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1 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables & X-hyper-arbres I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies,

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1 1 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables & X-hyper-arbres I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Treillis démantelables & X-hyper-arbres Alain Gély LITA, Université Paul Verlaine, Metz Journée des Treillis Lorrains Nancy 1 er Décembre 2008

2 2 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 PLAN I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

3 3 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés J(T) =1, 2, 3 M(T)=4, 5, 6 Irr(T)=Ø J(T) =1, 2, 4 M(T)=1, 3, 4 Irr(T)=1, 4 Soit un treillis T J(T) famille des éléments sup-irréductibles de T M(T) famille des éléments inf-irréductibles de T Irr(T) famille des éléments doublement-irréductibles de T

4 4 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés J(L) =1, 2, 4 M(L)=1, 3, 4 Irr(L)=1, J(L) =2, 3, 5 M(L)=0, 2, 3 Irr(L)=2, J(L) =5 M(L)=0 Irr(L)=Ø Ø Étape 1Étape 2Étape 3Étape 4

5 5 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés

6 6 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés coeur (core)

7 7 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés Caractérisation (Rival 74) Soit T un treillis, les propriétés ci-dessous sont équivalentes T est démantelable l(Sub(T)) = |T| Irr(S) Ø pour tout sous-treillis S de T pour toute chaine C de T il existe un entier positif n et une chaine C =S 0... S n = T de sous-treillis de T tq |S i |=|S i-1 |+1 pour tout i=1,2,...,n

8 8 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés planaire démantelable démantelable planaire

9 9 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés planaire démantelable démantelable planaire note : planarité du diagramme de Hasse note : planarité du diagramme de Hasse

10 10 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés démantelable atomique planaire

11 11 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés Peut-on considérer un treillis démantelable comme obtenu à partir de la famille des cliques maximales d'un graphe ? G

12 12 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés Peut-on considérer un treillis démantelable comme obtenu à partir de la famille des cliques maximales d'un graphe ? couronne (crown) G D. Kelly, I. Rival, Crowns, fences, and dismantlable lattices, Canad. J. Math. 26. (1974), 1257–1271 Un treillis est démantelable ssi il ne contient pas de couronne

13 13 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés parallèle graphe cordés / treillis démantelable élément simplicial / graphe trivial élément doublement irréductible / treillis trivial

14 14 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés G un graphe triangulé nécessaire non suffisant

15 15 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés G un graphe triangulé nécessaire non suffisant Intersection vide Ensembles s'intersectant deux à deux

16 16 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés G graphe triangulé Graphes cliques-helly ?

17 17 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables : Définitions & propriétés

18 18 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 PLAN I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

19 19 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables {x} F X F 6 F une famille d'ensembles sur X tq A B = Ø A B B A pour A, B F, soit Hiérarchie

20 20 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables A B C {A B, B C, A C} {x} F X F F une famille d'ensembles sur X tq Quasi-hiérarchie

21 21 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables (1)Quasi-hierarchie treillis démantelable A B C {A B, B C, A C} {x} F X F Quasi-hiérarchie F une famille d'ensembles sur X tq

22 22 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables A B C ABAB ABCABC ACAC BC (2) treillis démantelable Quasi-hiérarchie Preuve par la contraposé A B C ABAB AC BC (1)Quasi-hierarchie treillis démantelable

23 23 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables " Main cluster structures dealt with in data analysis range from well-known hierarchies to quasi- hierarchies [14]. Between hierarchies and quasi-hierarchies are pyramids [16]. Between hierarchies and pyramids are 2-3 hierarchies [5] (...) " Cluster structures and collections of Galois closed entity subsets, Mohammed Benayade, Jean Diatta Discrete Applied Mathematics 156 (2008) quasi-hierarchie hypergraphe d'intervalle hierarchie planaire non-planaire démantelable atomique ? (pyramides, pseudo-hiérarchies) 2-3 hiérarchie

24 24 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables " Main cluster structures dealt with in data analysis range from well-known hierarchies to quasi- hierarchies [14]. Between hierarchies and quasi-hierarchies are pyramids [16]. Between hierarchies and pyramids are 2-3 hierarchies [5] (...) " Cluster structures and collections of Galois closed entity subsets, Mohammed Benayade, Jean Diatta Discrete Applied Mathematics 156 (2008) quasi-hierarchie hypergraphe d'intervalle hierarchies démantelable atomique ? X-hyper-arbres ?

25 25 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 PLAN I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

26 26 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres démantelable atomique quasi-ultramétriques cordées / X-hyperarbres Question : Y-a-t-il un lien entre les X-hyperarbres et les treillis atomiques démantelables (t.a.d) ? ? Réponse : X-hyperarbres et t.a.d sont équivalents

27 27 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Caractérisation : Un hypergraphe H = (X,E) est un hyper-arbre ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées : Le graphe d'intersection de H est cordé La propriété de Helly doit être vérifiée pour H duchet 1978 ( la fermeture par intersection d'un hyper-arbre est un hyper-arbre ) X= {a,b,c,d,e} E = {ade, abe, bce, cde} ade bce abecde

28 28 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres X-hyper-arbre : Un X-hyper-arbre est un hyper-arbre H=(X,E) tel que toute restriction H'=(Y,E), Y X soit un hyperarbre exemple X= {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} ab ac b a c b X= {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} ab ba X= {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} ac a X= {a,b,c} E = {a, ab, ac, b}

29 29 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Exemple : hyper-arbre dont la restriction n'est pas un hyper-arbre X= {a,b,c,d,e} E = {ade, abe, bce, cde} ade bce abe cde Y= {a,b,c,d,e} E = {ade, abe, bce, cde} ad bc abcd

30 30 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Soit F un système de fermeture, mq si ( F, ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre F est un hyper-arbre, en effet : (1) Soient A,B,C F, A B C {A B, B C, A C} (quasi-hierarchie) propriété de Helly (2) Supposons le graphe d'intersection de F non cordé A1A1 A2A2 AiAi A1A1 A2A2 AiAi Contradiction Preuve (1/3)

31 31 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Soit F un système de fermeture, mq si ( F, ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre mq toute restriction de F est un hyper-arbre : La restriction d'un système de fermeture est un système de fermeture x Ax B x AB Toute restriction ( F', ) de ( F, ) démantelable est démantelable x A B AB cas 1 cas 2 Preuve (2/3)

32 32 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Soit F un système de fermeture, mq si ( F, ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre AB AB Toute restriction ( F', ) de ( F, ) démantelable est démantelable Supposons le contraire BCBCCDDADA CD présence d'une couronne pour ( F', ) sur X \ {x} présence d'une couronne pour ( F, ) sur X : contradiction Preuve (3/3)

33 33 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Réciproquement, Soit F un système de fermeture, mq si F est un X-hyper-arbre, alors ( F, ) est démantelable contraposé : si ( F, ) n'est pas démantelable alors F n'est pas un X-hyper-arbre, A1A1 A2A2 AiAi x1x1 x2x2 xnxn restriction de X à { x 1, x 2,..., x n } graphe d'intersection non cordé il existe une restriction qui n'est pas un hyper-arbre F n'est pas un X-hyper-arbre Preuve (1/1)

34 34 Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01 CONCLUSION Soit F un système de fermeture, F est un X-hyper-arbre ( F, ) est démantelable Conclusion Application à la classification (cf. exposé François Brucker) A suivre... Merci.


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