Exploitation de mesures scientifiques

Si, dans une expérience, on mesure une grandeur physique y en fonction d‘une autre x, on réalise un tableau de valeurs : Exemple : x y 2,1 4,2 3,5 8,0 9,0 5,9 10,1 6,1 14,7 Dans chaque ligne du tableau, on retrouve un couple de valeurs.

Lorsque les grandeurs du tableau ont des unités, il faut les indiquer dans l‘entête. Exemple : m (kg) V (m3) 2,1 4,2 3,5 8,0 9,0 5,9 10,1 6,1 14,7

Dans une colonne donnée, chaque valeur doit être indiquée avec un même nombre de chiffres décimaux : m (kg) V (m3) 2,144 4,2 3,50 8 4 9,0 5,9 10,11 6,100 14,7 m (kg) V (m3) 2,144 4,2 3,500 8,0 4,000 9,0 5,900 10,1 6,100 14,7 FAUX ! CORRECT !

On peut représenter les couples de valeurs sur un graphique. Si possible, on utilise du papier millimétré et un crayon (bien taillé):

On utilise les bords du papier comme axes : axe des y axe des x

On indique les grandeurs représentées avec leurs unités : m (kg) V (m3) 2,144 4,2 3,500 8,0 4,000 9,0 5,900 10,1 6,100 14,7 m (kg) V (m3)

Tout graphique doit porter un titre : Ex. : Volume d‘une patate Désirée en fonction de la masse V (m3) m (kg) V (m3) 2,144 4,2 3,500 8,0 4,000 9,0 5,900 10,1 6,100 14,7 m (kg)

réparti sur toute la feuille : On choisit des échelles convenables et qui sont telles que le graphique est réparti sur toute la feuille : V (m3) 5 10 15 m (kg) V (m3) 2,144 4,2 3,500 8,0 4,000 9,0 5,900 10,1 6,100 14,7 1 2 3 4 5 6 7 m (kg)

ÉVITER DES ÉCHELLES PEU PRATIQUES ! ATTENTION ! ÉVITER DES ÉCHELLES PEU PRATIQUES ! OU ENCORE DE SURCHARGER LES ECHELLES V (m3) 10 15 5 14 13 12 11 9 8 7 6 4 3 2 1 3 6 9 12 15 18 21 m (kg)

On marque les couples de valeurs par une croix (+), avec le plus de précision possible V (m3) 5 10 15 m (kg) V (m3) 2,144 4,2 3,500 8,0 4,000 9,0 5,900 10,1 6,100 14,7 1 2 3 4 5 6 7 m (kg)

On ne relie JAMAIS 2 points successifs par un segment de droite V (m3) 5 10 15 1 2 3 4 5 6 7 m (kg)

FONCTION DE RÉGRESSION Par contre, on essaye de trouver la courbe d‘une fonction mathématique qui passe le mieux à travers l‘ensemble des points du graphique. Une telle fonction mathématique s‘appelle FONCTION DE RÉGRESSION Quelques exemples de fonctions de régression:

Une droite (fonction y=ax+b) a : pente b : ordonnée à l‘origine

Une droite passant par l‘origine (fonction y=ax) a : pente (ordonnée à l‘origine : b=0)

Une exponentielle (fonction y=a*ebx+c)

Pour tracer une droite de régression à la main, on utilise une règle graduée (transparente), et on la déplace jusqu‘à ce qu‘on obtienne la „meilleure droite“, c‘est à dire celle qui passe le plus près possible à côté de la majorité des points. 5 10 15 1 2 3 4 5 6 7

Il existe cependant une méthode mathématique qui permet de calculer exactement les coefficients de régression. Comme ce calcul est plutôt fastidieux (surtout si le nombre de points de mesure est important), on utilise plutôt les fonctions „Linear Regression“ intégrées dans la plupart des calculatrices ainsi que la fonction „Add trendline“ dans les tableurs comme Microsoft Excel, fonctions qui utilisent cette méthode mathématique en un clin d‘oeil.

? Comment déterminer les coefficients (pente et ordonnée à l‘origine) d‘une droite de régression

L‘ordonnée à l‘origine b est la valeur correspondant à l‘abscisse x=0 Dans cet exemple, b=3 y 5 10 15 1 2 3 4 5 6 7 x

La pente s‘obtient comme suit : - On détermine les coordonnées de 2 points A et B de la droite Exemple : Choisir des points dont les coordonnées sont faciles à déterminer ! Choisir les 2 points assez éloignés l‘un de l‘autre ! ATTENTION ! Prendre 2 points de la droite, et non des points de mesure ! y 5 10 15 B(xB ; yB) A(xA ; yA) 1 2 3 4 5 6 7 x

La pente s‘obtient comme suit : - Pente : a = y 5 10 15 B(xB ; yB) y A(xA ; yA) x 1 2 3 4 5 6 7 x

La pente s‘obtient comme suit : Dans l‘exemple : - Pente : a = y 5 10 15 B(6,5 ; 12) y A(1,75 ; 5,5) x 1 2 3 4 5 6 7 x

Equation de la droite de régression : y=1,36·x+3 5 10 15 B(6,5 ; 12) y A(1,75 ; 5,5) x 1 2 3 4 5 6 7 x

! ATTENTION ! L‘ordonnée à l‘origine représente, tout comme la pente, une grandeur physique. Elles possèdent donc aussi des unités qu‘il ne faut pas oublier!

Exemple (arbitraire): Ici, on a donc : b = 3 m3 et a=1,36 kg/m3 On représente une masse m (kg) en fonction d‘une température  (°C) kg kg/°C 1 2 3 4 5 6 7  (°C) m (kg) 10 15 y (kg) x (°C)

Supposons avoir p.ex. les couples de valeurs suivants : y 1,5 2,0 3,0 4,1 4,5 5,9 6,0 8,0 7,6 10,0 y/x 1,33 1,37 1,31 1,32 On dit que x et y sont des grandeurs proportionelles, et on écrit : y~x Aux erreurs expérimentales près, on constate que - si x est doublé, y est doublé aussi. - si x est triplé, y est triplé aussi. - si x est multiplié par n, y est aussi multiplié par n si on calcule les quotients y/x (ou x/y)... on constate que les quotients y/x sont constants.

...cherchons la droite de régression Représentons graphiquement les couples de valeurs... C‘est une droite passant par l‘origine ! Dans l‘exemple, a=1,32 Équation : y=a·x La pente a représente le coefficient de proportionalité.

x y 1,5 2,0 3,0 4,1 4,5 5,9 6,0 8,0 7,6 10,0 y/x 1,33 1,37 1,31 1,33 1,32 Le coefficient de proportionalité a est en quelque sorte une moyenne des quotients y/x ...cherchons la droite de régression Représentons graphiquement les couples de valeurs... C‘est une droite passant par l‘origine ! Dans l‘exemple, a=1,32 Équation : y=a·x La pente a représente le coefficient de proportionalité. MAIS : ce n‘est pas la moyenne arithmétique (qui serait 1,33 dans l‘exemple)

Résumé : Deux grandeurs x et y sont proportionelles les quotients y/x sont constants la représentation graphique de y en fonction de x admet une droite de régression passant par l‘origine La pente a de la droite de régression y=a·x est le coefficient de proportionalité entre y et x Le coefficient de proportionalité est toujours déduit de la pente de la droite de régression mais jamais en calculant la moyenne arithmétique des quotients y/x !

? Vous avez tout compris ??? © 2006 by Y. Reiser