 Patient 3 Patient 8 Patient 12 Patient 17 Patient 11 Patient 19 Patient 20 Patient 5 Patient 6 Patient 4 Patient 1 Patient 2 Patient 15 Patient 7 Lundi Mardi Mercredi

7 Contexte : Planification « Open Scheduling »
Plusieurs approches pour la planification des blocs opératoires existent dans la littérature Objectif : minimiser des coûts de sur et/ou sous utilisation des salles opératoires, d’hospitalisation ou d’attente des patients, des pénalités de non satisfaction des préférences… Sous des contraintes tels que les capacités des salles opératoires la disponibilité de certains équipements médicaux spécifiques la disponibilité des chirurgiens et leurs préférences…

8 Contexte : Approches existantes en open scheduling
(Guinet et Chaabane, 03) : Objectif : minimiser les coûts des heures supplémentaires des salles et les jours d’hospitalisation des patients Contraintes : Capacité des salles opératoires (en heures normales et en heures supplémentaires), nombre maximal d’intervention par chirurgien par jour, adéquation des salles opératoires, dates d’hospitalisation et dates au plus tard pour les patients (Jebali et al., 04) : Objectif : minimiser les coûts de sur-utilisation et de sous-utilisation des salles opératoires, et le nombre de jours d’hospitalisation des patients Contraintes : Capacité des salles opératoires en heures normales et supplémentaires, la capacité maximal de travail par chirurgien, l’adéquation des salles opératoires et la capacité de la salle des soins intensifs en terme de nombre de patient par jour (Fei et al., 05) : Objectif : minimiser la sur-utilisation et la sous-utilisation des salles opératoires Contraintes : Capacité maximale des salles opératoires et les dates au plus tard pour les patients

9 Contexte : Approches existantes en open scheduling (2)
(Velasquez et Melo, 05) : Objectif : maximiser une fonction qui représente des préférences relatives aux salles et aux jours d’intervention Contraintes : Capacités en heures normales des salles opératoires, la disponibilité des chirurgiens et des équipements médicaux nécessaires (Persson et Persson, 05) : Objectif : minimiser les coûts de non planification des patients Contraintes : Capacité en heures normales des salles opératoires, les disponibilités et les qualifications des chirurgiens (Hans et al., 06): Objectif : minimiser le nombre de salles opératoires utilisées Contraintes : Capacités en heures normales des salles opératoires, l’adéquation des salles et la disponibilité des équipes médicales Les approches existantes sont essentiellement basées sur des modèles déterministes et ne permettent pas de prendre en compte les aléas qui caractérisent le fonctionnement du bloc.

10 Contexte : Les aléas Le bloc opératoire est sujet à différentes formes d’aléas Incertitudes liées à la chirurgie d’urgence Incertitudes concernant les durées d’interventions Disponibilité des ressources (humaines, matérielles) La non prise en compte de ces aléas, lors de la planification, peut engendrer : Des dépassements horaires (heures supplémentaires) L’annulation des interventions déjà programmées Des temps d’attentes pour les patients urgents…

11 Problématique Planification des blocs opératoires avec prise en compte de phénomènes aléatoires Chirurgie d’urgence Durée d’interventions aléatoires

12 Problématique : Deux types de patients
Les patients électifs (chirurgie programmée, réglée) : Des patients qui ne présentent pas un caractère urgent Les patients électifs peuvent être mis en attente et planifiés pour des dates futures Activité planifiable Les patients urgents : Les patients urgents arrivent d’une manière aléatoire durant la journée et nécessitent une prise en charge le jour même Activité non planifiable

13 Problématique Modèle 1 : Planification avec capacité agrégée
Seule l’activité d’urgence est aléatoire Les patients électifs ont des durées d’interventions déterministes La capacité des salles opératoires est agrégée Modèle 2 : Planification avec capacité désagrégée Modèle 3 : Planification avec durées d’interventions aléatoires L’activité d’urgence est aléatoire, Les interventions électives ont des durées aléatoires.

14 Plan Contexte et problématique
Planification avec capacité agrégée : modèle « de base » Planification avec capacité désagrégée Planification avec durées d’interventions aléatoires Conclusions et perspectives

15 Modèle « de base » : planification avec capacité agrégée
Planifier un ensemble d’interventions électives sur un horizon de planification de H périodes (jours) Les salles opératoires sont polyvalentes La capacité totale en heures régulières est considérée ( Tt ) Exemple: pour un bloc opératoire de 5 salles où chacune d’elles est ouverte pour une durée de 8 heures en jour 1, la capacité totale est T1 = 40 h Le dépassement de la capacité horaire régulière génère des coûts liés aux heures supplémentaires (ct € / heure) T2 T1 TH 1 H 2

16 Modèle « de base » : Les patients urgents
Nous supposons que la capacité utilisée pour réaliser la chirurgie d’urgence à la période t est une variable aléatoire ( wt ). wt : est la durée totale des interventions urgentes réalisées en période t Les distributions des Wt peuvent être estimées à partir du système d’information et / ou de l’expertise humaine

17 Modèle « de base » : Les patients électifs
Au début de l’horizon, il y a N patients électifs en attente Chaque patient électif i ( 1…N ) est caractérisé par : Une durée d’intervention : ( di ) Une date au plus tôt ( ei ) Elle représente la date d’hospitalisation ou de délivrance des tests médicaux … Un ensemble des coûts associés aux périodes ait ( t = ei …H, H+1 ) ait représente le coût de la réalisation de l’intervention i en période t Période H+1 : une période « fictive » pour regrouper les patients non planifiés ai,H+1 représente le coût de non planification du patient i

18 Modèle « de base » : Coûts associés aux patients électifs
Les coûts associés aux patients ne sont pas nécessairement des coûts financiers. Ils sont utilisés pour modéliser plusieurs situations. Coûts d’hospitalisation / pénalités associées aux jours d’attente du patient 1 ei H ait t Les préférences du chirurgien ou du patient 1 ei H ait t Di 1 ei H ait t Li Une date à ne pas dépasser Autres situations …

19 Modèle « de base » : Formulation mathématique
Variables de décision : Le dépassement horaire en période t : Durée des urgences Durée des interventions planifiées Capacité régulière où ( y )+ = max { y, 0 }

20 Modèle « de base » : Formulation mathématique
coûts associés aux patients électifs coûts des dépassements horaires Minimiser Sous contraintes : (1) Dépassement horaire Chaque patient est affecté exactement une fois (2)

21 Modèle « de base » : Complexité du problème
Le problème de planification est un problème d’optimisation combinatoire stochastique Théorème 1 : Le problème de planification est un problème NP- difficile au sens fort Théorème 2 : Le problème de planification à deux périodes ( H=2 ) est un problème NP-difficile Le temps de résolution croit en exponentielle en fonction de la taille du problème Pour un nombre important de patients électifs, le problème est difficile à résoudre d’une manière exacte en un temps de calcul raisonnable

22 Optimisation Monte Carlo
Étape 1 : Générer d’une manière aléatoire différents scénarios Pour chaque période t, générer K échantillons de la capacité Wt utilisée par l’urgence Étape 2 : Approximer les espérances mathématiques par des moyennes empiriques, en utilisant les échantillons générés

23 Optimisation Monte Carlo
Étape 3 : Résoudre le problème approximé Minimiser Sous contraintes : Dépassement horaire estimé Le problème approximé peut être reformulé sous la forme d’un programme linéaire à variables mixtes

24 Optimisation Monte Carlo
Étape 4 : évaluer le coût exact de la solution optimale du problème approximé Évaluer les dépassements horaires d’une manière exacte, moyennant des intégrations numériques la simulation Monte Carlo avec un nombre élevé de scénarios

25 Optimisation Monte Carlo : Algorithme
Étape 1 : Pour chaque période, générer d’une manière aléatoire K échantillons de Wt Étape 2 : Approximer le problème stochastique par un problème d’optimisation déterministe Étape 3 : Résoudre le problème approximé Étape 4 : Évaluer le coût exact de la solution optimale du problème approximé

26 Optimisation Monte Carlo : Convergence
Solution optimale du problème approximé : Convergence X *K converge vers une vraie solution optimale, lorsque K croit Convergence en exponentielle P(X *K est une vraie solution optimale) ≥ 1 - exp(α K) Taux de convergence optimal Le taux de convergence α est maximal grâce à l’utilisation du même ensemble des scénarios

27 Optimisation Monte Carlo : Résultats expérimentaux
Génération des instances Nombre des périodes : H=5 Capacité régulière : Tt = # salles х 8 h Coût des heures supplémentaires : ct = 500 €/ heure Capacité utilisée par la chirurgie d’urgence : Wt ~ EXP( # salles х 1,5 h ) Durées des interventions électives : di  [0.5, 3 heures] Dates au plus-tôt : ei  {1…H} Coûts relatifs aux patients électifs : ait = (t- ei)* 100 € Le nombre des patients électifs est déterminer de sorte que la charge du bloc opératoire sur tout l’horizon est de 100% # salles = 2, 4, 8, 12

28 Résultats expérimentaux
Le problème approximé est résolu en utilisant CPLEX IP L’optimisation Monte Carlo est testée avec différentes valeurs de K (2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 700, 1000). 10 réplications pour chaque valeur de K. Pour chaque solution optimale X, le coût exact J(X) est évalué par intégration numérique Pour comparaison nous utilisons aussi la version déterministe du problème: - La version déterministe est obtenue en remplaçant toutes les variables aléatoires (Wt) par leurs moyennes E[Wt] .

29 Résultats expérimentaux
Évolution du coût exact de la solution optimale Exemple : une instance avec 47 patients (2 salles opératoires)

30 Résultats expérimentaux
Évolution du temps de calcul en fonction de la taille du problème Résultats basés sur 10 instances: temps de calcul moyen (secondes) * Résultats basés sur 8 instances (2 instances n’ont pas pu être résolues)

31 Optimisation Monte Carlo : Commentaires
Avantages : L’optimisation Monte Carlo fournit des solutions « optimales » avec un modeste nombre de scénarios (moins que 1000 scénarios) L’optimisation Monte Carlo fournit des solutions meilleures que la solution déterministe, même en utilisant un faible nombre de scénarios (K = 20) Avec K=1000 scénarios, les solutions fournies permettent une réduction de coût de l’ordre de 5,8 % Inconvénient : Elle nécessite la résolution d’un programme linéaires à variables mixtes Temps de calcul trop important pour des problèmes de grande taille (plus que 50 patients)

32 Problèmes de grande taille
Résolution du problème de planification (stochastique) par une approche de relaxation Lagrangienne L’approche de relaxation Lagrangienne fournit des solutions approchées de bonne qualité (gap de dualité moins que 2%) permet de résoudre des problèmes de grande taille (plus que 300 patients) en un court temps de calcul (moins que que 3 min)

33 Plan Contexte et problématique
Planification avec capacité agrégée : modèle « de base » Planification avec capacité désagrégée Planification avec durées d’interventions aléatoires Conclusions et perspectives

34 Modèle étendu : Salles opératoires multiples
Le bloc opératoire est constitué de S salles opératoires Chaque salle-jour (s, t) dispose de Capacité régulière : Tts Capacité en heures supplémentaires : Vts Coût de sous-utilisation : uts Coût des heures supplémentaires : cts Pénalité de dépassement de la capacité totale : Capacité totale de la salle-jour

35 Modèle étendu : Salles opératoires multiples
Chirurgie urgence Wts : capacité utilisée par les urgences en salle-jour (s, t) Patients électifs aits : coût d’affectation du patient i à la salle-jour (s, t) Variables de décision

36 Modèle étendu : Formulation mathématique
Minimiser Sous contraintes : (3) Dépassement de la capacité régulière (4) Dépassement de la capacité totale (5) Sous-utilisation (6) Contraintes de capacité (7) Chaque patient est affecté exactement une fois

37 Modèle étendu : Formulation mathématique
Par soucis de clarté de la présentation, nous présentons le cas où Minimiser Sous contraintes : (3) Dépassement de la capacité régulière (6) Contraintes de capacité (7) Chaque patient est affecté exactement une fois

38 Planning pour une salle-jour : colonne
1 Ensemble de patients électifs yip … Patient « i » 1 1 1 … ztsp Salle jour (1, 1) Salle jour (2, 1) Salle jour (S, H)

39 Problème maître Problème Maître : s c :
Chaque patient est affecté au plus à un planning Chaque salle-jour reçoit au plus un planning

40 Méthodologie de résolution
Problème Maître (PM) Relâcher les contraintes d’intégrité Problème Maître Linéaire (PML) Résolution par Génération de Colonnes Solution optimale du PML Résolution par Génération de Colonnes Construire une “bonne” solution réalisable « Bonne » solution réalisable

41 Résolution du problème maître linéaire: Génération de colonnes
Multiplicateurs de simplex pi , pt s Problème maître linéaire Restreint sur Ω* Í Ω Problème de « pricing »  Minimiser le coût réduit min min s c : s c : Coût réduit < 0 Oui Colonne(s) à coût réduit minimal Ajouter la nouvelle colonne No STOP

42 Problème de pricing Le problème de pricing se décompose en H×S sous-problèmes Un sous-problème pour chaque salle-jour (sous-problème de pricing) La résolution du problème de pricing nécessite la résolution de H×S sous-problèmes Chaque sous-problème fournit une colonne (solution) La colonne ayant le coût minimal représente la solution du problème de pricinig

43 Sous-problème de pricing
Chaque sous-problème est un problème de sac-à-dos stochastique Les objets ont des tailles déterministes, mais la taille du sac est une variable aléatoire Une pénalité est associée à la violation de la capacité du sac Dépassement horaire Coût « modifiés » associés aux patients

44 Résolution du sous-problème du pricing : Programmation dynamique
K où KS(K) est le coût optimal du problème de sac-à-dos:

45 Méthodologie de résolution
Problème Maître (PM) Relâcher les contraintes d’intégrité Problème Maître Linéaire (PML) Résolution par Génération de Colonnes Solution optimale du PML Construire une “bonne” solution réalisable “ Bonne ” solution réalisable Construire une solution réalisable Améliorer la solution réalisable Solution Réalisable Problème Maître (PM) Relâcher les contraintes d’intégrité Problème Maître Linéaire (PML) Résolution par Génération de Colonnes Solution optimale du PML Construire une “bonne” solution réalisable “ Bonne ” solution réalisable Construire une solution réalisable

46 Construire une solution réalisable
Méthode I : Programmation en nombres entiers Résoudre le programme maître en se restreignant aux colonnes générées Méthode II : Réaffectation complète On fixe l’affectation des patients contenus dans les plannings avec λp = 1 On réaffecte un par un le reste des patients tout en prenant en compte les patients déjà affectés Méthode III : Réaffectation progressive On détermine les affectations [xits] à partir des {λp} On réaffecte, un par un, les patients qui sont affectés d’une manière fractionnaire ; tout en tenant compte des affectations des autres patients, qu’elles soient fractionnaires ou non

47 Méthodologie de résolution
Problème Maître (PM) Relâcher les contraintes d’intégrité Problème Maître Linéaire (PML) Résolution par Génération de Colonnes Solution optimale du PML Construire une solution réalisable Construire une “bonne” solution réalisable Solution Réalisable Améliorer la solution réalisable “ Bonne ” solution réalisable

48 Améliorer la solution réalisable
Heuristique 1 : Optimisation locale par réaffectation des patients Voisinage obtenu en changeant l’affectation d’un patient Heuristique 2 : Optimisation locale par permutation Voisinage obtenue en permutant l’affectation de deux patients Heuristique 3 : Optimisation locale orientée période À chaque itération, on considère une salle-jour et on re-optimise la planification des patients rejetés et ceux affectés à cette salle- jour (s, t) Les salle-jours sont considérées une à une, dans un ordre chronologique

49 Combinaisons des différentes heuristiques
CPLEX LP + Programmation Dynamique Problème Maître Linéaire Génération de Colonnes Solution optimale du PML M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 CPLEX IP Réaffectation Complète Réaffectation Progressive Construire une solution réalisable Solution réalisable Opt Locale Opt Permutation Opt Orienté Période Opt Orientée Période Opt Orientée Période Améliorer la solution réalisable « Bonne » solution réalisable

50 Génération de colonnes : Résultats expérimentaux
Génération des instances Nombre des périodes : H = 5 Nombre de salles opératoires : S = 3, 6, 9 et 12 Capacité régulière : Tts = 8 heures Capacité en heures supplémentaires : Vts = 3 heures Capacité utilisée par la chirurgie d’urgence : Wts = EXP(2 heures) Durées des interventions électives : di  [0.5, 3 heures] Dates au plus-tôt : ei  {1…H} Le nombre des patients électifs est déterminé de sorte que la charge du bloc opératoire sur tout l’horizon est de 100%

51 Résultats expérimentaux : GAP
Résultats basés sur 10 instances: GAP moyen Le GAP est déterminé relativement à la borne inférieure fournie par la génération de colonnes M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 Nb Salles =3 (53 patients) 18.31% 3.78% 2.72% 2.83% 2.13% 1.52% 1.54% Nb Salles =6 (106.9 patients) 24.81%* 2.81% 2.27% 1.74% 1.69% 1.40% Nb Salles =9 (160 patients) --- 3.25% 2.26% 1.51% 1.44% 1.15% Nb Salles =12 (211 patients) 2.86% 1.99% 1.33% 1.29% 0.88% 　 　 　 0.95% 3.91% 1.56% 2.29% 1.30% 0.87% 0.93% (106 patients) 5.68% 2.47% 2.05% 1.86% 1.53% (160.patients) 5.83% 2.82% 2.06% 1.58% 1.57% 3.16% 2.17% 2.10% 1.70% Salles Identiques Salles Non Identiques CPLEX IP Réaffectation Complète Réaffectation Progressive Construction de Sol Réalisable :

52 Résultats expérimentaux : Temps de calcul
Résultats basés sur 10 instances: temps de calcul moyen (secondes) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 　 　 　 Nb Salles =3 (53 patients) 51.6 8.76 8.72 8.65 8.68 8.77 8.75 Nb Salles =6 (106.9 patients) 7863 43.69 43.48 42.90 43.00 43.84 43.56 Nb Salles =9 (160 patients) >8000 140.90 140.47 138.63 138.93 140.73 140.66 Nb Salles =12 (211 patients) --- 350.60 349.00 344.87 345.44 349.75 349.35 18.40 17.40 17.38 17.43 17.46 (106 patients) 77.88 77.53 77.14 77.28 77.72 77.62 192.70 192.40 190.72 191.02 193.06 192.58 408.76 407.53 403.42 404.22 408.85 407.85 Salles Identiques Salles Non Identiques Plus que 65 % du temps de calcul est utilisé pour la résolution du problème de pricing Construction de Sol Réalisable : CPLEX IP Réaffectation Complète Réaffectation Progressive

53 Résultats expérimentaux : Temps de calcul
Résultats basés sur 10 instances: temps de calcul moyen (secondes) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 　 　 　 Nb Salles =3 (53 patients) 51.6 8.76 8.72 8.65 8.68 8.77 8.75 Nb Salles =6 (106 patients) 7863 43.69 43.48 42.90 43.00 43.84 43.56 Nb Salles =9 (160 patients) >8000 140.90 140.47 138.63 138.93 140.73 140.66 Nb Salles =12 (211 patients) --- 350.60 349.00 344.87 345.44 349.75 349.35 　 　 18.40 17.40 17.38 17.43 17.46 77.88 77.53 77.14 77.28 77.72 77.62 192.70 192.40 190.72 191.02 193.06 192.58 408.76 407.53 403.42 404.22 408.85 407.85 M6 3.05 16.34 51.36 99.83 2.6 11.87 33.58 70.00 Salles Identiques Salles Non Identiques Génération de colonnes avec l’ajout de colonnes multiples

54 Génération de colonnes : Commentaires
La génération de colonnes fournit une borne inférieure de bonne qualité La résolution du problème maître en se restreignant aux colonnes générées peut fournir des solutions de mauvaise qualité, et peut être très gourmande en temps de calcul L’heuristique de réaffectation progressive est meilleure que la réaffectation complète; elle préserve la structure de la solution fournie par la génération de colonnes L’approche de génération de colonnes permet de résoudre d’une manière efficace des problèmes de planification de grandes tailles en un temps de calcul très court

55 Plan Contexte et problématique
Planification avec capacité agrégée : modèle « de base » Planification avec capacité désagrégée Planification avec durées d’interventions aléatoires Conclusions et perspectives

56 Planification avec durées d’interventions aléatoires
Les durées des interventions électives sont maintenant considérées comme des variables aléatoires Le sous-problème de pricing devient un problème de sac-à-dos où La taille du sac est une variable aléatoire Les objets ont des tailles aléatoires L’approche de résolution précédemment présentée n’est plus applicable

57 Modèle mathématique Minimiser Variables aléatoires Sous contraintes :
coûts associés aux patients électifs coûts des dépassements horaires Minimiser Variables aléatoires Sous contraintes : Dépassement horaire Chaque patient est affecté exactement une fois

58 Méthodologie de résolution
Problème de planification (Problème stochastique) Simulation Monte Carlo Simulation Monte Carlo Problème approximé (Problème déterministe - MIP) Génération de colonnes Solution approchée

59 Approximation Monte Carlo
Générer pour chaque variable aléatoire K échantillons Pour chaque patient électif, K échantillons de la durée d’intervention Pour chaque salle-jour (s, t), K échantillons de la capacité utilisée par l’urgence Estimer les dépassements horaires par des moyennes empiriques en se basant sur les échantillons générés :

60 Échantillons générés d’une manière aléatoire
Problème approximé Minimiser Échantillons générés d’une manière aléatoire Sous contraintes : Dépassement horaire estimé

61 Méthodologie de résolution
Problème de planification (Problème stochastique) Simulation Monte Carlo Problème approximé (Problème déterministe - MIP) Génération de colonnes Solution approchée

62 Génération de colonnes
Le schéma global de génération de colonnes est similaire à celui présenté précédemment Les différences concernent essentiellement Les sous-problèmes de pricing Les stratégies de génération de colonnes La construction de solutions réalisables

63 Problème de pricing Le problème de génération de colonnes se décompose en H×S sous-problèmes Un sous-problème pour chaque salle-jour Variables de décision s c : Les sous-problèmes représentent une extension du problème de sac-à-dos multi-dimensionnel classique Programmation en nombres mixtes

64 Génération de colonnes
Efficacité Ajouter plusieurs colonnes Ajouter la nouvelle colonne Multiplicateurs de simplex Coût réduit < 0 Oui Non STOP Problème maître linéaire Restreint sur Ω* Í Ω Problème de pricing Colonne(s) à coût réduit minimal

65 Améliorer les performances de la génération de colonnes
Accélérer la résolution des sous-problèmes Étudier la structure des solutions optimales Réduire le nombre des variables de décisions en fixant certaines variables à zéro ou à un Utiliser différentes stratégies de génération de colonnes Stratégie “All-negative” : Résoudre à l’optimalité tous les sous-problèmes de GC et ajouter toutes les colonnes ayant un coût réduit négatif Stratégie à deux-phases Stratégie cyclique

66 Stratégie à deux-phases : “Two-phase Pricing”
Étape 1: Résoudre tous les sous-problèmes en utilisant une heuristique d’optimisation locale S’il y a au moins une colonne améliorante, alors ajouter la (les) colonne(s) améliorante au problème maître restreint (PMR) et aller à l’itération suivante de génération de colonnes Sinon, aller à Étape 2. Étape 2: Résoudre tous les sous-problèmes en utilisant une méthode exacte Ajouter la (les) colonne(s) au problème maître restreint (PMR) et aller à l’itération suivante de génération de colonnes S’il n y a aucune colonne améliorante, alors STOP. Les sous-problèmes sont résolus d’une manière exacte seulement si l’heuristique n’identifie aucune colonne améliorante

67 Stratégie cyclique : “Cyclic Pricing”
Les salle-jours sont considérées une par une et leurs sous- problèmes sont résolus à l’optimalité jusqu’à ce que une colonne améliorante soit identifiée. La même colonne est ensuite testée comme colonne candidate pour les autres sous-problèmes de génération de colonnes Chaque fois qu’elle représente une colonne améliorante, elle est ajoutée au problème maître restreint (PMR). Les salle-jours sont considérées d’une manière cyclique. Le processus s’arrête lorsque tous les sous-problèmes sont résolus sans identifier une colonne améliorante. Cette stratégie permet d’identifier nombreuses colonnes améliorantes tout en résolvant un faible nombre de sous- problèmes

68 Construire une solution réalisable
Méthode I : Réaffectation progressive Méthode II : Heuristique d’arrondissement Étant donné {λp} la solution optimale du PM linéaire. On fixe les plannings avec λp=1 et on arrondit à un la variable ayant la plus large valeur fractionnaire. Les plannings fixés forment une solution partielle le problème résiduel réduit aux restes des salle-jours est résolu par GC, ensuite des nouveaux plannings sont fixés L’algorithme s’arrête lorsque la solution du problème résiduel est entière

69 Résultats expérimentaux : Comparaison des différentes stratégies GC
Problèmes avec 6 Salles Nombre de scénarios K = 100 Résultats basés sur 10 instances (Nombre moyen des patients électifs est 110)

70 Résultats expérimentaux : GAP et Temps CPU
Résultats basés sur 10 instances: GAP moyen Le GAP est déterminé relativement à la borne inférieure fournie par la génération de colonnes Pour les instances utilisées, les solutions fournies par Méthode 2 sont nettement meilleures que les solutions déterministes du problème. En moyenne, une réduction du coût de 7,96 % pour des problèmes avec salles identiques 7,08 % pour des problèmes avec salles non-identiques

71 Plan Contexte et problématique
Planification avec capacité agrégée : modèle « de base » Planification avec capacité désagrégée Planification avec durées d’interventions aléatoires Conclusions et perspectives

72 Conclusions Développement de plusieurs modèles de planification stochastiques qui capturent les éléments essentiels à prendre en compte lors de la planification, qui permettent une modélisation explicite des aléas, et qui peuvent être facilement étendus. Développement de plusieurs approches de résolutions (complètes et complémentaires) qui permettent une résolution efficace des problèmes de planification peuvent être facilement adaptées pour tenir compte des extensions du modèle

73 Perspectives Étendre le modèle de planification pour tenir compte d’autres contraintes liées aux pratiques de terrain Prendre en compte d’autres ressources en aval et en amont des salles opératoires Les salles de réveils, lits d’hospitalisation, … Planification avec horizon glissant (Figer une partie du planning…) Planification robuste (Variabilité du critère, Contraintes probabilistes,…)

74 Perspectives Améliorer les performances de la méthode de résolution pour le problème avec durées d’interventions aléatoires Techniques de stabilisation pour la génération de colonnes, résolution efficace des sous problèmes de génération de colonnes Exploiter la génération de colonnes pour le développement des méthodes de résolution exactes, branch-and-price Tester les approches développées sur un cas d’étude réel