Groupe de travail UE4 - Maths Semaine du 18 au 25 Novembre 2013

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Fonction à une variable Cours de M. Latocha

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Les fonctions trigonométriques

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Les fonctions trigonométriques réciproques sin -1 (x) ≠ 1/sin(x) !!!! sin -1 (x) Restriction à [-π/2 ; π/2]

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Les fonctions trigonométriques sin(x)cos(x)tan(x) tan -1 (x)

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Les fonctions trigonométriques cos 2 (x)+sin 2 (x)= ? cos -1 (x)+sin -1 (x) = ? cos(a+b) = ? cos(a-b) = ? sin(a+b) = ? sin(a-b) = ?

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Les fonctions trigonométriques cos 2 (x)+sin 2 (x) = 1 cos -1 (x)+sin -1 (x) = π/2 cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit a un réel tel que cos(a) = 0,12. Indiquez pour chaque assertion si elle est vraie ou fausse. A) a est positif B) cos(-a) = -0,12 C) a = cos -1 (0,12) D) a = cos -1 (0,12) + 2π E) a = 0,12/cos

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit a un réel tel que cos(a) = 0,12. Indiquez pour chaque assertion si elle est vraie ou fausse. A) a est positif B) cos(-a) = -0,12 cos(-a) = 0,12 C) a = cos -1 (0,12) D) a = cos -1 (0,12) + 2π E) a = 0,12/cos y=cos(x) y = 0,12

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit x un réel quelconque de l’intervalle ]-1, 1[. Le nombre sin(arcsin(x)) : A) Peut être supérieur à 1 B) Vaut x C) Vaut 1 D) Vaut x+2kπ avec k un nombre relatif E) Vaut 0

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit x un réel quelconque de l’intervalle ]-1, 1[. Le nombre sin(arcsin(x)) : sin(arcsin(x)) = x Donc sin(arcsin(x)) est compris dans ]-1, 1[ A) Peut être supérieur à 1 B) Vaut x C) Vaut 1 D) Vaut x+2kπ avec k un nombre relatif E) Vaut 0.

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Les fonctions logarithme et exponentielle Logarithme ln(x) Définie sur ]0, +∞[ (donc x>0) ln(1) = 0 ln(e) = 1 ln(ab) = ln a + ln b ln(a/b) = ln a – ln b ln(a n ) = n ln(a) Exponentielle e x Définie sur R e x > 0 pour tout réel x e 0 = 1 e 1 = e e a+b = e a e b e a-b = e a /e b

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Formules de Taylor et McLaurin Permet de simplifier une fonction compliquée en un polynôme appelé développement limité : facilite l’étude. Comme on fait une simplification on fait une approximation : si on veut écrire une égalité, il ne faut pas oublier l’erreur que l’on commet, notée o(x n ), n étant l’ordre du développement limité (attention à l’oubli !). La simplification (=développement limité) n’est valable qu’au voisinage d’un point fixé.

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Formules de Taylor et McLaurin Exemple : cos (x) Son développement limité à l’ordre 3 en 0 est cos (x) = 1 + x 2 /2 + o(x 3 ) Erreur commise par l’approximation Lorsqu’on est plus au voisinage de 0, le développement limité n’est plus utilisable En voisinage de 0, l’approximation est très efficace

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Formules de Taylor et McLaurin Comment calculer le développement limité d’une fonction ? En 0 on utilise la formule de Taylor : En a, on utilise la formule de McLaurin : o(x n ) Le tableau des développements limités des fonctions usuelles en 0 présenté par le professeur est à apprendre !

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit une fonction f définie sur IR, dont le développement limité à l’ordre 3 en 0 est f(x) = 3 + 2x + 3x 3 + o(x 3 ) A) f(0) = 3 B) f(2) = 30 C) f’(0) = 2 D) f’’(0) = 0 E) f (3) (0) = 3

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 f(x) = 3 + 2x + 3x 3 + o(x 3 ) f(0) = 3 f’(0) = 2 Pas de x 2 donc f’’(0) = 0 f (3) (x)/3! = 3 f (3) (x)/6 = 3 f (3) (x) = 18 Le développement limité est en 0, donc on ne peut pas utiliser ce développement limité pour calculer des valeurs en 2. A, C et D sont vrais A) f(0) = 3 B) f(2) = 30 C) f’(0) = 2 D) f’’(0) = 0 E) f (3) (0) = 3 Remarque : on ne peut pas connaitre l’expression d’une fonction si on connait celle de son développement limité, mais uniquement les valeurs de la fonction et des dérivées au point concerné.

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit la fonction f définie pour tout réel x non nul, par f(x) = cos(x)/x. Le développement limité de f à l’ordre 3 en 0 est f(x) = 1/x – x/2 + x 3 /24 + o(x 3 ). Indiquez pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. A) f est une fonction paire B) f est périodique de période 2π C) f(π) = 0 D) f’’(0) = 0 E) f (3) (0) = 1/24

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit la fonction f définie pour tout réel x non nul, par f(x) = cos(x)/x. Le développement limité de f à l’ordre 3 en 0 est f(x) = 1/x – x/2 + x 3 /24 + o(x 3 ). Indiquez pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. A)f est une fonction paire f(-x) = cos(-x)/-x = - cos(-x)/x = - cos(x)/x = -f(x) : f est une fonction impaire B) f est périodique de période 2π f(x+2π) = cos(x+2π)/(x+2π) = cos(x)/(x+2π) C) f(π) = 0 cos(π)/π = 0/π = 0 D) f’’(0) = 0 Il n’y a pas de x 2 dans le développement limité donc il est pondéré par un facteur 0. E) f (3) (0) = 1/24 Attention, il ne faut pas lire directement le facteur car il y a bien un 1/3! dans la formule f (3) (x)/3! = 1/24  f (3) (x)/6 = 1/24  f (3) (x) = 6/24 = 1/4 => Ne pas perdre de temps à calculer la vraie valeur, mais juste voir le piège du 1/3! qui manque : 70 QCM en 1h30 c’est déjà assez rapide comme ça !

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Fonction à plusieurs variables Cours de M. Latocha

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Dérivées partielles Comme on a plusieurs variables, on a autant de dérivées partielles que de variables : Pour calculer une dérivée partielle, on choisit la variable que l’on dérive et on considère toutes les autres comme constantes. f(x, y) = 3x 2 y -√x + 4y ∂f/∂x = 6xy -1/2√x∂f/∂xy = 3x 2 +4 Dérivée partielle par rapport à x : On fixe y constante On dérive par rapport à x Dérivée partielle par rapport à y : On fixe x constante On dérive par rapport à y

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Dérivées partielles Une fois qu’on a les dérivées partielles (premières), on peut continuer à dériver, soit par rapport à la même variable, soit par rapport à une variable différente. f(x, y) = 3x 2 y -√x + 4y ∂f/∂x = 6xy -1/2√x∂f/∂xy = 3x 2 +4 ∂ 2 f/∂x 2 = 6y – 1/4√(x 3 )∂ 2 f/∂x∂y = 6x ∂ 2 f/∂y 2 = 0 On dérive deux fois par rapport à x On dérive par rapport à x puis par rapport à y ou inversement On dérive deux fois par rapport à y ∂ 2 f/∂x∂y = ∂ 2 f/∂y∂x

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Points critiques Un point critique d’une fonction à plusieurs variables est un point où toutes les dérivées partielles sont nulles. Pour une fonction à deux variables : (a, b) est un point critique de f si : ∂f/∂x (a, b) = 0 ET ∂f/∂y (a, b) = 0 Lorsqu’on a un point critique, il peut y avoir un maximum, minimum, ou point selle. Pour en savoir plus, on va calculer les dérivées secondes en ce point. On utilise les notations de Monge : ∂ 2 f/∂x 2 (a, b) = r ∂ 2 f/∂x∂y (a, b) = s ∂ 2 f/∂y 2 (a, b) = t

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 Points critiques ∂ 2 f/∂x 2 (a, b) = r ∂ 2 f/∂x∂y (a, b) = s ∂ 2 f/∂y 2 (a, b) = t On calcule ensuite la quantité tr-s 2 et on conclut selon le signe : Si tr-s 2 >0 : - si r<0 : maximum en (a, b) - si r>0 : minimum en (a, b) Si tr-s 2 <0 : point selle (= point-col) Si tr-s 2 = 0 : on ne peut pas conclure.

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit une fonction f définie par f(x, y) = exp(x 2 +y 2 ). Indiquez pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. A) Les points critiques de f sont (0, 0) et (0, 1) B) Cette fonction n’a qu’un point critique, à savoir (0, 0) C) Cette fonction admet un extremum D) Le calcul des dérivées secondes ne permet pas de conclure quant à la présence d’un extrémum E) Le maximum de cette fonction est 1

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 f(x, y) = exp(x 2 +y 2 ) ∂f/∂x = 2x*exp(x 2 +y 2 ) ∂f/∂y = 2y*exp(x 2 +y 2 ) exp(α) est positif pour tout réel α  Les dérivées partielles ne s’annulent toutes les deux qu’en (0, 0). On va maintenant calculer les dérivées secondes en ce point : ∂ 2 f/∂x 2 = 2exp(x 2 +y 2 ) + 2x*2x*exp(x 2 +y 2 )  ∂ 2 f/∂x 2 (0,0) = 2exp(0) + 0 = 2*1 = 2 ∂ 2 f/∂x∂y = 2x*2y*exp(x 2 +y 2 ) + 0*exp(x 2 +y 2 )  ∂ 2 f/∂x∂y (0,0) = = 0 ∂ 2 f/∂y 2 = 2exp(x 2 +y 2 ) + 2y*2y*exp(x 2 +y 2 )  ∂ 2 f/∂x 2 (0,0) = 2exp(0) + 0 = 2*1 = 2 r = 2 s = 0 t = 2

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 f(x, y) = exp(x 2 +y 2 ) On calcule donc la quantité tr-s 2 : tr-s 2 = 2*2 – 0 2 = 4 On a donc tr-s 2 > 0 donc on a un extremum. Pour préciser, on s’intéresse à r : r = 2 donc r > 0 Donc on est en présence d’un minimum Conclusion : la fonction f(x, y) présente un unique point-critique en (0, 0), il s’agit d’un minimum

© Tutorat Santé Lorraine 2013/2014 QCM : Soit une fonction f définie par f(x, y) = exp(x 2 +y 2 ). Indiquez pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. A) Les points critiques de f sont (0, 0) et (0, 1) B) Cette fonction n’a qu’un point critique, à savoir (0, 0) C) Cette fonction admet un extremum D) Le calcul des dérivées secondes ne permet pas de conclure quant à la présence d’un extrémum E) Le maximum de cette fonction est 1 => La fonction n’admet pas de maximum (elle croit à l’infini)

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