1Ma Ch10 - jmd Le problème Soit ABCD un rectangle : Déterminer MP A B D C M P

1Ma Ch10 - jmd Analyse de la situation ● La figure est composée de triangles... ● Ils sont rectangles, donc Pythagore pourrait aider... ● La longueur cherchée n'est pas le côté d'un triangle ● Mais on pourrait l'obtenir par soustraction: ● MP = BP – BM ● Il faudrait donc pouvoir déterminer BP et BM ● Ce sont des côtés des triangles  BMC et  ABP, qui sont rectangles ● Mais comme on ne connait pas les deux autres longueurs de ces triangles,Pythagore ne suffira pas ! A B D C M P ● On pourrait essayer de trouver des triangles semblables puis utiliser Thales ● Les triangles  BMC et  ABP ont bien l'air semblables... mais là encore, on n'a pas assez de côtés connus ! ● Il faut donc trouver un autre triangle semblable pour lequel on a plus d'informations connues ● Le triangle  BCD pourrait faire l'affaire, puisqu'on peut trouver BD par Pythagore...

1Ma Ch10 - jmd Plan de travail ● Calculer BD par Pythagore ● Montrer que les triangles  BMC,  BCD et  ABP sont semblables ● Utiliser Thales pour trouver BM et BP ● En déduire PM A B D C M P

1Ma Ch10 - jmd ● Les angles ● Les triangles ● Les résultats sur les angles ● Le théorème sur la somme des angles dans un triangle ● Le théorème de Pythagore et sa réciproque ● Le théorème de Thales et sa réciproque Outils à disposition pour démontrer (à ce stade...)

1Ma Ch10 - jmd Des objets fondamentaux ● Plan, points, droites Tentative d'organisation des données essentielles Un axiome ● Des angles correspondants sont égaux Des définitions ● Angles supplémentaires, complémentaires, opposés, correspondants, alternes-internes ● Triangle rectangle, isocèle, équilatéral ● Triangles semblables ● Côtés correspondants Des théorèmes démontrés (ou acceptés) ● Des angles opposés et alternes/internes sont égaux ● La somme des angles dans un triangle est égale à 180° ● Pythagore ● Réciproque de Pythagore ● Thalès ● Réciproque de Thalès Outils à disposition pour démontrer (à ce stade...)

1Ma Ch10 - jmd Outils à disposition pour démontrer (à ce stade...) Quelques raccourcis pour gagner en efficacité Un axiome ● Des angles correspondants sont égaux : Ax Corr Des notations ● Angle : <ABC ou  ● Triangle :  ABC ● Triangles semblables :  ABC ~  ABC Des théorèmes démontrés (ou acceptés) ● Des angles opposés sont égaux : Thm Opp ● Des angles alternes-internes sont égaux : Thm Alt/Int ● La somme des angles dans un triangle est égale à 180° : Thm 180 ● Pythagore : Thm Pyth ● Réciproque de Pythagore : Thm R-Pyth ● Thalès : Thm Tha ● Réciproque de Thalès : Thm R-Tha

1Ma Ch10 - jmd Allons-y ! A B D C M P Etape 1  DCB est rectangle Thm Pyth Résol. Eq. Deg 2 BD est une longueur

1Ma Ch10 - jmd Allons-y ! A B D C M P Etape 2  ' = 90 –  '  –   DCM Thm 180    et  ' sont alt-int Thm Alt-Int   '  CBA=90  ' = 90 -  '  DCB ~  CB  '' =   ''  ''  '' Thm 180 dans  BMC et  DCM

1Ma Ch10 - jmd Allons-y ! Etape 2 suite De même, on a :  APB ~  BDC Etape 3  BMC ~  DCB Thm Tha  APB ~  DCB Thm Tha A B D C M P      

1Ma Ch10 - jmd Enfin ! A B D C M P      