Arrangements périodiques

Arrangements périodiques Par définition, les arrangements périodiques sont infinis, mais seule une partie limitée peut être montrée. L‘unité répétitive de l‘arrangement périodique est appelée le motif. Motif Motif Motif (atome de carbone) Arrangement = couche de graphite

Réseau de translation = En translatant un motif en 1,2 ou 3 dimensions, on crée un arrangement périodique infini en 1, 2 ou 3D. Motif Vecteurs de translation Points de départ/arrivée des vecteurs de translation = Points du réseau Les translations montrées sont les plus courtes possible. Le point de départ des 2 premiers vecteurs de translation peuvent être choisis librement. Les translations déplacent les motifs individuels pour qu‘ils coïncident avec un motif adjacent (rappel: l‘arrangement est infini!). La situation de départ ne peut pas être distinguée de la situation d‘arrivée  les translations sont des éléments de symétrie! Les points du réseau sont des sets de points avec des environnements identiques.

Cellule élémentaire Maille élémentaire Une boîte délimitée par 4 points du réseau est appelée maille élémentaire. Un nombre infini de cellules élémentaires est possible. On choisit habituellement la cellule délimitée par les translations les plus courtes. maille élémentaire contenant le motif L‘arrangement périodique peut être créé en translatant le contenu de la cellule élémentaire par les vecteurs de translation qui délimitent la cellule.

Structure + = Motif réseau Arrangement périodique, structure Contenu général: L‘origine du réseau peut être choisie arbitrairement. Changer l‘origine du réseau ne va pas changer le contenu général de la cellule élémentaire, juste son arrangement.

Miroir glissant I Un arrangement périodique en 2D peut avoir tous les axes de rotation, miroirs et centres d‘inversion comme opérations de symétrie. Les nouvelles opérations de symétrie sont les translations et la combinaison de miroirs avec les translations = miroirs glissants. Translations  combinaison avec plans de miroir = nouvel élément de symétrie: plans de miroir glissant. Translation Opération de miroir Périodicité dans cette direction Symbole graphique g Symbole écrit

Miroir glissant II Un arrangement périodique a un nombre infini d‘éléments de symétrie, car il est infini. Les éléments de symétrie sont automatiquement multipliés par la translation, qui est aussi un élément de symétrie. Les arrangements périodiques en 2D ont des axes de rotation (2,3,4,6), des miroirs et des miroirs glissants comme éléments de symétrie. Le contenu de la symétrie peut être séparé entre la symétrie du réseau et la symétrie du motif. La symétrie de l‘arrangement peut être égal ou inférieur à la symétrie du réseau/motif.

Les 5 réseaux planaires I On ne peut distinguer que 5 réseaux planaires symétriquement distincts: a  b a ≠ b ≠ 90° p2 a  b a ≠b = 90° p2mm a  b a ≠ b = 90° c2mm La cellule élémentaire „primitive“ sur la gauche est la plus petite cellule, mais les miroirs ont une orientation étrange par rapport à l‘orientation des bords da cellule. La cellule „centrée“ sur la droite reflète mieux la symétrie du réseau et est donc préférable.

Les 5 réseaux planaires II  b a = b = 60° p6mm a  b a = b = 90° p4mm

Symétrie du motif Les 17 groupes planaires 1 2 m 2mm 4 4mm 3 3m 6 6mm Réseaux planaires + symétrie du motif = 17 combinaisons possibles de symétrie => 17 groupes planaires Les 5 réseaux ont le plus haut niveau de symétrie pour chaque groupe. L‘addition du motif au réseau ne peut que réduire la symétrie, mais pas l‘augmenter.

Le groupe planaire cm Symétrie du réseau Symétrie du motif Symétrie de l‘arrangement m cm Par rapport à la symétrie du réseau, tous les axes digyres et les plans de miroirs verticaux sont perdus. c2mm

Les 17 groupes planaires I

Les 17 groupes planaires II