Expérimentation et démarche d’investigation en mathématiques Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat

Expérimentation en mathématiques Observation Expérience Expérimentation Investigation Hypothèse d’observation : axiome que l’on va croire longtemps jusqu’à ce qu’il tombe. Expérience : pour confirmer puis on fait une démonstration ou choc qui montre un autre résultat. Expérimentation : avec ordinateur, joue un rôle fondamental dans la découverte des mathématiques (Yves Meyer)

Expérimentation en mathématiques Observation Le ciel est bleu. Vu de la lune, le ciel est noir. Des observations, pas une connaissance

Expérimentation en mathématiques Expérience Une expérience, c’est poser une question à la nature. Une science expérimentale ne commence pas avec l’observation, mais avec l’interrogation sur l’observation. Jacques Treiner

Expérimentation en mathématiques Une expérimentation numérique interroge le modèle. Comment faire vivre rapport entre expérimentation et preuve ?

Expérimentation en mathématiques Démarche d’investigation Le questionnement est premier, pas la théorie.

Expérimentation en mathématiques En sciences physiques observation modèle expérience

Expérimentation en mathématiques conjecture démonstration On peut parler des régions du plan délimitées par n points placés sur un cercle (Gilles Aldon) L’observation ne sert à rien. L’expérience : on interroge le processus, aller et retour.

Expérimentation en mathématiques L’expérimentation prend place à presque tous les niveaux de l’activité mathématique. Elle englobe toutes les procédures visant à traiter des cas particuliers d’une question trop difficile pour être abordée directement.

Expérimentation en mathématiques L’expérimentation permet notamment : de trouver d’éventuels contre-exemples ; de comprendre comment la question se résout dans des cas particuliers et en quoi les arguments se généralisent ou non ; de faire des conjectures sur des situations voisines. BO n°7 du 31 août 2000 Programmes de série scientifique

Expérimentation en mathématiques Mathématiques et informatique en première et terminale S : liens entre mathématiques et informatique; apports des outils logiciels; modalités de mise en œuvre. BO n°7 du 31 août 2000 Programmes de série scientifique

Expérimentation en mathématiques

Expérimentation en mathématiques

Expérimentation en mathématiques

Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat, série S Les raisons de cette épreuve Exemples d’épreuves pratiques issus de l’expérimentation 2007 Mise en situation

Les raisons de cette épreuve Valoriser les 8 moments de l’activité mathématique : poser un problème, modéliser expérimenter, prendre des exemples conjecturer se documenter bâtir une démonstration mettre en œuvre des outils adéquats évaluer la pertinence des résultats communiquer

Les raisons de cette épreuve Certaines compétences mathématiques sont actuellement peu valorisées (conjecture, prise d’initiatives, utilisation des TICE).

Intérêts, réticences L’utilisation des TICE permet d’explorer d’autres problèmes: simulation en probabilités gestion de données de taille importante en statistiques étude de problèmes dont la résolution exacte est impossible pour un élève de terminale (équations différentielles en sciences physiques)

Intérêts, réticences Les TICE permettent une meilleure interaction entre les différents registres de représentation (par exemple en ce qui concerne les fonctions). Ces différents registres sont indispensables pour dégager l’objet mathématique étudié.

Intérêts, réticences L’utilisation d’un logiciel de calcul formel permet de se libérer de la part purement calculatoire pour mieux réfléchir au sens des notions travaillées. L’utilisation des TICE peut faciliter la compréhension de certaines notions (exemple : la recopie vers le bas du tableur est intimement liée à la notion de suite récurrente).

Intérêts, réticences Les allers-retours et interactions entre expérimentation et preuve peuvent redonner de la saveur aux maths et donner aux élèves le goût de la recherche en leur permettant de ne pas se cantonner à une simple application de techniques données par l’enseignant.

Intérêts, réticences Quand on utilise un logiciel, on ne fait pas de maths. Et pourtant, si on étudie la méthodologie du travail pratique: question posée, et éventuels calculs préliminaires mise en place expérimentale (construction, calcul sur tableur) recherche de conjecture, en faisant varier un ou des paramètres mise à l’épreuve de la conjecture retour à la théorie pour valider la conjecture

Intérêts, réticences La conjecture est une devinette, avant de passer réellement aux mathématiques. Il s’agit de se poser DES questions, de faire varier les paramètres (terme initial d’une suite par exemple), prendre des initiatives, et on fait réellement des mathématiques.

Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007 Chaque sujet est composé : d’un descriptif, d’une fiche élève, d’une fiche professeur, d’une fiche d’évaluation.

Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007 Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Sujet 29: PGCD Sujet 11: simulation d’une expérience, lois de probabilités

Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007 Sujet 47 : partage d’un triangle Sujet 4 : nombre de solutions d’une équation Sujet 30 : famille de cercles

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Descriptif : Situation On considère une suite récurrente (un) définie par la donnée de son premier terme un et d’une relation de la forme : pour tout entier naturel n, un + 1 = un + a x n + b, a et b étant deux nombres réels donnés. On cherche à déterminer, pour tout entier naturel non nul n, l’expression explicite de un en fonction de n. L’étude est proposée pour deux valeurs du couple (a , b).

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Compétences évaluées Compétences TICE : élaborer un processus itératif; représenter graphiquement les termes d’une suite. Compétences mathématiques : déterminer une fonction polynôme à partir d’informations obtenues sur sa courbe représentative; mettre en place une démonstration par récurrence .

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Production demandée Le nuage de points attendu dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage. La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Fiche professeur: Elle donne des indications sur les intentions de l’auteur, sur l’analyse du sujet, sur la manière dont doivent être gérés les « appels à l’examinateur », sur l’évaluation.

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Fiche d’évaluation: Les « fiches évaluation » nécessitent un travail de préparation. Dans chaque établissement l’ensemble des examinateurs utilisera cette fiche et la fiche professeur pour élaborer une grille de notation adaptée aux conditions de passation.

Références bibliographiques Rapport de la Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques : « l’informatique et l’enseignement des mathématiques » http://www.smf.emath.fr/Enseignement/commission_Kahane Le rapport sur l’expérimentation, et les sujets posés sont disponibles sur le site de l’Inspection Générale : http://www.igmaths.net/ Le site educnet qui renvoie à tous les sites académiques http://www2.educnet.education.fr/maths http://www.educnet.education.fr/bd/urtic/maths/

Références bibliographiques Eduscol http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_presentation.htm http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_MATHS2007.htm

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Les élèves ont fait le choix du logiciel Excel (plutôt qu’une calculatrice). Tous trouvent que la courbe est une parabole. Les difficultés rencontrées relèvent : d’erreurs dans la constitution du tableau; de lacunes portant sur la parabole et le trinôme du second degré. Certains savent très bien utiliser la fonction courbe de tendance sur Excel (utilisée en Physique) et trouvent rapidement l’écriture : Un = n² – 12n. La plupart des élèves ont l’idée de faire une démonstration par récurrence mais éprouvent des difficultés à la mettre en œuvre.

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente Bilan du sujet n°1: