Maggy Schneider Université de Liège La subordination de la géométrie à l’algèbre linéaire : analyse de la transposition didactique (1ère partie) Maggy Schneider Université de Liège

En guise d’introduction : analyse de quelques preuves d’une formule trigonométrique

En guise d’introduction : analyse de quelques preuves d’une formule trigonométrique

En guise d’introduction : analyse de quelques preuves d’une formule trigonométrique

Une preuve qui retourne aux « sources » mais néglige les apports positifs des math. modernes

A l’autre extrême : une démonstration qui n’aurait pas pu exister sans la propriété qu’elle prétend démontrer L’écriture exponentielle d’un nombre complexe permet de « compacter » des écritures mais se « justifie » grâce à une analogie de propriétés ou des développements formels en séries qui supposent la propriété à démontrer

La preuve la plus « simple » ?

Quelques réflexions sur ces démonstrations « La démonstration utilisant le produit scalaire est courte, mais il faut pour cela rappeler la notion de produit scalaire, qui n’est pas toujours bien assimilée chez tout le monde. Certains enseignants préfèrent alors la démonstration à partir des distances, qui est un peu plus longue mais qui se démontre à partir de choses simples, sans devoir se référer à d’anciennes notions (mis à part la formule des distances, censée connue) » « La démonstration utilisant le produit scalaire est simple et élégante, mais repose sur une équivalence de formulation vue (? Pas sûr - l’équivalence a bien pu être acceptée telle quelle et non démontrée !) il y a bien longtemps et refait sans le dire la démonstration de l’équivalence » « Un gros avantage de la démonstration basée sur le produit scalaire est qu’elle est aisée à retenir. En fait, elle est basée sur une seule définition. D’où, elle sera sûrement privilégiée dans les classes de plus faible niveau »

Une preuve « simple » au prix d’une inversion didactique Quelques définitions basées sur les propriétés intrinsèques des vecteurs et leur produit scalaire :

Une preuve « simple » au prix d’une inversion didactique Cette subordination des concepts à celui de produit scalaire permet de déduire très facilement des théorèmes fondamentaux de géométrie ou de trigonométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore :

Une preuve « simple » au prix d’une inversion didactique Mais cette subordination relève d’une « inversion didactique » (Freudenthal). Dans l’histoire, on savait que : avant de percevoir un « même » calcul derrière toutes ces situations

Une preuve « simple » au prix d’une inversion didactique Par exemple, l’orthogonalité de deux vecteurs, dans un repère orthonormé quelconque, peut être prouvé sur base d’une isométrie ou similitude de triangles

Subordination de la géométrie à l’algèbre linéaire : raisons et difficultés Cette subordination a été un moteur de la transposition didactique de la géométrie au cycle secondaire à l’époque de la réforme dite « des mathématiques modernes » Raisons et difficultés soulevées : voir ppt à venir Point de vue actuel : on reste toujours sous cette influence Zoom sur quelques difficultés liées aux équations de droites et plans

Du savoir savant au savoir enseigné Dans la théorie mathématique : Les droites et plans sont définis d’emblée comme variétés linéaires ou affines. Les vecteurs sont des éléments d’un espace vectoriel et des vecteurs colinéaires sont définis à partir de la notion de partie liée Un théorème permet de traduire les écritures vectorielles en termes de coordonnées : Tout espace vectoriel E de dimension finie n sur un corps commutatif K est isomorphe à l’espace Kn des coordonnées

Du savoir savant au savoir enseigné Dans la transposition didactique en vigueur dans le secondaire : Le point de départ est toujours vectoriel selon le schéma standard on définit la droite et le plan de manière vectorielle on en « déduit » une écriture paramétrique, puis une écriture cartésienne On passe du vectoriel au paramétrique (puis au cartésien) sans aucune justification On est donc dans une praxéologie « à trous » (Rouy)

Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève des difficultés d’apprentissage habituellement non gérées (Lebeau) et que les registres cartésien et paramétrique doivent être travaillés pour eux-mêmes

Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire L’équation y - 2x - 1 = 0 est celle d’une droite. Or, on cherche l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ? Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On pourrait n’en faire qu’une seule « x = 3 » est la solution d’une équation et pas une équation Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin. Qui a juste ? On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 points Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne conduit pas à un « parallélogramme gauche » ?

Questions de démarrage Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire Essai d’un projet d’enseignement où l’on travaille d’abord les registres cartésien et paramétrique pour « remonter » ensuite au vectoriel Questions de démarrage Décrivez l’ensemble des points de « l’espace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient l’équation : y = -3/2 x + 3 Donnez une équation du plan Oxy

Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3 Une première interprétation en termes de droites Un questionnement sur l’absence de z qui conduit à un débat sur le sens d’une équation comme contrainte (vs étiquette) Un passage à l’espace par mouvement, empilement ou projection

Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3 Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3 Certains élèves continuent à interpréter cette équation comme celle d’une droite : cela reste pour eux l’équation d’une droite « qui bouge »

Réactions à la recherche de l’équation du plan Oxy Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire Réactions à la recherche de l’équation du plan Oxy Difficulté à concevoir la question Difficulté à penser que la liberté ne s’exprime pas :

Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire Intérêt d’un travail en amont des modèles vectoriels pour permettre aux élèves de sortir d’une conception « étiquette » pour rentrer dans la perspective des contraintes et libertés. Ce changement de conception doit exister en analyse aussi Un tel travail s’inscrit dans une praxéologie « modélisation » (Schneider) où les définitions qui se prêteront ultérieurement au raisonnement déductif sont motivées en amont sur base d’intuitions liées aux préconstruits et/ou de connaissances acquises, ici les théorèmes classiques de la géométrie synthétique