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Le modèle de Black & Litterman Equilibre et croyances.

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1 Le modèle de Black & Litterman Equilibre et croyances

2 Les motivations du modèle de Black- Litterman La performance limitée des exercices doptimisation. In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black: o Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?

3 Mixer diverses informations Les fondements statistiques

4 Les fondations statistiques La réponse statistique : Theil and Goldberger (1961) On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics. Combiner une information a priori avec un échantillon. mixed estimation

5 Les fondations statistiques

6 Les fondations statistiques

7 Les fondations statistiques Exemples de seconde source dinformation : La théorie économique Pour Fischer Black, le CAPM décrivait létat autour duquel devait graviter léconomie réelle.

8 Les fondations statistiques Exemples de seconde source dinformation (suite) : Des opinions informées (views) Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements.

9 Exemples de views Un univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions danalystes financiers : Le rendement moyen du titre 1 est de 5% Celui du titre 3 de -2% Comment entrer ces opinions dans un modèle économétrique?

10 Exemples de views

11 Exemples de views

12 Exemples de views Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views Si lon a N views et J titres alors P sera une matrice (N,J) Dans lexemple, P sera alors

13 Exemples de views Léquation sera donc :

14 Exemples de views Un exemple de views relatives 2 opinions danalystes financiers : Le rendement moyen du titre 2 dépassera celui du titre 3 de 2% Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera inférieur de 2% à celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers).

15 Exemples de views

16 Exemples de views Léquation sera donc :

17 Les fondations statistiques

18 Les fondations statistiques

19 Les fondations statistiques

20 Les fondations statistiques Pour le système :

21 Les fondations statistiques Pour le système :

22 Les fondations statistiques Pour le système :

23 Le modèle de B & L

24 Black & Litterman (1992) Black and Litterman (1992) Global Portfolio Optimization use the same formula to combine a prior, Equilibrium with an investors Views

25 Le modèle de B&L Lobjectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions, Notamment pour gérer les erreurs destimation

26 B & L : un a priori L « information » additionnelle de Black & Litterman : la priori que léconomie doit graviter autour du CAPM, Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM

27 B & L : un outil Lestimation mixte Theil and Goldberger (1961) On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics. Combiner une information a priori avec un échantillon. mixed estimation

28 La formule de B&L La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au rendement déquilibre P la matrice des opinions (KxJ) définissant les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans les opinions Q le vecteur des opinions (Kx1)

29 La formule de B&L

30

31 B&L Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views?

32 Les rendements du CAPM Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp

33 Deux approches pour déterminer le rendement implicite le CAPM le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta loptimisation inverse (Sharpe (1974))

34 Loptimisation inverse Les conditions marginales (avec actif sans risque) Où est le portefeuille de marché

35 Loptimisation inverse (suite) Le coefficient daversion au risque

36 Le portefeuille de marché

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38

39

40 Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient. Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.

41 Quelles views ? Par exemple : les rendements historiques (bruités) La contribution de B & L : « ancrer » les données observées à la théorie pour filtrer le bruit.

42 Un exemple A partir dun échantillon initial Resampling des données pour créer des échantillons artificiels Et comparaison des résultats obtenus en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en sélectionnant le portefeuille equipondéré.

43 nompériodicitédébutfinobserv. capitalisati on US LARGE CAP VALUEmensuelledéc-92sept ,74% US MID CAP VALUEmensuelledéc-92sept ,02% US SMALL CAP VALUEmensuelledéc-92sept ,61% US LARGE CAP GROWTHmensuelledéc-92sept ,01% US MID CAP GROWTHmensuelledéc-92sept ,61% US SMALL CAP GROWTHmensuelledéc-92sept ,85% EM ASIAmensuelledéc-92sept ,19% EM EUROPEmensuelledéc-92sept ,61% EM LATIN AMERICAmensuelledéc-92sept ,12% EMUmensuelledéc-92sept ,25% JAPANmensuelledéc-92sept ,62% UNITED KINGDOMmensuelledéc-92sept ,36%

44 Markowitz Eu ratio de SharpeErvolatilitéVAR 5%TE equipondér é5,47%0,5611,51%15,55%-14,06%2,53% marché5,76%0,5610,29%13,47%-11,86%2,43% optimal9,78%0,8614,30%13,45%-7,83% moyenne3,10%0,5512,23%18,40%-18,03%3,58% écart-type5,28%0,202,80%5,18%8,37%1,84% 5,00%-6,84%0,176,67%12,75%-32,53%0,47% 25,00%-1,22%0,4211,26%13,61%-25,17%1,98% 50,00%4,65%0,5712,73%17,23%-16,16%3,61% 75,00%7,60%0,7014,21%22,10%-10,38%4,96% 95,00%9,65%0,8516,25%29,50%-7,90%6,65%

45 BL Eu ratio de SharpeErvolatilitéVAR 5% equipondéré5,47%0,5611,51%15,55%-14,06% marché5,76%0,5610,29%13,47%-11,86% optimal9,78%0,8614,30%13,45%-7,83% moyenne7,30%0,6711,59%13,10%-9,96% écart-type0,25%0,020,22%0,28%0,45% 5,00%6,95%0,6511,16%12,58%-10,48% 25,00%7,22%0,6711,54%13,01%-10,17% 50,00%7,30%0,6711,64%13,16%-10,02% 75,00%7,40%0,6811,70%13,26%-9,80% 95,00%7,60%0,7011,80%13,39%-9,23%

46 Au-delà du problème derreurs destimation, La richesse de B & L : sa capacité à intéger nimporte quel type de views.

47 Le mécanisme de B&L Évaluation des « rendements du marché » par loptimisation inverse Prise en compte des opinions : opinion absolue : « lactif A aura un rendement de x% » opinion relative : « lactif A sur- performera lactif B par x points de % »

48 Le mécanisme de B&L La nature des opinions Des intuitions dinvestisseurs Des données empiriques (valeurs des rendements moyens récents) Des prévisions économétriques des rendements

49 Un exemple (Idzorek)

50

51 Un exemple 3 opinions : Intern Developped Equity va avoir un rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%) Intern Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%) US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

52 Mise en oeuvre

53 La matrice de covariance des erreurs des opinions

54 La matrice de « participation » Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

55 Idzorek

56 Variances des « individual portfolio view »

57 et ? La solution de He & Litterman (1999) Numériquement :

58

59 Propriété de BL: La déformation du portefeuille induit par la prise en compte des opinions dépend de limportance relative des sur-performances (selon lopinion et le rendement implicite) Exemple de lopinion 3

60 Opinon 3 : actifs sur-performants

61

62 Un exemple Mêmes données que précédemment Lopinion : US Equity sur-performera World Equity par 150 pts Avec une confiance de 75%

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65 Les fondements de B&L La statistique bayésienne A priori sur les paramètres + vraissemblances C. Robert La décision bayésienne Les modèles bayésiens de choix de portefeuille Scherer & McDouglas


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