IDENTITÉS REMARQUABLES CALCUL LITTÉRAL IDENTITÉS REMARQUABLES cours mathalecran d'après www.mathsenligne.com

1. Réduire les expressions suivantes : A = 3x – 8 + 4x + 5 A = 3x – 8 + 4x + 5 B = 3x² + 5x – 6 – 2x² – 4x – 3 B = 3x² + 5x – 6 – 2x² – 4x – 3 A = 7x B = 1x² – 3 + 1x – 9 C = 5x² – 7 – 9x² + x – 3x + 9 C = 5x² – 7 – 9x² + x – 3x + 9 D = 4x² - (5x + x² - 6x) + 7x D = 4x² - (5x + x² - 6x) + 7x C = – 4x² D = 4x² - 5x - x² + 6x + 7x D = 4x² - 5x - x² + 6x + 7x – 2x + 2 D = 3x² + 8x E = 3x – (4 + 2x) + (x² + 7) E = 3x – (4 + 2x) + (x² + 7) F = 3x² – (4x – 1) – (x² + 5x) E = 3x – 4 – 2x + x² + 7 E = 3x – 4 – 2x + x² + 7 F = 3x² – 4x + 1 – x² – 5x F = 3x² – 4x + 1 – x² – 5x E = x² + x + 3 F = 2x² – 9x + 1

F(x) = (2x – 3)(6 – x²) Pour x = 2 Activité 1.1 2. Substituer à x sa valeur pour calculer chaque expression littérale : A(x) = 7x – 3 Pour x = 5 B(x) = x² + x – 9 Pour x = -2 𝐴 5 =7×5–3 𝐵 −2 = −2 ²–2−9 𝐴 5 =35–3 𝐵 −2 =4–2−9 𝐴 5 =32 𝐵 −2 =–7 C(x) = -4x² – 2x + 2 Pour x = -3 D(x) = 2x – 7 + 3x + 1 Pour x = 4 𝐶 −3 =−4 −3 ²–2× −3 +2 𝐷 4 =2×4–7+3×4+1 𝐶 −3 =−36+6+2 𝐷 4 =8–7+12+1 𝐶 −3 =−28 𝐷 4 =14 E(x) = (x – 3)² Pour x = -4 F(x) = (2x – 3)(6 – x²) Pour x = 2 𝐸 −4 = −4–3 2 𝐹 2 = 2×2–3 6–2 2 𝐸 −4 = −7 2 𝐹 2 = 4–3 6–4 𝐸 −4 =49 𝐹 2 =1×2 𝐹 2 =2

1. En utilisant l’identité « k(a + b) = ka + kb », Activité 1.2 1. En utilisant l’identité « k(a + b) = ka + kb », développer les expressions suivantes : A = 7(x + 4) B = 4(3 – 2x) C = -3(x + 7) 𝐴=7×𝑥+7×4 𝐵=4×3–4×2𝑥 𝐶=−3×𝑥+ −3 ×7 𝐴=7x+28 𝐵=12–8x 𝐶=−3𝑥−21 D = -5(3x – 2) E = -2x(5 + 4x) F = 3x²(1 – 2x) 𝐷=−15𝑥+10 𝐸=−10𝑥−8 𝑥 2 𝐹= 3𝑥²–6𝑥 3 2. En utilisant l’identité « (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd », développer et réduire les expressions suivantes : A = (x + 2)(x + 3) B = (x – 7)(3x – 2) C = (1 + 2x)(3 – x) A = x² + 3x + 2x + 6 B = 3x² – 2x – 21x + 14 C = 3 – x + 6x – 2x² A = x² + 5x + 6 B = 3x² – 23x  + 14 C = 3 + 5x – 2x² D = (-7x + 6)(5 – x²) E = (3x + 4)(-x + 1) F = (3x² – 4)(2x + 5) D = -35x +7x3 + 30 – 6x² E = -3x² + 3x – 4x + 4 F = 6x3 + 15x² – 8x – 20 E = -3x² – x + 4

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd cours I. Développement. Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence). a. Développement simple : k(a + b) = ka + kb k(a – b) = ka – kb Exemple : A = 6(x – 4) A = 6x – 24 b. Double développement : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemple : B = (x + 2)(x – 3) B = x² – 3x + 2x – 6 B = x² – x – 6

(a + b)² = a² + 2ab + b² Activité 1.2 3. Écrire le carré sous forme d’un produit puis développer et réduire les expressions suivantes : A = (x + 2)² A = (x + 2)² B = (1 + x)² B = (1 + x)² C = (2x + 1)² C = (2x + 1)² A = (x + 2)(x + 2) B = (1 + x)(1 + x) C = (2x + 1)(2x + 1) A = x² + 2x + 2x + 4 B = 1 + x + x + x² C = 4x² + 2x + 2x + 1 A = x² + 4x + 4 A = x² + 4x + 4 B = 1 + 2x + x² B = 1 + 2x + x² C = 4x² + 4x + 1 C = 4x² + 4x + 1 2 x 2 × 2 x 1 × 2 2x 1 × D = (3 + 2x)² D = (3 + 2x)² E = (3x + 2)² E = (3x + 2)² F = (a + b)² F = (a + b)² D = (3 + 2x)(3 + 2x) E = (3x + 2)(3x + 2) F = (a + b)(a + b) D = 9 + 6x + 6x + 4x² E = 9x² + 6x + 6x + 4 F = a² + ab + ba + b² D = 9 + 12x + 4x² D = 9 + 12x + 4x² E = 9x² + 12x + 4 E = 9x² + 12x + 4 F = a² + 2ab + b² F = a² + 2ab + b² 2 a b × 2 3 2x × 2 3x 2 × (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b² Activité 1.2 4. Écrire le carré sous forme d’un produit puis développer et réduire les expressions suivantes : A = (x - 2)² A = (x - 2)² B = (x - 7)² B = (x - 7)² C = (2x -5)² C = (2x -5)² A = (x - 2)(x - 2) B = (x - 7)(x - 7) C = (2x - 5)(2x - 5) A = x² - 2x - 2x + 4 B = x² - 7x - 7x + 49 C = 4x² - 10x - 10x + 25 A = x² - 4x + 4 A = x² - 4x + 4 B = x² - 14x + 49 B = x² - 14x + 49 C = 4x² - 20x + 25 C = 4x² - 20x + 25 2 x 2 × 2 x 7 × 2 2x 5 × D = (4x - 3)² D = (4x - 3)² E = (3x - 2)² E = (3x - 2)² F = (a - b)² F = (a - b)² D = (4x - 3)(4x - 3) E = (3x - 2)(3x - 2) F = (a - b)(a - b) D = 16x² - 12x - 12x + 9 E = 9x² - 6x - 6x + 4 F = a² - ab - ba + b² D = 16x² - 24x + 9 D = 16x² - 24x + 9 E = 9x² - 12x + 4 E = 9x² - 12x + 4 F = a² - 2ab + b² F = a² - 2ab + b² 2 4x 3 × 2 a b × 2 3x 2 × (a - b)² = a² - 2ab + b²

(a - b)(a + b) = a² - b² Activité 1.2 5. En utilisant l’identité « (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd », développer et réduire les expressions suivantes : A = (x + 2)(x – 3) B = (x - 7)(x + 7) B = (x - 7)(x + 7) C = (2x - 5)(2x + 5) C = (2x - 5)(2x + 5) A = x² - 3x + 2x - 6 B = x² + 7x – 7x - 49 C = 4x² + 10x - 10x - 25 A = x² - x - 6 B = x² - 49 B = x² - 49 C = 4x² - 25 C = 4x² - 25 D = (3 - 4x)(3 + 4x) D = (3 - 4x)(3 + 4x) E = (x² - 3x)(x² + 3x) E = (x² - 3x)(x² + 3x) F = (a + b)(a - b) F = (a + b)(a - b) D = 9 + 12x - 12x - 16x² E = x4 + 3x3 - 3x3 - 9x² F = a² - ab + ba - b² D = 9 - 16x² D = 9 - 16x² E = x4 - 9x² E = x4 - 9x² F = a² - b² F = a² - b² (a - b)(a + b) = a² - b²

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)² = a² + 2ab + b² cours c. Identités remarquables. 1ère identité remarquable : Exemple : ( a + b )² (a + b)² = a² + 2ab + b² A = ( x + 3 )² a² + 2 a b + b² × × A = x² + 2 x 3 + 3² × × A = x² + 6x + 9 2ième identité remarquable : Exemple : ( a - b )² B = (2x - 5 )² (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² a² - 2 a b + b² × × B = (2x)² - 2 2x 5 + 5² × × B = 4x² - 20x + 25

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² cours c. Identités remarquables. 2ième identité remarquable : Exemple : ( a - b )² B = (2x - 5 )² (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² a² - 2 a b + b² × × B = (2x)² - 2 2x 5 + 5² × × B = 4x² - 20x + 25 3ième identité remarquable : Exemple : ( a - b )( a + b ) C = (3x - 9 ) (3x + 9 ) (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)(a + b) = a² - b² a² - b² C = (3x)² - 9² C = 9x² - 81

Factoriser une somme (ou une différence), c’est II.Factorisation cours Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit. 1) Avec la distributivité Ecrivons les formules « à l'envers »: ka + kb = k(a + b) ka – kb = k(a – b) ka + kb = k(a + b) ka – kb = k(a – b) Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun k. Sauter 2 lignes Exemples A = 2x + 2y A = 2x + 2y B = ab + 2a B = ab + 2a Exercice 2A.1

Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun k. 1) Avec la distributivité cours ka + kb = k(a + b) ka – kb = k(a – b) ka + kb = k(a + b) ka – kb = k(a – b) ka + kb = k(a + b) ka – kb = k(a – b) Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun k. Ensuite on applique la formule. Exemples A = 2x + 2y B = ab + 2a A = 2(x + y) B = a(b + 2)

ET MAINTENANT, AU TRAVAIL !!! ON FINIT LA FICHE 2A ET ON FAIT LA 2B.

a² + 2ab + b² = (a + b)² a² – 2ab + b² = (a – b)² (a + b)(a – b) cours II. Avec les identités remarquables Il faut d'abord savoir sans hésiter a² + 2ab + b² = (a + b)² a² – 2ab + b² = (a – b)² a² – b² = (a + b)(a – b)

a² + 2ab + b² Exemple 1 : Factoriser : 25x² + 30x + 9 il y a 3 termes, cours Exemple 1 : Factoriser : 25x² + 30x + 9 il y a 3 termes, c'est une somme, il y a des carrés, On pense à : a² + 2ab + b² (5x)² 2 5x 3 × 3² 25x² + 30x + 9

a² + 2ab + b² a² + 2 a b + b² (a + b)² cours Exemple 1 : Factoriser : 25x² + 30x + 9 a² + 2ab + b² (5x)² 2 5x 3 × 3² 25x² + 30x + 9 a² + 2 a b + b² 25x² + 30x + 9 = (5x)² +2 5x 3 + 3² × × 25x² + 30x + 9 = (5x + 3)² (a + b)²

ET MAINTENANT, PETIT ENTRAINEMENT EXERCICE 3A.2

a² - 2ab + b² Exemple 2 : Factoriser : 9x² - 30x + 25 Il y a 3 termes, cours Exemple 2 : Factoriser : 9x² - 30x + 25 Il y a 3 termes, Il y a un signe moins, Il y a des carrés, On pense à : a² - 2ab + b² 2 3x 5 × (3x)² 5² 9x² - 30x + 25

a² - 2ab + b² a² - 2 a b + b² (a - b)² cours Exemple 2 : Factoriser : 9x² - 30x + 25 a² - 2ab + b² (3x)² 2 3x 5 × 5² 9x² - 30x + 25 a² - 2 a b + b² × × 9x² - 30x + 25 = (3x)² -2 3x 5 + 5² 9x² - 30x + 25 = (3x - 5)² (a - b)²

Cent fois, sur le métier, remettez votre ouvrage ! ET MAINTENANT, Cent fois, sur le métier, remettez votre ouvrage ! EXERCICE 3A.3

a² - b² Exemple 3 : Factoriser : x² - 81 Il y a 2 termes, cours Exemple 3 : Factoriser : x² - 81 Il y a 2 termes, C'est une différence, Il y a des carrés, On pense à : a² - b² x² 9² x² - 81

a² - b² a² - b² (a - b) (a + b) Exemple 2 : Factoriser : x² - 81 x² 9² cours Exemple 2 : Factoriser : x² - 81 a² - b² x² 9² x² - 81 a² - b² x² - 81 = x² - 9² x² - 81 = (x - 9) (x + 9) (a - b) (a + b)

C'est en forgeant qu'on devient forgeron ET MAINTENANT, C'est en forgeant qu'on devient forgeron EXERCICE 3A.4 C'est en tachant qu'on devient tachon

III. les équations produits cours a) propriété Lorsqu’un produit est nul, cela signifie qu’au moins un de ses facteurs est nul. Démonstration: Soient a et b deux nombres. C'est évident ! En maths on dit que c'est trivial. Si a = 0 ou b = 0, alors ab = 0. Si ab = 0, Il y a deux possibilités: a = 0 ou a  0 Si a  0, on peut diviser par a: 𝑎𝑏 𝑎 = 0 𝑎 ab = 0 devient soit b = 0 Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0. CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer)

Lorsqu’un produit est nul, cela signifie qu’au moins un de ses facteurs est nul. cours b) application On appelle équation produit le produit de deux équations du premier degré à une inconnue, de la forme : (ax + b)(cx + d) = 0 D'aprés la propriété précédente,les solutions de cette équation sont les solutions des deux équations: ax + b = 0 et cx + d = 0

Lorsqu’un produit est nul, cela signifie qu’au moins cours Exemple : Résoudre l’équation :(2x + 1)(3x – 5) = 0 (2x + 1)(3x – 5) = 0 signifie que 2x + 1 = 0 ou 3x – 5 = 0 2x + 1 - 1 = 0 -1 3x - 5 + 5 = 0 + 5 3x = 5 2x = -1 ou Lorsqu’un produit est nul, cela signifie qu’au moins un de ses facteurs est nul. = - = 5 3 1 2 3𝑥 3 2x 2 x = - ou x = 1 2 5 3