Résolution de problème et narration de recherche au cycle 3 1 1

Mise en activité Problème 1 : Dans la cour du collège, il y a des poules et des lapins. J’ai compté 16 têtes et 44 pattes. Combien y a-t-il de poules ? Combien y a-t-il de lapins ? Problème 2 : Dans la cour du collège, il y a des poules et des lapins. J’ai compté 91 têtes et 234 pattes. Combien y a-t-il de poules ? Combien y a-t-il de lapins ? Problème 3 : Dans la cour du collège, il y a des poules et des lapins. J’ai compté 2171 têtes et 4368 pattes. Combien y a-t-il de poules ? Combien y a-t-il de lapins ? 2 2

Le cycle 3 et les programmes de 2008 Mathématique : Nombres et calculs Géométrie Grandeurs et mesures 3 3

Nombres et calculs Les nombres entiers naturels Les nombres décimaux et les fractions Le calcul La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement. 4 4

Qu'est ce qu'un PROBLÈME? Du côté des maîtres … Du côté des chercheurs...... 5

Pour l’équipe ERMEL « Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule ». 6

Pour G. VERGNAUD « Par problème, il faut entendre, dans le sens large que lui donne le psychologue, toute structuration dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèses et de vérification pour produire une solution » 7

Pour J-M. HOC  « Un problème est la représentation qu’un système cognitif construit à partir d’une tâche, sans disposer immédiatement d’une procédure admissible pour atteindre un but » 8

Pour J. BRUN      « Il  n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire. C’est-à-dire aussi que le problème, pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet en fonction de leur niveau de développement intellectuel ». 9

Lien maîtrise de la langue et apprentissages place de l'écrit en mathématique (l'écrit permet la co-construction des savoirs et du sujet apprenant) Quels sont les écrits mobilisés en résolution de problème ? Quelle est la place laissée au brouillon ? Quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves pour passer d'un écrit de recherche à un écrit de synthèse ? 10 10

Lien maîtrise de la langue et apprentissages place de l'oral en mathématique quelle place pour le débat mathématique en classe ? Une pratique peut permettre aux élèves d'aborder la résolution de problème en les mettant en situation de chercheur. 11

Ce qu’est la narration recherche Une narration de recherche est l'exposé détaillé, écrit par l'élève lui-même, de la suite des activités qu'il met en oeuvre lors de la recherche de la solution d'un problème mathématique. Exemple E:\travail\animationpéda2011-2011\mathématiques\narration\Deslapins.pdf E:\travail\animationpéda2011-2011\mathématiques\narration\Deslapins.pdf 12 12

Donner un outil de communication Les objectifs ...pour aller vers la maîtrise des savoirs mathématiques - Développer la curiosité et l'esprit critique des élèves, les mettre dans des situations de recherche motivantes, qui leur donne le goût de faire des mathématiques. Donner un outil de communication Dans une narration de recherche l'élève est obligé de rédiger des phrases correctes, il prend ainsi conscience de l'importance de la rédaction d'un texte pour communiquer ses pensées à l'enseignant et à la classe. - Mettre en place les règles du débat mathématique plus particulièrement les règles suivantes : * un contre-exemple suffit pour invalider un énoncé ; * des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas à prouver qu'il est vrai ; * une constatation sur un dessin ne suffit pas pour prouver qu'un énoncé est vrai 13

Permettre à l'enseignant une bien meilleure connaissance des procédures des élèves : les notions acquises et non acquises, les situations-obstacles, les sources d'erreurs, les outils de preuve sont accessibles et mis en évidence dans ces devoirs et un échange beaucoup plus personnel avec chaque élève est favorisé. La narration de recherche , une méthode de travail qui s'apprend. 14

* les consignes données aux élèves ; La mise en place de cette méthode repose sur plusieurs éléments concernant essentiellement : * le choix des énoncés ; * les consignes données aux élèves ; * la correction et l'évaluation des copies ; * le compte-rendu en classe. 15

Le choix des énoncés : les problèmes ouverts Définition de l’équipe de l’IREM de Lyon : L’énoncé est court l’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution. Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité 16

Retrouver une disposition possible. Exemples : Dans une boîte, il y a des jetons. Génix en prend un, Bonux en prend deux, Génix en prend trois, Bonux en prend quatre, Génix en prend cinq…. Et ainsi de suite, chacun en prenant toujours un de plus que l’autre. Quand la boîte est vide, Bonux a 10 jetons de plus que Génix. Combien y avait-il de jetons dans la boîte ? La sorcière Maléfix a rangé 36 balais dans 3 armoires A, B et C. Dans l’armoire A, il y a six balais de plus que dans l’armoire B. Dans l’armoire C, il y a deux fois moins de balais que dans l’armoire B. Combien de balais Maléfix a-t-elle rangé dans chaque armoire ? Un jardinier plante 10 arbres. Il a réussi à les disposer en formant 5 lignes de 4 arbres. Retrouver une disposition possible. 17

Les consignes Exemple de consigne orale donnée par un collègue (6eme): " Je vous propose un problème où vous aurez tous beaucoup de choses à m'écrire. Pourquoi ? Et bien tout simplement parce que je vous demande de ne pas vous contenter de me donner la réponse mais de me raconter en détail tout ce que vous avez fait pour la trouver ou pour essayer de la trouver. Vous me décrirez vos essais, toutes les pistes que vous avez essayées même si elles n'ont abouti à rien. Toute mon attention ira sur la qualité et la persévérance de votre recherche. Je ne tiendrai pas compte de l'orthographe ou de la syntaxe. J'attacherai plus d'importance à la précision de cette narration qu'au résultat trouvé lui-même." Réactions ? 18

L’évaluation : quels critères ? - une interrogation sur l'énoncé : la compréhension et l'interprétation d'un texte sont souvent des facteurs de blocage chez l'élève ; - des essais de diverses pistes en apportant des informations sur les diverses méthodologies adoptées ; - des vérifications qui provoquent des prises de conscience d'erreurs et donc des changements de stratégies ; une certaine cohérence dans le raisonnement et l'enchaînement des actions ; - des argumentations : la narration de recherche contribue très certainement à l'apprentissage de la démonstration ; un esprit critique : l'élève doit se poser le plus de "pourquoi" possibles lorsque il émet des conjectures, s'interroger toujours sur la validité de ses résultats, effectuer des vérifications. 19

Le compte rendu des narrations de recherche : Valoriser les démarches de chacun . Confronter les points de vue et les stratégies . Initier le débat mathématique. 20