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APMEP, régionale de Franche-Comté 19 mars 2008, Michel Henry Une introduction au concept de probabilité II Questions posées par son enseignement dès le.

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1 APMEP, régionale de Franche-Comté 19 mars 2008, Michel Henry Une introduction au concept de probabilité II Questions posées par son enseignement dès le collège

2 La liaison statistique-probabilités – Le programme de seconde est centr é sur la sensibilisation aux fluctuations d' é chantillonnage. – Quelles connaissances du coll è ge vous semblent devoir être install é es pour favoriser cet enseignement ? – Quels liens voyez-vous entre l'enseignement des outils de la description statistique et l'introduction de la notion de probabilit é ? Si un é l è ve de troisi è me vous demande ce qu'est la loi des grands nombres, que r é pondez-vous ? Même question pour un é l è ve de premi è re. Même question pour un coll è gue, professeur de math é matiques en coll è ge ou lyc é e, ayant é t é autrefois excellent é l è ve en TC, mais n'ayant pas re ç u l'enseignement universitaire de base en probabilit é s.

3 II - Lapproche fréquentiste dite « objectiviste », liée aux notions de « fréquence », « tendance », « loi des grands nombres » La définition dAlfred Renyi (calcul des probabilit é s, Dunod, 1966) « Nous appellerons probabilit é d'un é v é nement le nombre autour duquel oscille la fr é quence relative de l' é v é nement consid é r é… » Ce nombre existe-t-il ? Est-il donn é de mani è re unique ? Peut-on toujours le d é terminer ? « … la th é orie math é matique des probabilit é s ne s'occupe pas de jugements subjectifs ; elle concerne les probabilit é s objectives, qui peuvent être mesur é es comme des grandeurs physiques ». Ceci en vertu du th é or è me de Bernoulli: A la seule condition de r é p é ter un nombre de fois suffisamment grand une même exp é rience al é atoire, la probabilit é que la fr é quence F des issues r é alisant un é v é nement soit plus proche que tout > 0 donn é de la probabilit é p de cet é v é nement, est aussi voisine de 1 que l on veut: P(F – 1 – Cette fr é quence observ é e F peut donc être prise comme « mesure » pour estimer la probabilit é p de l é v é nement par l encadrement de confiance indiqu é, avec un risque inf é rieur à de se tromper.

4 Problèmes didactiques posés par cet énoncé Dans la formule P(|F – p| 1 –, il y a deux sortes de probabilit é s: - p qui est introduite à partir d un mod è le d urne par la d é finition « classique ». - P qui traduit un risque (celui de se tromper en disant que p est dans l intervalle de confiance). Cette probabilit é n est pas de même nature que la probabilit é « objective » p. - Combien faut-il faire d exp é riences r é ellement pour garantir cette mesure ? - P rel è ve-t-elle aussi d une approche fr é quentiste ? - Comment faire fonctionner cette d é finition fr é quentiste dans un probl è me ? La d é finition « fr é quentiste » confond deux domaines qu il faut bien s é parer : - le domaine de la r é alit é o ù l on observe les fr é quences F de r é alisations d un é v é nement au cours de la r é p é tition d une même exp é rience al é atoire, - le domaine th é orique (math é matique) o ù les objets sont d é finis abstraitement. Renyi explique: La « d é finition » de la probabilit é comme valeur autour de laquelle oscille la fr é quence relative n'est pas une d é finition math é matique mais une description du substrat concret du concept de probabilit é. Alors, quelle est la « définition mathématique » ? On verra plus loin !

5 Lévolution des programmes La loi des grands nombres joue donc un rôle essentiel pour relier la d é finition é l é mentaire a priori de la probabilit é (nb cas favorables / nb cas possibles) à l observation de la stabilisation des fr é quences qui, justifiant exp é rimentalement les inf é rences, permet les applications à la statistique. Le programme de premi è re de 1990 proposait d introduire la notion de probabilit é sur cette observation. La probabilit é d un é v é nement est alors d é finie comme la somme des probabilit é s des é v é nements é l é mentaires qui le constituent. Le programme de premi è re de 2001 propose d introduire le concept de (loi) de probabilit é par ses propri é t é s th é oriques, calqu é es sur les propri é t é s des (distributions) de fr é quences: famille de nombres compris entre 0 et 1, de somme 1. On se rapproche ainsi de la « d é finition math é matique », dans le cas discret fini et on relie ce concept à l observation exp é rimentale (les fluctuations d é chantillonnage) par un é nonc é « vulgaris é » de la loi des grands nombres : « Pour une exp é rience al é atoire donn é e, dans le mod è le d é fini par une loi de probabilit é P, les distributions des fr é quences obtenues sur des s é ries de taille n sont proches de P quand n est grand ».

6 La loi des grands nombres L é nonc é vulgaris é donn é dans le programme de premi è re peut sembler insuffisant. Les termes « sont proches de » et « quand n est grand » sont trop vagues pour permettre une utilisation op é ratoire. Le th é or è me de Bernoulli, forme é l é mentaire de la loi « faible » des grands nombres pose des probl è mes de statut des probabilit é s consid é r é es et il introduit une notion nouvelle de convergence en probabilit é. Quitte à admettre un th é or è me en classe de premi è re, pourquoi ne pas admettre un é nonc é s appuyant sur la loi « forte » ? Si (X n ) n IN est une suite de v.a. d é finies sur, ind é pendantes, d esp é rances m et de mêmes variances finies, alors la suite M n des moyennes arithm é tiques des X i (i de 1 à n) converge presque s û rement vers m. (i.e. P({ M n ( ) > m}) = 1 ). Autrement dit : sous ces hypoth è ses, on n a aucune chance de tomber sur une s é rie d observations dont la suite des moyennes arithm é tiques ne converge pas vers m. D o ù un autre é nonc é « vulgaris é » qui me semble pr é f é rable : Si A est un é v é nement de probabilit é p issue possible d une exp é rience al é atoire E, et si l on reproduit dans les mêmes conditions un grand nombre de fois cette exp é rience E, alors on peut consid é rer que la suite observ é e des fr é quences F n des r é alisations de A au cours des n premi è res exp é riences converge vers p quand n tend vers l infini, car il n y a aucune chance d observer le contraire.

7 Gestion didactique du point de vue fréquentiste Avec H é l è ne Ventsel (1971), on peut souligner l int é rêt didactique d introduire la notion de probabilit é par l é quiprobabilit é. Le concept peut ensuite être é tendu à toutes les situations al é atoires dans lesquelles l é quiprobabilit é n a pas de sens, moyennant un postulat d existence : « Si la pratique montre que, au fur et à mesure de l'augmentation du nombre d'exp é riences, la fr é quence de l' é v é nement a tendance à se stabiliser, s'approchant rigoureusement d'un nombre constant, il est naturel d'admettre que ce nombre est la probabilit é de cet é v é nement. Il est clair que l'on peut v é rifier cette hypoth è se seulement pour des é v é nements dont les probabilit é s sont susceptibles d'être calcul é es directement, c'est à dire pour les é v é nements se r é duisant à un syst è me de cas, car ce n'est qu'alors qu'il existe une m é thode permettant de calculer la probabilit é math é matique. De nombreuses exp é riences r é alis é es depuis la naissance du calcul des probabilit é s confirment effectivement cette hypoth è se. Il est tout naturel d'admettre que pour les é v é nements ne se r é duisant pas à un syst è me de cas, la même loi reste vraie et que le nombre constant vers lequel tend la fr é quence d'un é v é nement, lorsque le nombre d'exp é riences augmente, n'est rien d'autre que la probabilit é de l' é v é nement. On peut alors prendre la fr é quence d'un é v é nement, calcul é e pour un nombre suffisamment grand d'exp é riences, pour la valeur approch é e de la probabilit é. »

8 Dualité de la notion de probabilité Cette notion a donc deux visages : - Une valeur a priori correspondant à l id é e de « chance », calculable quand il y a de l é quiprobabilit é quelque part, - Une mesure exp é rimentale obtenue par l observation d une fr é quence stabilis é e. Ces deux visages sont ins é parables si l on veut ma î triser cette notion au niveau de ses applications concr è tes. S en tenir à la premi è re approche conduit au biais cardinaliste et à l abus de la combinatoire ( é chec massif de cet enseignement). La seconde, par sa nature empirique, est, à elle seule, impropre pour d é velopper une th é orie scientifique (tentative avort é e d axiomatisation de Von Mises). Que faire ? De Finetti : « La probabilit é n existe pas ! » « L'abandon de croyances superstitieuses sur l'existence du phlogistique, de l' é ther, de l'espace et du temps absolu... ou des f é es, a é t é une é tape essentielle dans la pens é e scientifique. La probabilit é, consid é r é e comme quelque chose ayant une existence objective est é galement une conception erron é e et dangereuse, une tentative d'ext é rioriser ou de mat é rialiser nos v é ritables conceptions probabilistes! »

9 Le point de vue de la modélisation Proc é dant d une d é marche scientifique, le point de vue de la mod é lisation renvoie le d é bat entre subjectivistes et objectivistes au niveau du choix du mod è le probabiliste le plus ad é quat possible. La probabilit é y est axiomatiquement d é finie comme un objet th é orique, quantifiant id é alement la possibilit é d un é v é nement estim é e a priori ou mesur é e exp é rimentalement. Tout en proposant une approche fr é quentiste, le projet de programme de premi è re L de 1993 pla ç ait la mod é lisation comme objectif, anticipant sur la r é forme des ann é es 2000 : « Il s'agit, comme dans les autres programmes, d'aborder la notion de probabilit é à partir de la fr é quence, mais on a choisi dans cette s é rie d'affiner l'explicitation du processus de mod é lisation. L'objet de cette partie de la formation est donc de faire d é couvrir, en s'appuyant sur l'exp é rimentation num é rique, quelques notions qualitatives et quantitatives li é es à la mod é lisation math é matique des ph é nom è nes al é atoires …. On abordera ensuite une analyse plus quantitative permettant de d é gager à partir de l' é tude des fr é quences et en relation avec les travaux effectu é s en statistique, la notion de probabilit é ». Les programmes actuels ont donc adopt é le point de vue de la mod é lisation, comme le souligne le GEPS dans le document d accompagnement des programmes de premi è re en 2001.

10 Extraits du document du GEPS « Mod é liser une exp é rience al é atoire, c'est lui associer une loi de probabilit é. Une fr é quence est empirique : elle est calcul é e à partir de donn é es exp é rimentales, alors que la probabilit é d'un é v é nement est un nombre th é orique. Les distributions de fr é quences issues de la r é p é tition d'exp é riences identiques et ind é pendantes varient (fluctuent), alors que la loi de probabilit é est un invariant associ é à l'exp é rience. L'objectif est que les é l è ves comprennent à l'aide d'exemples que mod é liser, c'est ici choisir une loi de probabilit é… Ce choix est en g é n é ral d é licat, sauf dans certains cas o ù des consid é rations propres au protocole exp é rimental conduisent à proposer a priori un mod è le. Il en est ainsi des lancers de pi è ces ou de d é s, pour lesquels des consid é rations de sym é trie conduisent au choix d'un mod è le o ù la loi de probabilit é est é quir é partie. Sans faire une liste de conventions terminologiques, on indiquera clairement que les termes é quilibr é et hasard indiquent un choix du mod è le de l'exp é rience o ù intervient quelque part une probabilit é é quir é partie … On se contentera, pour certains exercices, de fournir un mod è le en indiquant dans un premier temps que des techniques statistiques ont permis de le d é terminer et de le valider à partir de nombreuses donn é es exp é rimentales. Pour d é terminer et/ou valider un mod è le probabiliste, le premier outil dont on dispose est un th é or è me de math é matiques appel é « loi des grands nombres ».

11 Notion de modèle D é finition donn é e par John Von Neumann, pr é curseur en la mati è re : « Les sciences n essayent pas d'expliquer, c'est tout juste si elles tentent d'interpr é ter, elles font essentiellement des mod è les. Par mod è le, on entend une construction math é matique qui, à l'aide de certaines interpr é tations verbales, d é crit les ph é nom è nes observ é s. La justification d'une telle construction math é matique r é side uniquement et pr é cis é ment dans le fait qu elle est cens é e fonctionner ». Citons aussi David Ruelle : « Un mod è le consiste à coller une th é orie math é matique sur un morceau de r é alit é ». Retenons qu un mod è le est une repr é sentation simplifi é e et id é alis é e de la r é alit é. Un mod è le peut être pr é sent é dans un vocabulaire courant renvoyant à des objets r é els, mais qui dans le mod è le sont dou é s de propri é t é s caract é ristiques id é ales et abstraites (mod è le pseudo-concret). Ainsi une urne de Bernoulli est une abstraction d une urne r é elle, dans laquelle les boules sont de deux couleurs, mais pour le reste parfaitement identiques. Elles sont suppos é es rigoureusement é quiprobables (hypoth è se de mod è le) dans un tirage au hasard.

12 Simulation. On trouve une d é finition de la simulation dans l Encyclop é die Universalis : « La simulation est l'exp é rimentation sur un mod è le. C'est une proc é dure de recherche scientifique qui consiste à r é aliser une reproduction artificielle (mod è le) du ph é nom è ne que l'on d é sire é tudier, à observer le comportement de cette reproduction lorsque l'on fait varier exp é rimentalement les actions que l'on peut exercer sur celle-ci, et à en induire ce qui se passerait dans la r é alit é sous l'influence d'actions analogues ». Le document d accompagnement des programmes de premi è re pr é cise pour sa part : « Mod é liser consiste à associer un mod è le à des donn é es exp é rimentales, alors que simuler consiste à produire des donn é es à partir d'un mod è le pr é d é fini. Pour simuler une exp é rience, on associe d'abord un mod è le à l'exp é rience en cours, puis on simule la loi du mod è le ». Il convient donc de faire d abord le choix d un mod è le. Les situations al é atoires consid é r é es en classe sont en principe toutes à base d é quiprobabilit é. Les mod è les utilis é s pour les simulations propos é es sont donc souvent implicites quand ils se r é duisent à la loi uniforme discr è te, produite par le g é n é rateur al é atoire de l ordinateur ou de la calculette qui fournissent des chiffres pseudo-al é atoires é quir é partis.

13 Définition moderne de la probabilité La probabilit é est un concept math é matique dont la d é finition a du sens au sein d un mod è le th é orique. Le mod è le contemporain est le mod è le de Kolmogorov (1933): E est une ensemble repr é sentant l ensemble des issues possibles d une exp é rience al é atoire. Les parties de E repr é sentent les é v é nements associ é s à cette exp é rience On distingue une famille B de parties de E repr é sentant les é v é nements susceptibles d une description, ferm é e pour les op é rations ensemblistes de base (tribu). Une probabilit é P est une mesure (au sens de Borel) sur B comprise entre 0 et 1, v é rifiant : P(E) = 1, P( ) = 0, P(E \ A) = 1 – P(A) pour tout A de B, et pour toute famille d é nombrable d é v é nements A i incompatibles deux à deux (A i A j = ), P( A i ) = P(A i ). Cette d é finition suppose une bonne dose de th é orie de la mesure … Alors, comment on fait dans le secondaire ?


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