Points de référence en décision multicritère J.F.R.O. Antoine ROLLAND LIP6 15 décembre 2006.

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1 Points de référence en décision multicritère J.F.R.O. Antoine ROLLAND LIP6 15 décembre 2006

2 AR/ JFRO 15/12/06 2 Présentation Un contexte : la décision multicritère, lagrégation de préférences Une problématique: la présence dun point de référence dans les procédures dagrégation ordinale Deux résultat : règles de décision basées sur lutilisation de plusieurs points de référence

3 AR/ JFRO 15/12/06 3 Décision multicritère Agrégation de préférences Soit un espace X dalternatives Chaque alternative est décrite par n critères: Il existe n préordres sur les espaces des critères Objectif : lagrégation des préférences Obtention la relation de préférence globale (sur les alternatives) par agrégation des relations de préférence partielles (sur les critères).

4 AR/ JFRO 15/12/06 4 Approches Deux approches possibles en multicritère: « agréger puis comparer » « comparer puis agréger »

5 AR/ JFRO 15/12/06 5 Approches « agréger puis comparer » (e.g. Keeney Raifa 76) Avantage: simplicité opératoire (obtention dun ordre complet sur les alternatives) Inconvénient : nécessite beaucoup dinformation (utilités cardinales, taux de substitutions des critères…) « comparer puis agréger » (e.g. Roy 68 etc) Avantage: adapté si linformation sur les critères est imprécise, incomplète, ordinale Inconvénient: difficulté de lagrégation ordinale (Théorème dArrow), intransitivité…

6 AR/ JFRO 15/12/06 6 Limites Limites descriptives ( Dubois et al 03) : certaines préférence ne peuvent être décrites à laide de règles ordinale Limites prescriptives (théorème dArrow 51) La contrepartie en décision multicritère du théorème dArrow implique davoir un critère dictateur pour avoir des préférences transitives

7 AR/ JFRO 15/12/06 7 Règle de concordance : exemple 1234 a b c C(a,b)={1,2} C(b,a)={3,4} ab {1,2}{3,4} C(b,c)={1,4} C(c,b)={2,3} bc {1,4}{2,3} C(a,c)={1} C(c,a)={2,3,4} ca {2,3,4} {1} Règle de concordance généralisée : Avec Etune relation dimportance sur les coalitions de critères

8 AR/ JFRO 15/12/06 8 Règles de concordance : limites 1234 a b c d C(a,b)={1,2,4} C(b,a)={1,2,3} ab {1,2,4} {1,2,3} C(c,d)={1,2,4} C(d,c)={1,2,3} dc {1,2,3} {1,2,4} Les préférences variant avec la valeur sur un critère ne sont pas représentables par une règle de concordance Supposons que les préférences du décideur soient :

9 AR/ JFRO 15/12/06 9 Points de référence Il sagit de proposer des procédures où les alternatives sont comparées par lintermédiaire dun point tiers spécifique (point de référence) Lintroduction de points de référence a été établie en psychologie et sociologie (Tversky Kahneman 91), en théorie du choix social (Campbell Kelly 00), en tri multicritère (Roy Yu 92) Objectif : obtenir une procédure dagrégation non dictatoriale, unanime, universelle induisant des préférences transitives respectant lindépendance vis-à-vis des alternatives tierces

10 AR/ JFRO 15/12/06 10 En notant La relation de préférence suit le modèle basé sur lutilisation de points de référence si il existe une relation : Cela est vrai si laxiome dindépendance conditionnelle (ICP) suivant est vérifié : Règle de décision avec points de référence

11 AR/ JFRO 15/12/06 11 Il y a déplacement de la problématique : - Les alternatives sont décrites par les ensembles X 1,…,X m. - les deux approches CA et AC sont possibles à partir des ensembles X 1,…,X m Problématique

12 AR/ JFRO 15/12/06 12 Exemple 1234 a b c d p A p ={1,4} B p ={1,3} ab {1,4} {1,3} C p ={2,4} D p ={2,3} dc {2,3} {2,4} Ces préférences sont représentables avec un point de référence Règle de concordance avec points de référence : Avec Etune relation dimportance sur les coalitions de critères

13 Règle de concordance avec points de référence

14 AR/ JFRO 15/12/06 14 Points de référence: Approche CA x=(x 1,x 2,…,x n )y=(y 1,y 2,…,y n ) xyxyxyxy………… xyxy

15 AR/ JFRO 15/12/06 15 Axiomes (1) Axiome SEP : Séparabilité par rapport aux points de référence : Si la relation de préférence vérifie SEP, on peut déduire des relations de préférence par rapport aux points de référence

16 AR/ JFRO 15/12/06 16 Axiomes (2) Axiome ICRI : indépendance conditionnelle sur les relations induites Théorème : si la relation de préférence vérifie SEP et ICRI, alors il existe une relation de préférence sur les sous-ensemble de P telle que :

17 AR/ JFRO 15/12/06 17 Lexicographie

18 AR/ JFRO 15/12/06 18 Lexicographie : exemple 1234 a b c p2 p1

19 M-capacités avec points de référence

20 AR/ JFRO 15/12/06 20 Points de référence : approche AC x=(x 1,x 2,…,x n )y=(y 1,y 2,…,y n ) xyxy F(X 1,X 2,…,X n )F(Y 1,Y 2,…,Y n )…X i =C(x,p i )… … Y i =C(y,p i )…

21 AR/ JFRO 15/12/06 21 Définition : Soit : On dit que est une m-capacité si : 1) 2) M-capacité (1)

22 AR/ JFRO 15/12/06 22 Soient p 1,…,p m les points de référence tels que p k j < j p k+1 j pour tout critère j On pose X i ={j N| x j p i j } On pose X i *= X i - X i-1 pour i>1 et X 1 *= X 1 Théorème Si est un préordre vérifiant ICP et lunanimité faible, il existe une m-capacité telle que : M-capacité (2)

23 AR/ JFRO 15/12/06 23 M-capacité : exemple 1234 a b c p1 p2 p3 d Pour a : A 1 ={1,3,4} A 2 ={1,4} A 3 ={1} A 1 *={3} A 2 *={4} A 3 *={1} Pour b : B 1 ={1,3,4}, B 2 ={1,3} B 3 ={1} B 1 *={4} B 2 *={3} B 3 *={1} Pour c : C 1 ={1,3,4} C 2 ={3} C 3 = C 1 *={1,4} C 2 *={3} C 3 *= Pour d : D 1 ={1,3,4}, D 2 ={4} D 3 = D 1 *={1,4} D 2 *={4} D 3 *= ab v({1},{4},{2})>v({1},{3},{2}) cd v(,{3},{2})>v(,{4},{2})

24 AR/ JFRO 15/12/06 24 Conclusion Lintroduction de points de référence dans les modèles dagrégation ordinale permet de proposer de nouvelles règles de décision ordinales permettant dobtenir des relations de préférence transitives et non dictatoriales Offre une interprétation des k-capacités en terme de niveaux de référence.