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1. 2 1.Introduction 2.Résumé de la théorie -Aversion au risque -Méthode de larbitrage -Splines cubiques 3.Méthodologie : Simulations Monte Carlo 4.Résultats.

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2 2 1.Introduction 2.Résumé de la théorie -Aversion au risque -Méthode de larbitrage -Splines cubiques 3.Méthodologie : Simulations Monte Carlo 4.Résultats -Général -Arrondissement -Nombre de points -Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique 5.Extensions 6.Conclusion Plan de la présentation

3 3 Les préférences face au risque reviennent dans plusieurs discussions économiques et une bonne connaissance de ces préférences pourrait avoir des avantages : - Meilleure compréhension des facteurs déterminant le choix dun emploi, dune éducation, dun portfolio financier,...; - Prédiction du comportement des individus; - Outil délaboration de politiques publiques; - etc. Toutefois, il nexiste pas encore de manière uniforme de mesurer ces préférences. Pourtant, de nombreuses méthodes ont été développées au cours des dernières dizaines dannées. 1. Introduction

4 4 Méthodes sappuyant sur un processus décisionnel courant. Ex: choix dassurances (Halek et Eisenhauer, 2001), composition du portfolio financier (Guiso et Paiella, 2002) Méthodes expérimentales indépendantes. Ex: méthode de larbitrage (Wakker et Deneffe, 1996), choix de loteries (Holt et Laury, 2002) Puisque des procédés ou des contextes différents peuvent fournir des estimations différentes, lutilité des mesures du risque a été remise en question (Isaac et James, 2000). Approche habituelle : spécification paramétrique dune fonction dutilité. Cette approche est toutefois susceptible de générer des biais de spécification. 1. Introduction

5 5 Questions principales de la problématique : Est-il possible destimer les préférences face au risque de manière entièrement non paramétrique? Quel est limpact de lintroduction dune erreur sur les estimations des préférences face au risque? Y a-t-il un nombre de points optimal à utiliser sur les courbes dutilité? Lapproche non paramétrique permet-elle déviter les erreurs de spécification auxquelles sont soumises les approches paramétriques? Démarche adoptée : Utilisation de splines cubiques et simulations informatiques de type Monte Carlo. 1. Introduction

6 6 Les préférences dun individu sont représentées par une fonction dutilité U(x). La courbure de la fonction nous renseigne sur lattitude face au risque de lindividu : - Concave : Aversion pour le risque - Convexe: Goût pour le risque - Linéaire: Neutralité envers le risque 2. Résumé de la théorie : Aversion au risque

7 7 Mesures dArrow-Pratt : Aversion absolue au risque : Mesure la variation de lutilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière absolue. Ex: Fonction exponentielle : ARA(x) = r 2. Résumé de la théorie : Aversion au risque

8 8 Mesures dArrow-Pratt : Aversion absolue au risque : Mesure la variation de lutilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière absolue. Ex: Fonction exponentielle : ARA(x) = r Aversion relative au risque : Mesure la variation de lutilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière proportionnelle. Ex: Fonction puissance : RRA(x) = r 2. Résumé de la théorie : Aversion au risque

9 9 Wakker et Deneffe(1996) : Méthode expérimentale non paramétrique pour obtenir des courbes dutilité : 2. Résumé de la théorie : Méthode de larbitrage

10 10 2. Résumé de la théorie : Méthode de larbitrage Principe : Trouver des valeurs créant des égalités de différence dutilité. S, R et x 0 sont des quantités arbitraires du bien x dont on mesure lutilité et p est la probabilité que x 0 ou x 1 se réalise. On cherche x 1 qui satisfait [x 0, S; p] ~ [x 1, R; p]. Ensuite, on trouve x 2 qui satisfait [x 1, S; p] ~ [x 2, R; p] On obtient que : U(x 1 ) – U(x 0 ) = U(x 2 ) – U(x 1 ) On continue le processus pour obtenir n+1 valeurs de x i. On normalise U(x) entre 0 et 1, on pose u(x i ) = i/n et on trace la courbe dutilité à laide des points (x i, u(x i )) trouvés.

11 11 Problème : La méthode de larbitrage nous fournit une courbe dutilité, mais pas de coefficient daversion au risque. Deux solutions : Postuler une forme fonctionnelle pour lutilité. Trouver une manière non paramétrique dobtenir le coefficient. Autres problèmes : Tenir en compte la possibilité que les valeurs de x i soient erronées. Déterminer le nombre optimal de questions à poser. 2. Résumé de la théorie : Méthode de larbitrage

12 12 On peut utiliser les splines cubiques pour estimer la fonction dutilité et les coefficients daversion au risque de manière non paramétrique. (Bissonnette, 2007) et (Bellemare, Bissonnette et Kröger, 2010) : Application aux anticipations rationnelles 2. Résumé de la théorie : Splines cubiques

13 13 On identifie les paramètres en posant des contraintes : Égalité des dérivées premières aux points intérieurs; Égalité des dérivées secondes aux points intérieurs; Utilité normalisée entre 0 et 1. Il manque deux équations à poser pour identifier pleinement les paramètres. Splines naturelles; Coefficients daversion au risque constants; Autres. Les calculs sont faits à laide du programme Splinesim (Oxmetrics) développé par Bellemare, Bissonnette et Kröger (2010). 2. Résumé de la théorie : Splines cubiques

14 14 3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo 1) Pour un individu fictif donné, postuler… Fonction dutilité : puissance ou exponentielle Une valeur pour le paramètre inconnu r : puissance : [-1, 1], exponentielle : [-0.002, 0.002] Une règle darrondissement : fixe (0, 0.1, 0.5, 1, 5, 10) ou proportionnel : Intervalle dans lequel se trouve le montant x i à arrondir Niveau darrondissement pour la règle dite de 5% (au multiple de…) Niveau darrondissement pour la règle dite de 10% (au multiple de…) [100, 500[510 [500, 1 000[2550 [1 000, 5 000[50100 [5 000, [ ………

15 15 3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo 2) Choisir les loteries de référence pour la méthode de larbitrage : [x 0 =100, 64; 0.5]~[x 1, 12; 0.5] [x 0 =1000, 640; 0.5]~[x 1, 120; 0.5] 3) Appliquer la méthode de larbitrage pour obtenir n+1 points (x i, u(x i )) 4) Résoudre le système de contraintes pour identifier les paramètres des splines cubiques reliant ces points.

16 16 3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo 5) Utiliser les formules dArrow et Pratt pour estimer laversion au risque absolue ou relative de lindividu fictif postulé à chacun des points intérieurs de la courbe dutilité.

17 17 3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo En plus des estimations non paramétriques, on souhaite également obtenir des estimations paramétriques afin de comparer les performances des deux approches. On procède encore par simulation en gardant le même environnement (mêmes fonctions dutilité, intervalles pour les coefficients, règles darrondissement, etc.), mais on remplace les étapes 4 et 5 par les suivantes: 4) Spécifier une fonction dutilité : Spécification correcte; Spécification incorrecte. 5) Estimer le coefficient daversion au risque constant à laide des moindres carrés non linéaires.

18 18 Pour un individu ayant une aversion au risque constante et une fonction dutilité connue, la moyenne des estimations aux points intérieurs est généralement plus proche de la vraie valeur daversion au risque que les estimations ponctuelles. Ex : 4. Résultats : Général Aversion au risque relative Données de la courbe dutilité Estimations de laversion au risque relative Point (i) Valeur rapportée lors de la méthode de larbitrage (x i ) Utilité normalisée entre 0 et 1 (u(x i )) Estimations ponctuelles de laversion au risque Moyenne des estimations ponctuelles (0.17)

19 19 Pour un individu ayant une aversion au risque constante et une fonction dutilité connue, la moyenne des estimations aux points intérieurs est généralement plus proche de la vraie valeur daversion au risque que les estimations ponctuelles. Ex : 4. Résultats : Général Aversion au risque relative Données de la courbe dutilité Estimations de laversion au risque relative Point (i) Valeur rapportée lors de la méthode de larbitrage (x i ) Utilité normalisée entre 0 et 1 (u(x i )) Estimations ponctuelles de laversion au risque Moyenne des estimations ponctuelles (0.17)

20 20 Le tableau ci-contre montre les écarts en pourcentage entre les estimations et les vraies valeurs daver- sion au risque pour certains cas. 4. Résultats : Arrondissement Loteries utiliséesArrondissement Fonction puissance Fonction expo. [x 0 = 100, 64; 0.5] ~ [x 1, 12; 0.5] Aucun (13.75) (0.14) Fixe ( au multiple de…) (13.91) (2.77) (14.43) (39.28) (20.64) (18.17) (44.70) (98.78) (90.69) (64.47) Proportion- nel 5% (44.83) (98.78) 10% (88.95) (64.47)

21 21 Le tableau ci-contre montre les écarts en pourcentage entre les estimations et les vraies valeurs daver- sion au risque pour certains cas. 4. Résultats : Arrondissement Loteries utiliséesArrondissement Fonction puissance Fonction expo. [x 0 = 100, 64; 0.5] ~ [x 1, 12; 0.5] Aucun (13.75) (0.14) Fixe ( au multiple de…) (13.91) (2.77) (14.43) (39.28) (20.64) (18.17) (44.70) (98.78) (90.69) (64.47) Proportion- nel 5% (44.83) (98.78) 10% (88.95) (64.47)

22 22 Un niveau darrondissement plus élevé implique généralement des erreurs destimation plus élevées. Ces erreurs peuvent être très importantes. Pour un niveau darrondissement fixe donné, augmenter les montants en jeu fait diminuer les erreurs engendrées. Si la fonction dutilité est de type puissance, multiplier les montants en jeu et le niveau darrondissement par la même constante naffecte pas les erreurs sur les estimations. Ces résultats sappliquent que lon utilise les estimations ponctuelles ou la moyenne des estimations (que lon connaisse la fonction dutilité ou non). 4. Résultats : Arrondissement

23 23 4. Résultats : Nombre de points Fonction utilisée Nombre de points sur la courbe (n+1) Niveau d'arrondissement FixeProportionnel 105%10% Puissance (169.49) (87.87) (169.54) (90.69) (44.83) (88.95) (57.13) (39.44) (62.79) (41.15) (276.0) (84.44) Si larrondissement suit une règle fixe:

24 24 4. Résultats : Nombre de points Fonction utilisée Nombre de points sur la courbe (n+1) Niveau d'arrondissement FixeProportionnel 105%10% Puissance (169.49) (87.87) (169.54) (90.69) (44.83) (88.95) (57.13) (39.44) (62.79) (41.15) (276.0) (84.44) Si larrondissement suit une règle fixe:

25 25 4. Résultats : Nombre de points Fonction utilisée Nombre de points sur la courbe (n+1) Niveau d'arrondissement FixeProportionnel 105%10% Puissance (169.49) (87.87) (169.54) (90.69) (44.83) (88.95) (57.13) (39.44) (62.79) (41.15) (276.0) (84.44) Si larrondissement suit une règle proportionnelle:

26 26 Fonction dutilité connue : Si larrondissement est fixe, plus il y a de points sur la courbe dutilité, moins les erreurs sont élevées. Si larrondissement est proportionnel aux montants en jeu, les erreurs sont les plus faibles sil y a entre cinq et huit points sur la courbe dutilité. Choisir sept point peut être un compromis minimisant les erreurs. Une étude plus approfondie des attitudes darrondissement des individus est nécessaire avant de pouvoir déterminer un nombre de points optimal exact. Fonction dutilité inconnue : Si la fonction dutilité est inconnue, il devient impossible de déterminer un nombre optimal de points. 4. Résultats : Nombre de points

27 27 Sans erreur de spécification : Ex : Lapproche paramétrique fournit des estimations plus proches des vraies valeurs daversion au risque dans tous les cas. 4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique Arrondissement AucunFixe (au multiple de…)Proportionnel %10% Splines (23.1) (23.1) (26.3) (27.5) (39.4) (57.1) (39.4) (62.8) Moindres carrés non linéaires 0.00 (0.01) 0.37 (0.68) 2.13 (5.48) 4.52 (14.1) (24.4) (60.4) (24.4) (59.8)

28 28 Avec erreur de spécification : 4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique Méthode utilisée Arrondissement Aucun Fixe (au multiple de…)Proportionnel %10% Splines - Fctn. réelle : Puissance (43.31) (44.07) (69.0) (75.6) (215.7) (377.2) (212.9) (388.5) Moindres carrés non linéaires - Fctn. réelle : Puissance - Fctn. spécifiée : Exponentielle (767.5) (767.1) (764.6) (768.4) (666.7) (1058) (665.0) (1070)

29 29 Lorsque la fonction dutilité spécifiée nest pas la bonne, nous engendrons des erreurs importantes. Dans ce contexte, les splines cubiques fournissent des estimations significativement plus précises que les moindres carrés non linéaires. Bien que les splines engendrent des erreurs moindres, ces dernières restent quand même élevées. Les études expérimentales tendent à montrer que laversion relative au risque est constante ou presque et que laversion absolue est décroissante. Ainsi, spécifier une fonction dutilité de forme puissance engendrerait possiblement des erreurs moindres que celles que nous obtenons. 4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique

30 30 Identification ex post de la tendance suivie par laversion au risque : 5. Extensions

31 31 Notre but était de répondre à quatre questions: Est-il possible destimer les préférences face au risque de manière entièrement non paramétrique? Oui, les splines cubiques permettent destimer laversion au risque des individus sans poser dhypothèses fortes concernant la fonction dutilité. 6. Conclusion

32 32 Quel est limpact de lintroduction dune erreur sur les estimations des préférences face au risque? Une erreur telle que larrondissement des réponses au cours de la méthode de larbitrage peut biaiser les estimations de manière importante. La magnitude du biais dépend du rapport entre le niveau darrondissement et les montants en jeu. 6. Conclusion

33 33 Y a-t-il un nombre de points optimal à obtenir sur les courbes dutilité lors de lapplication de la méthode de larbitrage? Si la fonction dutilité est connue et que laversion au risque est constante, une meilleure connaissance des attitudes darrondissement des individus est nécessaire avant de déterminer un nombre de points optimal. Utiliser sept points peut quand même être un bon compromis. Si la fonction dutilité est inconnue, il est impossible de déterminer un nombre optimal exact. 6. Conclusion

34 34 Lapproche non paramétrique permet-elle déviter les erreurs de spécification auxquelles peut être soumise une approche paramétrique? Oui, elle peut diminuer significativement les erreurs lors de lestimation de laversion au risque. Les estimations obtenues peuvent quand même être éloignées des véritables valeurs. 6. Conclusion

35 35 Lestimation non paramétrique de laversion au risque est donc quelque chose denvisageable. Des travaux supplémentaires doivent toutefois être menés afin de perfectionner la méthode. Les pistes à suivre incluent : Changer les contraintes didentification des paramètres; Tester la possibilité dutiliser des splines de degrés supérieurs; Identifier ex post la tendance suivie par laversion au risque; etc. 6. Conclusion

36 36 Merci!

37 37 Concrètement… Aversion au risque absolue Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = 4.472

38 38 Concrètement… Aversion au risque absolue Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = % Aversion absolue au risque constante

39 39 Concrètement… Aversion au risque absolue Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = % % % % Aversion absolue au risque constante Aversion absolue au risque décroissante

40 40 Concrètement… Aversion au risque relative Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = U(10) = U(15) = U(20) = % % % Aversion relative au risque croissante Aversion relative au risque constante


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