La construction du nombre en maternelle et au cycle 2 Bruno Canivenc, ESPE Université d’Aix-Marseille

Plan Des repères psychologiques et didactiques Les programmes Des pistes de travail prioritaires Bibliographie

Deux constats Deux appuis précieux pour faciliter les apprentissages du cycle 2 en numération, calcul et résolution de problème : - les compétences en calcul construites en maternelle (décomposition, recomposition) - la pratique précoce de la résolution de problème en maternelle

Quelques repères psychologiques et didactiques

Mais qu'est-ce qu'un nombre entier? Nombres (entiers, puis fractionnaires…) inventés pour résoudre des problèmes de quantité et de mesure dans le monde réel. Nombres et calcul pour modéliser le réel et répondre à des questions en l’absence des objets sur lesquels on se pose des questions, c’est-à-dire pour résoudre des problèmes

Le concept de nombre Plusieurs dimensions en interaction : - quantité physique (quatre cubes) - position (quatrième case d’un chemin) - mot nombre (quatre) - plusieurs représentations (dé, doigts…) - symbole numérique (le chiffre 4)

Les fonctions du nombre Les nombres servent à : Conserver la mémoire d’une quantité Conserver la mémoire d’une position Comparer des quantités ou des positions Anticiper et tout cela, même (surtout !) en l’absence des objets concernés…

Des difficultés pour les élèves (1) Idée d’une capacité mathématique unique (raisonnement défectueux par exemple) contredite par les recherches en neuropsychologie. 3 à 5% de la population souffrent de difficultés sévères en arithmétique (mais parfois une seule) : - apprentissage des noms des nombres - transcodage (passage de l’oral à l’écrit) - bonne disposition des chiffres (20010 pour 210) - mémorisation des tables - difficulté seulement dans la compréhension écrite des énoncés

Des difficultés pour les élèves (2) Pour certains élèves, la compréhension du code pose moins de problème que sa mise en œuvre : - la répétition d’explications ne permet pas l’amélioration de la performance ; - le travail technique systématique visant l’automatisation de certaines techniques est indispensable et permet à l’attention de se libérer ensuite pour se centrer sur ce qui exige le recours à la compréhension et qui doit aussi être entraîné (sens des opérations).

Des difficultés pour les élèves (3) « Paul a 3 billes, je lui en donne 4, combien en a-t-il maintenant ? » Passage au symbolique Savoir écrire « 3 + 4 = 7 » n’assure en rien que l’addition est acquise. Ici, l’opération ne fait que simuler le déroulement de la transformation. Nécessité de travailler sur les autres situations d’ajout et retrait qui peuvent conduire à cette écriture, par exemple « Je donne 4 billes à Emma, maintenant j’en ai 3. Combien est-ce que j’avais de billes au début ? »

Les programmes

Ce que dit le programme de maternelle 2015 « Une école qui organise des modalités spécifiques d’apprentissage » (paragraphe 2 de l’introduction) : Apprendre en jouant Apprendre en résolvant des problèmes Apprendre en s’exerçant Apprendre en se remémorant et en mémorisant « Découvrir les nombres et leur utilisation » et « Explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées » constituent le domaine « Construire les premiers outils pour structurer sa pensée »

Utiliser les nombres Évaluer et comparer des collections d’objets avec des procédures numériques ou non numériques. Réaliser une collection dont le cardinal est donné. Utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités, pour constituer une collection d’une taille donnée ou pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée. Utiliser le nombre pour exprimer la position d’un objet ou d’une personne dans un jeu, dans une situation organisée, sur un rang ou pour comparer des positions. Mobiliser des symboles analogiques, verbaux ou écrits, conventionnels ou non conventionnels pour communiquer des informations orales et écrites sur une quantité

Etudier les nombres Avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des éléments. Avoir compris que tout nombre s’obtient en ajoutant un au nombre précédent et que cela correspond à l’ajout d’une unité à la quantité précédente. Quantifier des collections jusqu’à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales. Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix. Parler des nombres à l’aide de leur décomposition. Dire la suite des nombres jusqu’à trente. Lire les nombres écrits en chiffres jusqu’à dix.

Pour le CP et le CE1 Connaître les nombres entiers naturels jusqu’à 100 (1000) Comparer, ranger, encadrer (et les repérer et placer sur une droite graduée) Décompositions et tables d’addition Ecrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant (écrire ou dire une suite de 10 en 10, de 100 en 100…) Connaître les doubles et moitiés jusqu’à 20 (puis d’usage courant)

Des pistes prioritaires

Des pistes prioritaires Déterminer un cardinal, dénombrer Mémoriser des décompositions Mémoriser la suite numérique Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position Maîtriser des compétences en calcul mental Résoudre des problèmes Verbaliser pour passer de la manipulation à l’abstraction

Déterminer le cardinal d’une collection Plusieurs procédures à pratiquer et sur lesquelles construire des automatismes : Reconnaissance immédiate de petites quantités jusqu’à 3 ou 4 (maternelle) Reconnaissance globale de collections organisées (constellations, doigts, carte de 10, boîte de Picbille, boulier, abaque …) à poursuivre Dénombrement Estimation

Principes du dénombrement (Gelman) La connaissance de la comptine est préalable et cinq principes régissent le dénombrement : Abstraction : toutes sortes d’éléments peuvent être rassemblés et dénombrés ensemble (c’est la notion de collection et de désignation) Correspondance terme à terme Suite stable des mots nombres Cardinal (dernier mot nombre) Indifférence à l’ordre des objets (mais problème d’énumération)

L’énumération La boîte avec fentes : une situation de découverte au cycle 1 et de remédiation au cycle 2 pour centrer les élèves sur l’organisation du parcours de la collection (« Le nombre au cycle 2 » page 28)

La préparation au calcul en maternelle Activités de reconnaissance et production immédiates de collections organisées Bonne connaissance de la suite (à partir de 1, jusqu’à m, à partir de n, à l’envers) Correspondance suites orale et écrite Mémorisation de quelques décompositions additives (album à calculer) Mémorisation des premiers doubles

Mémorisation de la suite numérique Activités de récitation, en lien avec des comptines, en jouant sur la segmentation Programmer au CP des comptines de MS et GS pour les élèves qui n’ont pas été scolarisés ou n’en ont pas profité Activités pour consolider, approfondir (ou apprendre?) la suite numérique : La marionnette qui se trompe Le jeu du tambour Le jeu de l’escalier

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (1) Rôle déterminant du cycle 2 dans la construction de la notion de dizaine, centaine, millier d’unités Importance de la manipulation effective de matériel de numération pour percevoir la dizaine comme un regroupement de dix unités et comme un tout (idem pour la centaine). Place centrale de la verbalisation pour atteindre l’abstraction.

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (2) Importance du travail effectif de manipulation autour de groupement et échange pour la distinction valeur/quantité liée à la place du chiffre dans l’écriture du nombre : jeux du type de celui du Banquier avec échange 1 pour 5 dans un premier temps, puis 1 pour 10 jeux du type de celui de Carrelages où les élèves doivent recouvrir exactement des rectangles avec des carreaux unités et des barres de 10 carreaux (10x1 et 5x2) en passant commande

Concevoir la dizaine en manipulant Les « uns » qui demeurent : bûchettes avec élastique, perles enfilées sur un fil…(dans la dizaine que l’on constitue, chaque unité reste présente) Les « uns » qui s’échangent, mais restent visibles : échange de carreaux contre une barre, de barres contre un grand carré, de grands carrés contre un cube (matériel multi-bases). Le dix, le cent… portent un nom (barre, carré) Les «uns» qui disparaissent mais laissent une trace symbolique : boîte de Picbille ; principe de l’argent, les 1 ont disparu dans le billet sur lequel est inscrit le 10, un pas vers l’abstraction Les « uns » qui disparaissent et se transforment en un autre « un » en changeant de couleur ou de forme : cubes ou jetons de couleurs selon une règle d’échange (matériel Montessori/Faure, jeu du banquier…)

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (3) Activités de reconnaissance immédiate (et de production) de paquets de 10 et de collections organisées avec des paquets de 10 Importance de la frise numérique linéaire et du tableau avec des lignes de dizaines (ou de la spirale) pour s’approprier l’ordre et la régularité dans l’écriture des nombres

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (5)

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (6) Difficultés dans l’écriture des dizaines 70, 80 et 90 atténuées par l’introduction simultanée des dizaines 60 et 70 d’une part, 80 et 90 d’autre part. Penser aussi à l’utilisation des cartons du type de ceux utilisés dans la pédagogie Montessori : carrés des unités, rectangles des dizaines, rectangles plus grands des centaines, etc… qui se placent l’un sur l’autre pour ne pas « perdre » le 0 de la dizaine quand on écrit 64 à partir de 60 et 4, il est seulement caché !

Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position (7) 4 6 2 5

Le calcul mental (1) Compléments à 10 et à la dizaine supérieure Compter de 10 en 10, de 2 en 2, de 5 en 5 Additions et soustractions (d’un nombre à 1 chiffre dans la dizaine, hors de la dizaine; d’une dizaine, de plusieurs dizaines…) Décompositions additives (entraînement avec la passation de commandes auprès d’une marionnette qui ne connaît que les nombres à 1 chiffre) Tables au programme Doubles et moitiés

Le calcul mental (2) Distinction claire entre résultat automatisé et procédure automatisée Intérêt d’une pratique régulière Importance des moments d’institutionnalisation des techniques et des domaines de validité de ces techniques Importance du travail d’entraînement pour construire des automatismes Au cycle 2, sur le temps de calcul mental, activités de numération Première approche de « petits problèmes simples »

Le calcul mental (3) Intérêt d’installer des « faits numériques » par une pratique régulière du calcul mental Au cycle 3, on devra pouvoir calculer mentalement 45 + 17 en disant par exemple : 45 + 17 = 45 + 10 + 7 = 55 + 5 + 2 = 60 + 2 ou 45 + 17 = 45 + 20 – 3 ou 45 + 17 = 45 + 5 + 12 Il faut entraîner ces décompositions au CE1 avec 17 allé à 20, puis 17 = 20 – ? Et 17 = 5 + ?

Le calcul mental (4) Entraînement à des activités de mémorisation de nombres présentés sous différentes formes accompagnées d’un traitement : écriture en chiffres d’un nombre dit, passage de représentation avec doigts ou constellations à l’écriture en chiffres, donner le plus grand de trois nombres, ranger trois nombres du plus petit au plus grand, écrire le suivant, le précédent, écrire la dizaine supérieure, inférieure

Le calcul mental (5) Activités pour explorer les tables d’addition et soustraction : Décompositions des premiers nombres puis Décomposition des nombres supérieurs à 10 en du (2d 3u) Jeux de cartes, de dominos, de loto Recherche de terme(s) manquant(s) : 8 + 7 = ?.........9 – 3 = ? 9 + ? = 14 7 allé à 14 8 - ? = 5 ? – 7 = 4 ? + ? = 18 ? - ? = 6

5 2 3 6 4 1 7 9 8 Les cases voisines Colorier de la même couleur 3 cases voisines dont la somme est 10

Atelier 1 Le point sur les pratiques existantes pour la reconnaissance immédiate de collections organisées, pour le dénombrement (et en particulier l’énumération) Des pistes possibles d’évolution qui prendraient en compte certains points développés aujourd’hui tout en cherchant à améliorer la continuité

Des problèmes en maternelle, vraiment? Les mathématiques en maternelle s ’apprennent - par l ’imprégnation, - par la répétition, - et par la résolution de problème Pierrard Alain : Faire des mathématiques à l ’école maternelle, Sceren, Académie de Grenoble (2002, réédition 2011)

Quels problèmes résoudre ? Liés aux techniques de dénombrement : énumération Liés aux fonctions du nombre: mémoire d’une quantité, mémoire d’une position, comparaison de quantités ou de positions, et pour l’anticipation, : Liés au champ additif : augmentation/retrait, réunion Liés au champ multiplicatif : distribution, partage, double Liés aux autres domaines : formes et grandeurs, temps, espace

Problèmes liés aux fonctions du nombre 1 Activité « Wagons » ou « Le couvert » MS/GS Activité fondamentale pour le nombre mémoire d’une quantité. Les élèves doivent aller chercher à l’autre bout de la pièce « juste assez » de voyageurs pour occuper les places dessinées dans le wagon, ou « juste assez » de couverts pour que tout le monde puisse manger. Plusieurs réalisations nécessaires avant l’apparition, puis la diffusion de la technique de dénombrement de la collection initiale. Ne pas forcer la procédure, on tuerait l’activité !

Problèmes liés aux fonctions du nombre 2 Activité « Train des lapins » Activité fondamentale pour le nombre mémoire d’une position. Un lapin est posé dans un des wagons du «train modèle» (train d’environ 25 wagons). Après avoir observé leur «train modèle», les élèves doivent se déplacer jusqu’à leur «train personnel» et placer un lapin dans le même wagon que celui du «train modèle». La validation se fait individuellement en mettant en correspondance l’un en dessous de l’autre son « train personnel » et le » train modèle ». Poursuite avec 2 ou 3 lapins (compter à partir de la locomotive ou d’un autre lapin)

Les 4 grands types de problèmes du champ additif abordés au cycle 1 et étudiés au cycle 2 transformation de collection - j’ai 8 billes, j ’en perds 2, combien en ai-je à la fin? - j’avais 7 billes, j’en ai maintenant 10, combien m’en a-t-on donné? … transformation de position je suis sur la case 8, je recule de 2, sur quelle case suis-je à l’arrivée? … réunion/séparation de collections j’ai 2 billes dans une main et 6 dans l ’autre, combien en ai-je en tout? … comparaison d ’états tu as 8 billes, j’ai 2 billes de moins que toi, combien ai-je de billes? …

Situation de référence pour la transformation de collection « Ajouter ou retirer 1 » en MS et « Ajouter ou retirer de 1 à 3 » en GS - l ’enseignant place 1 à 3 voitures dans une boîte opaque. Puis, il ajoute 1 voiture et demande de montrer avec ses doigts puis de dire le nombre de voitures présentes dans la boîte maintenant. - même situation avec des nombres compris entre 1 et 5 en retirant 1 objet.

Situation de référence pour la transformation de collection « Ces jetons, c’est comme ceux, c’est à la place de ceux qui sont dans la boîte », « Les doigts de cette main, c’est comme les voitures qui étaient dans la boîte au début, ils représentent les voitures qui étaient dans la boîte au début » … Représentations « papier » très ressemblantes, dans un premier temps, aux objets avec lesquels a été effectuée la manipulation et nouvel accompagnement langagier (« ce trait, c’est comme… », « ce rond, c’est à la place de… », « ce petit carré, il représente une voiture… » …

Situation de référence pour la transformation de position Déplacer un pion sur une piste graduée (type jeu de l ’oie) On cherche la position finale ou le déplacement ou la position initiale. La situation est abordée dès la MS/GS, d ’abord en avançant, puis avec un dé « avance/recule » et un dé indiquant la valeur du déplacement. Les procédures évoluent progressivement vers l’addition ou la soustraction au CP.

Conclusion provisoire Les élèves vont s’approprier les nombres et comprendre leur écriture par le biais d’un rapport au réel construit grâce aux langages, en manipulant, en calculant, en résolvant des problèmes, en construisant des automatismes… ce qui les outille et les prépare, par ailleurs, à comprendre à quoi on « joue » quand on résout des problèmes en mathématiques !

Atelier 2 Le point sur les pratiques existantes pour la résolution de problème (sur les fonctions du nombre et sur le champ additif) Des pistes possibles d’évolution qui prendraient en compte certains points développés aujourd’hui tout en cherchant à améliorer la continuité

Bibliographie

Eléments de bibliographie Le nombre au cycle 2, Sceren (2010) Problèmes additifs et soustractifs CP-CE1, Sceren Nord-Pas de Calais (2009) Livres du maître des collections Cap Maths, Euromaths, Pour comprendre les maths, J’apprends les maths... Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1, 2 tomes, Berdonneau, Hachette Éducation (2007) Activités numériques en maternelle, Hachette Education Apprentissages numériques au CP, au CE1, Ermel, Hatier Dix petits amis déménagent, Mitsumata Anno, L’école des loisirs