Propriétés essentielles de la fonction exponentielle Les propriétés de la fonction exponentielle ont un air de famille avec celle de la fonction puissance, quoiqu’il s’agisse de fonctions très différentes. La base peut prendre n’importe quelle valeur strictement positive ; nous ne considérons pas le cas trivial où a vaut 1. L’ensemble de définition est celui des réels, l’ensemble de variation est celui des réels strictement positifs. L’exponentielle étant strictement monotone, l’égalité des valeurs de la fonction implique celle des arguments.
Propriétés essentielles de la fonction logarithme La fonction logarithme de base a peut être définie comme l’inverse de l’exponentielle de base a : entraînant la permutation des ensembles de définition et de variation. On vérifie :
Les fonctions exponentielle et logarithme de base quelconque peuvent toutes se ramener à l’exponentielle de base e et au logarithme népérien par les formules de changement de base. Cette seconde relation a pour forme usuelle :
A partir des formules de changement de base, on peut exprimer la dérivée d’une exponentielle ou d’un logarithme de base quelconque :
Les figures illustrant ces fonctions correspondent toutes au cas d’une base strictement supérieure à l’unité. On note : que le tracé des exponentielles de base a et 1/a sont symétriques par rapport à l’axe vertical ; que le tracé des logarithmes de base a et 1/a sont symétriques par rapport à l’axe horizontal.