Économie pour les ingénieurs Chapitre 3 Lapplication des formules d'équivalence à des transactions commerciales concrètes

Objectifs dapprentissage 1)Le taux dintérêt nominal et le taux dintérêt effectif 2)Les calculs déquivalence : quand les périodes de versement et les périodes de capitalisation coïncident 3)Les calculs déquivalence : quand les périodes de versement et les périodes de capitalisation diffèrent 4)Les calculs déquivalence : quand les versements sont continus X 5)Les taux dintérêt variables 6)Les prêts commerciaux 7)Les prêts hypothécaires 8)Les investissements obligataires 9)Les calculs par ordinateur Économie pour les ingénieurs ECO15922

1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif Le taux dintérêt nominal (r) est la méthode traditionnelle pour exprimer le taux dintérêt. Cest le produit du taux dintérêt par période avec le nombre de périodes dans lannée. 1 % par mois x 12 mois = 12 % /an… Le 12 % est le taux dintérêt nominal et la capitalisation est mensuelle. (r) ne considère pas les effets de la capitalisation. Économie pour les ingénieurs

1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif Le taux dintérêt effectif (i) est le taux dintérêt qui est réellement chargé ou reçu pendant lannée (ou autre période). Dans lexemple précédent, 1% représente le taux dintérêt effectif par mois. Le taux dintérêt effectif par année (i a, est le taux dintérêt annuel qui tient compte des effets de la) capitalisation pendant lannée. Connaître la distinction entre r et i nous permet de répondre à la question: Lequel des investissements suivant est le plus avantageux ? –i = 12 % / an ou –i = 1%/mois capitalisé (ou composé) par mois pendant 12 mois. Économie pour les ingénieurs

Les compagnies de carte de crédit expriment le taux dintérêt comme suit : « 18 % composé par mois » –18 % est le taux dintérêt nominal –Fréquence de capitalisation est par mois (M = 12) –Le taux dintérêt par période de capitalisation est 18 % / 12 = 1,5 % par mois. –Chaque mois linstitution te charge 1,5 % dintérêt sur le solde impayé. Économie pour les ingénieurs 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Économie pour les ingénieurs dintérêt effectif Cependant le 18 % par année ne traduit pas fidèlement la réalité. On doit se tourner vers le taux dintérêt effectif pour évaluer leffet de la capitalisation plus fréquente. 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Exemple Vous obtenez un prêt de la banque avec un taux dintérêt annuel de 12% capitalisé par mois. r = 12% Le taux dintérêt par mois est : r/M = 12% /12 = 1 % (taux effectif mensuel) Si vous empruntez 1$, alors F = P(1 + i) M = 1$ (1 + 0,01) 12 = 1,1268$ I = F - P = 1,1268$ - 1$ = 12,68 cents (1 + i a ) = (1 + i) M = > i a = (1 + i) M - 1 Économie pour les ingénieurs ECO Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Exemple (suite) On peut exprimer le taux dintérêt effectif annuel (i a ) en terme du pourcentage du principal : i a = (1 + 0,01) = 0,1268 ou 12,68 % Si le même prêt est capitalisé trimestriellement, alors … i a = (1 + 0,03) = 0,1255 ou 12,55 % Économie pour les ingénieurs 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Économie pour les ingénieurs Taux d'intérêt nominal 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% Annuelle 4.00% 5.00% 6.00% 7.00% 8.00% 9.00% 10.00% 11.00% 12.00% Semestrielle 4.04% 5.06% 6.09% 7.12% 8.16% 9.20% 10.25% 11.30% 12.36% Trimestrielle 4.06% 5.09% 6.14% 7.19% 8.24% 9.31% 10.38% 11.46% 12.55% Mensuelle 4.07% 5.12% 6.17% 7.23% 8.30% 9.38% 10.47% 11.57% 12.68% Quotidienne 4.08% 5.13% 6.18% 7.25% 8.33% 9.42% 10.52% 11.63% 12.75% Taux d'intérêt effectif Capitalisation : De ce tableau on observe que plus la capitalisation est fréquente, plus les intérêts payés ou (reçus) pendant lannée sont élevés et ce pour un même taux dintérêt nominal. 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Économie pour les ingénieurs 10 Généralisation pour toutes les périodes i = (1 + r/M) C - 1 i = (1 + r/CK) C - 1 M = Périodicité de la capitalisation par année = CK C = Périodicité de la capitalisation par période de versements K = Le nombre de périodes de versements par année. 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Exemple Vous effectuez des dépôts trimestriels dans un compte dépargne qui paye 9 % capitalisé par mois. Quel est le taux dintérêt effectif par trimestre ? –r = 9 % –C = 3 périodes de capitalisation par trimestre –K = 4 paiements trimestriels par année –M = 12 périodes de capitalisation par année Économie pour les ingénieurs 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Exemple (suite) i = (1 + 0,09/12) = 2,27 % par trimestre Économie pour les ingénieurs 0,75% 2,27% 0,75% 2,27% 1 er trim. 4 ème trim. i a = (1 + 0,0075) = 9,38 % par année 9 % / 12 = 0,75 % par mois 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Capitalisation continue Économie pour les ingénieurs

–Pour obtenir le taux dintérêt effectif annuel… K = 1 Économie pour les ingénieurs Exemple : 12 % capitalisé continuellement est i a = e 0, = 12,7497 % 1. Le taux dintérêt nominal et taux dintérêt effectif

Versements et la capitalisation diffèrent Dans bon nombre de situations, les intervalles auxquels ont lieu les flux monétaires diffèrent des périodes de capitalisation. Règle : Quand les périodes de versements et la période de capitalisation ne coïncident pas, on doit modifier lune ou lautre de façon à ce que les deux partagent la même unité de temps. –EX : Paiements trimestriels avec de la capitalisation mensuelle… trouvez le taux dintérêt effectif par trimestre. –EX : Paiements mensuels avec de la capitalisation trimestriel… trouvez le taux dintérêt équivalent par mois. Économie pour les ingénieurs

Démarche : 1)Identifiez la périodicité de la capitalisation par année (M), le nombre de périodes de paiements par année (K), et le nombre de périodes de capitalisation par année (C). 2)Calculez le taux dintérêt effectif par période 3)Trouvez le nombre total de périodes de paiements N = K x (nombre dannées) 4)Utilisez i et N dans la bonne formule Économie pour les ingénieurs Capitalisation plus fréquente que les paiements Versements et la capitalisation diffèrent

Exemple Vous déposez à chaque trimestre $ dans un fonds qui paye des intérêts à un taux de 12 % / an capitalisé par mois. Quel est le solde du compte à la fin de lannée 2 ? A = $ par trimestre, r = 12 % par an, M = 12 périodes de capitalisation par année et N = 8 trimestres. Économie pour les ingénieurs Versements et la capitalisation diffèrent

Exemple (suite) 1) Identifiez les paramètres M = 12 périodes de cap. par année K = 4 périodes de paiements par année C = 3 périodes de cap. par période de paiements. 2) i = (1 + 0,12/12) = 3,030 % par tr. 3) Trouvez N… le nombre total de périodes de paiement … N = 4 x 2 = 8 4) La bonne formule… F = 1000$(F/A, 3,030%, 8) = 8 901,81 $ Économie pour les ingénieurs ECO Versements et la capitalisation diffèrent

Exemple (suite) Économie pour les ingénieurs $ F i = (1 + 0,12/12) 3 = 3,030 % / tr. 12 % se composant mensuellement F = $(F/A, 3,03 %, 8) = 8 901,81$

Capitalisation moins fréquente que les paiements –Il y a deux hypothèses sous-jacentes aux deux exemples suivants. Exemple 1… le dépôt commence à payer des intérêt dès que le dépôt est effectué (au début de la période). Exemple 2… les dépôts qui sont effectués à lintérieur du trimestre commencent à payer des intérêts seulement à la fin de ce trimestre. Économie pour les ingénieurs Versements et la capitalisation diffèrent

Exemple 1 Vous effectuez des dépôts mensuels de 500$ dans un compte qui paye des intérêts à un taux de 10 % capitalisé trimestriellement. Calculez le solde de ce compte à la fin de 10 ans. Économie pour les ingénieurs 1.M = 4 périodes de capitalisation par année K = 12 paiements par année K = 12 paiements par année C = 1/3 période de capitalisation par période de paiement C = 1/3 période de capitalisation par période de paiement 2.i = (1 + 0,10/4) 1/3 - 1 = 0,826 % par mois 3.N = (12)(10) = 120 périodes de paiements 4.F = 500$ (F/A, 0,826%,120) = ,89$ Versements et la capitalisation diffèrent

Exemple (diagramme) Économie pour les ingénieurs mois Intérêt mensuel équivalent i = (1 + 0,025) 1/3 - 1 = 0,826 % par mois i = 10 % / 4 = 2,5 % par trimestre Versements mensuels = 500 $ Période de capitalisation réelle (trimestrielle) F = 500 $(F/A, 0,826%, 120) = ,89 $

Exemple 2 Même chose que lexemple 1 mais cette fois les dépôts qui sont effectués dans le trimestre ne payent pas dintérêt avant la fin du trimestre. 1)i = 10 %/4 = 2,5% par trimestre 2)A = 3 x 500$ = 1 500$ par trimestre 3)N = 4 (10) = 40 périodes de paiements 4)F = 1 500$(F/A, 2,5%, 40) = ,83$ Économie pour les ingénieurs Versements et la capitalisation diffèrent

Exemple (diagramme) Économie pour les ingénieurs A = 500 $ / mois F A = $ / tr F

Taux dintérêt variables Jusquà maintenant…les taux dintérêt dans les calculs déquivalence étaient constants. Pas toujours réaliste… puisque les taux peuvent varier avec le temps. –Marge de crédit –Prêts à taux variables –Hypothèques Économie pour les ingénieurs

Exemple 1 –Vous déposez $ dans un RÉER qui rapporte des intérêts de 12 % se composant trimestriellement durant les deux premières années, et des intérêts de 9 % se composant trimestriellement durant les trois années suivantes. Déterminez le solde à la fin de 5 ans. Économie pour les ingénieurs % cap. trim 12 % cap. trim F = ? Taux dintérêt variables

Exemple 1 (suite) On calcule la valeur de F en 2 étapes: Étape 1 : Calcul du solde à la fin de 2 ans B 2 = $(F/P, 12 %/4, 8) = $(1,2668) = 2 533,60$ Étape 2 : Calcul du solde final F = B 2 (F/P, 9 %/4,12) = 2533,60$(1,3060) = 3 309$ Économie pour les ingénieurs Taux dintérêt variables

Exemple 2 A = ? Économie pour les ingénieurs 01 i 1 = 5 % 100$ 2 i 2 = 7 % 200$ 3 i 3 = 9 % 250$ Taux dintérêt variables

Exemple 2 (suite) Économie pour les ingénieurs A 01 i 1 = 5 % A 2 i 2 = 7 % A 3 i 3 = 9 % Taux dintérêt variables

Exemple 2 (suite) P = 100$(P/F, 5%,1) + 200$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + 250$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 477,41 $ Économie pour les ingénieurs On trouve la valeur présente… 477,41$ = A(P/F, 5%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 2,6591A A = 179,54$ Ensuite on trouve A Taux dintérêt variables

Prêts commerciaux Les plus populaires : Prêts amortis –Prêts qui sont remboursés avec des versements périodiques égaux Prêts autos, hypothèques, prêts étudiants, etc... Aspect important –Composante intérêt –Composante principal Économie pour les ingénieurs

Supposez quon emprunte un montant P, au taux dintérêt i, et quon décide de rembourser ce montant P, avec intérêt, sur N périodes. La valeur des remboursements est A = P(A/P, i, N) Les remboursements sont divisés en 2 composantes –Paiement dintérêt –Remboursement du principal Économie pour les ingénieurs Prêts commerciaux

Laissons… B n = Solde du prêt à la fin de la période n, avec B 0 = P I n = Paiement dintérêt à la période n, avec I n = B n-1 i PP n = Paiement du principal à la période n Alors le paiement est A = PP n + I n Économie pour les ingénieurs Prêts commerciaux

Pour calculer PP et I… Lintérêt de la première période est I 1 = B 0 i = Pi Le paiement du principal à ce moment sera PP 1 = A - Pi Le solde du prêt après le premier versement sera B 1 = B 0 - PP 1 = P - PP 1 Lintérêt de la deuxième période est I 2 = B 1 i = (P - PP 1 )i Le paiement du principal à ce moment est PP 2 = A - (P - PP 1 )i = (A - Pi) + PP 1 i = PP 1 (1 + i) Le solde du prêt après le deuxième versement est B 2 = B 1 - PP 2 = P - (PP 1 + PP 2 ) Économie pour les ingénieurs Prêts commerciaux

Au nième versement… B n = P - (PP 1 + PP 2 + … + PP n ) B n = P - [PP 1 + PP 1 (1 + i) + … + PP 1 (1 + i) n-1 ] B n = P - PP 1 (F/A, i, n) B n = P - (A - Pi) (F/A, i, n) … I n = (B n-1 ) i et… PP n = A - I n Économie pour les ingénieurs Prêts commerciaux

Exemple –Tu as emprunté 5 000$ de la banque pour effectuer des réparations à la maison. La banque te propose la modalité de remboursement suivante : Valeur du contrat : $ Période du contrat : 24 mois Taux dintérêt annuel : 12 % Paiement mensuel : 235,37$ Économie pour les ingénieurs Prêts commerciaux

Exemple (suite) Économie pour les ingénieurs 6 mois 24 mois 1 % par mois $ Prêts commerciaux

Hypothèques –Prêts amortis à long terme –Typiquement sur des propriétés –Association canadienne des banquiers –Société canadienne dhypothèques et de logement –Montant du prêt = principal –Différence prix de la propriété et le solde = équité Économie pour les ingénieurs Prêts hypothécaires

Exemple –Maison = $ avec mise de fonds de $ –Hypothèque conventionnelle de $ avec un terme de 3 ans et un taux dintérêt de 8 % par année de la Banque TD. Question 1 : Quels sont les versements si la personne rembourse lhypothèque selon la modalité suivante ? –Paiements mensuelles Question 2 : Quel est le solde à la fin du terme ? Économie pour les ingénieurs Prêts hypothécaires

Question 1 P = $, r = 8 %, M = 2 périodes de capitalisation par année, amortissement de 25 ans, et le terme est de 3 ans. Calcul pour paiement mensuel i = (1 + 0,08/2) 1/6 -1 = 0,6558 % A = $ (A/P, 0,6558 %, 300) = 763,20$ Économie pour les ingénieurs Prêts hypothécaires

Question 2 Calcul pour paiement mensuel… n = 3 x 12 = 36 i = 0,6558 % B = $(F/P, 0,6558 %, 36) - 763,20$ (F/A, 0,6558%, 36) = $ Économie pour les ingénieurs Prêts hypothécaires

Les investissements obligataires Promesses de remboursement selon un échéancier précis, et dont les intérêts sont dordinaire capitalisés semestriellement. Elles sont émises par lemprunteur sur le marché primaire des capitaux. Elles peuvent séchanger après coup, entre détenteurs, sur le marché secondaire, tout en demeurent en circulation. Économie pour les ingénieurs

Terminologie –Débentures - obligations hypothécaires –Valeur nominale –Date à échéance –Taux dintérêt du coupon –Taux dintérêt du marché –Cours de lobligation –Obligation vendue avec escompte démission – net.com/placements/obligations/obligations.phtmlhttp:// net.com/placements/obligations/obligations.phtml Économie pour les ingénieurs Les investissements obligataires

Exemple 1… le cours –Une obligation de 10 ans est caractérisée par une valeur nominale de 5 000$ et un taux annuel dintérêt du coupon de 8 % payable trimestriellement. Lacheteur potentiel exige un rendement de 12 % sur ses investissements. Quel est le cours de cette obligation ? –P = 5 000$ (P/F, 3, 40) + 100$ (P/A, 3, 40) = Économie pour les ingénieurs 5000$ (0,08/4) = 100$ 3 844$ Les investissements obligataires

Exemple 2… Taux exigé du marché –Lintérêt qui assure léquivalence entre les recettes futures découlant de lobligation et le prix du marché de lobligation. –VN = 1 000$, P = 1 088$, Intérêt du coupon par semestre = 4,625% x 20 périodes. –1 088$ = 46,25$(P/A, i%, 20) $(P/F, i%, 20) Économie pour les ingénieurs ECO Les investissements obligataires

Exemple 2 … suite Économie pour les ingénieurs ECO %1241,76$ ?1088,00$ 4%1084,94$ i par semestreVP des recettes Les investissements obligataires

Exemple 3… rendement courant Est lintérêt annuel reçu exprimé en % du cours actuel du marché de lobligation. Des données de lexemple précédent… 46,25$/1088$ = 4,25% semestriellement 2 x 4,25% = 8,5% annuellement Rendement courant effectif : i a = (1 + 0,0425) = 8,68 % Économie pour les ingénieurs Les investissements obligataires

Exemple dune hypothèque Économie pour les ingénieurs