La factorisation

La factorisation : 1- La mise en évidence simple 2- La mise en évidence double 3- La différence de 2 carrés 4- Le trinôme carré parfait 5- Le produit-somme 6- La complétion du carré

1- La mise en évidence simple On doit mettre en évidence le terme qui est commun à l’ensemble. Ex 1 : 5a2b3c + 10a2b4c2 + 20a4b2c 5a2b2c (b + 2b2c + 4a2 ) On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité. 5a2b2c (b + 2b2c + 4a2 ) 5a2b3c + 10a2b4c2 + 20a4b2c

Ex 2 : 5x2y3 – 10x2y4 + 30x4y2 5x2y2 (y – 2y2 + 6x2 ) Preuve 5x2y2 (y – 2y2 + 6x2 ) 5x2y3 – 10x2y4 + 30x4y2

2- La mise en évidence double On doit mettre en évidence le terme qui est commun par groupe de 2 dans le but de faire un produit de facteurs. Ex 1 : abx – aby + 2x – 2y ab(x – y) +2(x – y) (x – y) (ab + 2) On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité. (x – y) (ab + 2) abx + 2x – aby – 2y

Ex 2 : x2 + 3x + xy + 3y x(x + 3) + y(x + 3) (x + 3) (x + y) Preuve (x + 3) (x + y) x2 + xy + 3x + 3y

3- La différence de 2 carrés Pour faire la factorisation de la différence de 2 carrés, on doit factoriser de la façon suivante. Ex 1 : On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité.

Ex 1 : suite (la preuve)

Ex 2 : On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité.

Ex 2 : suite (la preuve)

4- Le trinôme carré parfait de la forme ax2 + bx + c Pour faire la factorisation d’un trinôme carré parfait de la forme ax2 + bx +c , il faut vérifier si le 1er terme et le dernier sont des carrés et la condition suivante : b = Ex 1 : 4x2 – 20x + 25 On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité.

Ex 1 : suite (la preuve)

Ex 2 : 9x2 + 24x + 16 On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité.

5- La factorisation Principe Produit-Somme

Le trinôme de la forme ax2 + bx + c Pour faire la factorisation d’un trinôme de la forme ax2 + bx +c , il faut trouver 2 nombres tel que le produit des 2 nombres égal a*c et que la somme des 2 nombres égale b. Par la suite, on change b par les 2 nombres trouvés et on fait la double mise en évidence. Ex 1 : 4x2 – 20x + 25 Produit = a*c = 4 * 25 = 100 Somme = b = – 20 Les 2 nombres – 10 et –10 4x2 – 10x – 10x + 25 2x (2x – 5) – 5 (2x – 5) (2x – 5) (2x – 5) On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité.

Ex 1 : suite (la preuve)

Ex 2 : 3x2 – 17x + 14 Produit = a*c = 3 * 14 = 42 Somme = b = – 17 Les 2 nombres – 3 et – 14 3x2 – 3x – 14x + 14 3x (x – 1) – 14 (x – 1) (3x – 14) (x – 1) On peut faire la preuve comme vérification. On effectue la distributivité. (3x – 14) (x – 1) 3x2 – 3x – 14x + 14 3x2 – 17x + 14

6- La factorisation Principe de la complétion du carré

Principe Complétion du carré Forme ax2 + bx + c 1- On doit mettre a en évidence. 2- On ajoute un terme constant et on retranche le même terme constant dans le but de faire un trinôme carré parfait. 3- On factorise le trinôme carré parfait 4- On transforme pour avoir une différence de 2 carrés. 5- On factorise la différence de 2 carrés. 6- On peut faire la preuve.

Complétion du carré forme ax2 + bx + c Ex 1 Le terme qu’on ajoute –b/2a au carré donc et 52=25 On factorise x2 – 10x + 25 On fait la différence de 2 carrés. On obtient la mise en facteurs.

Ex 1 Suite Preuve

Le terme qu’on ajoute –b/2a au carré donc et 42=16 Ex 2 Le terme qu’on ajoute –b/2a au carré donc et 42=16 On factorise x2 – 8x + 16 On fait la différence de 2 carrés. On obtient la mise en facteurs.

Ex 2 Suite Preuve

Effectue les mises en évidence suivantes et regarde les réponses par la suite. 1) 2x2(y + 2x + 3x2y) 2x2y + 4x3 + 6x4z 2) ab (c +1) abc +ab 3) x2y (x – y – xy) x3y – x2y2 – x3y3 2a2h2 – 6a3h + 9ah3 4) ah (2ah – 6a2 + 9h2) 7x3y6 – 14x4y2 5) 7x3y2 (y4 – 2x) abcx + abcd - aby 6) ab (cx + cd – y) 7) xyz + xy – xz + yz 7) xyz + xy – xz + yz 8) a3b3c4 – a2b2c2 + a4b4 8) a2b2 (abc4 – c2 + a2b2)

Effectue les doubles mises en évidence suivantes et regarde les réponses par la suite. 1) (ab + 2) (x – y) abx –aby + 2x – 2y 2) (x – 2) (x + y) x2 + xy – 2x – 2y 3) (a + b) (a – c) a2 – ac + ab – bc 2mn + 4n2 + pm + 2pn 4) (2n + p) (m + 2n) 15a2 + 4by2 – 20ab – 3ay2 5) (5a – y2) (3a – 4b) 3x2 –3xz – xy + yz 6) (3x – y) (x – z) 7) ab + ax + bx + x2 7) (a + x) (b + x) 8) a4 + a3 + a2 + a 8) a (a2 + 1) (a + 1)

Effectue les factorisations suivantes par la différence de 2 carrés et regarde les réponses par la suite. Réponses 1) (x – 5) (x + 5) x2 – 25 2) (x – y) (x + y) x2 – y2 3) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) x4 – 1 x4 – y4 4) (x – y) (x + y) (x2 + y2) 121 – x2 5) (11 – x) (11 + x) x2 – 49y2 6) (x – 7y) (x + 7y) 7) (x – y)2 – z2 7) (x – y – z) (x – y + z) 8) 25x2 – 64y2 8) (5x – 8y) (5x + 8y)

Effectue les factorisations suivantes par la méthode du trinôme carré parfait et regarde les réponses par la suite. Réponses 1) (x + 6) (x + 6) x2 + 12x + 36 2) (2x + 6) (2x + 6) 4x2 + 24x + 36 3) (2x – 3) (2x – 3) 4x2 – 12x + 9 9x2 + 6x + 1 4) (3x + 1) (3x + 1) a2b2 – 2abcd + c2d2 5) (ab – cd) (ab – cd) 16x2 – 48x + 36 6) (4x – 6) (4x – 6) 7) 36x2 – 12x +1 7) (6x –1) (6x – 1) 8) 9x2y2 – 24xy + 16 8) (3xy – 4) (3xy – 4)

Effectue les factorisations suivantes et regarde les réponses par la suite. Principe Produit-Somme 1) (5x + 3) (x – 2) 5x2 – 7x – 6 2) (2x + 3) (x + 7) 2x2 + 17x + 21 3) (2x – 1) (x – 3) 2x2 – 7x + 3 7x2 – 22x + 3 4) (7x – 1) (x – 3) 2x2 – 5x – 12 5) (2x + 3) (x – 4) 5x2 + x – 6 6) ( 5x + 6) (x – 1) 7) 2x2 + 15x – 8 7) (2x – 1) (x + 8) 8) 12x2 – 13x + 3 8) (4x – 3) (3x – 1)

Effectue les factorisations suivantes et regarde les réponses par la suite. Principe de la complétion du carré. Réponses 1) 5(x + 3/5) (x – 2) 5x2 – 7x – 6 2) 2(x + 3/2) (x + 7) 2x2 + 17x + 21 3) 2(x – 1/2) (x – 3) 2x2 – 7x + 3 7x2 – 22x + 3 4) 7(x – 1/7) (x – 3) 2x2 – 5x – 12 5) 2(x + 3/2) (x – 4) 5x2 + x – 6 6) 5(x + 6/5) (x – 1) 7) 2x2 + 15x – 8 7) 2(x – 1/2) (x + 8) 8) 12x2 – 13x + 3 8) 4(x – 3/4) (3x – 1)

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