2/8 V 6/7 R 12/56 0 € gagnés p( X = xi ) 3/7 4/7 3°) Il y a 6 jetons rouges et 2 jetons verts. Que devrait être la mise pour que le jeu soit équitable ? mise M 1/7 V 2/56 10 € gagnés valeurs xi prises par X 0 – M 10 - M 2/8 V 6/7 R 12/56 0 € gagnés p( X = xi ) 3/7 4/7 6/8 R 2/7 V 12/56 0 € gagnés 5/7 R 30/56 10 € gagnés p( X = 0 – M ) = (2/8)(6/7) + (6/8)(2/7) = 24/56 = 12/28 = 3/7 p( X = 10 – M ) = (2/8)(1/7) + (6/8)(5/7) = 32/56 = 16/28 = 4/7 jeu équitable : moyenne probable E(X) = 0 Σ pi xi = (3/7) ( 0 – M ) + (4/7) ( 10 – M ) = 0 0 – (3/7) M + (40/7) – (4/7) M = 0 - 1 M + (40/7) = 0 - M = - 40/7 M = 40/7 ≈ 5,714… donc 5,71 €

2/(n+5) V V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 3/(n+5)R 2/(n+4) R 10 € gagnés 4°) Il y a 2 jetons verts et 3 jetons rouges et on mise 5 €. Combien faudrait-il ajouter de jetons noirs pour que l’organisateur fasse un gain probable moyen d’au moins 1 € par joueur ? Je mets dans la même catégorie « non Rouges » les jetons Vert et Noirs. idem « non Noirs » etc… pour diminuer la taille de l’arbre. mise 5 € 1/(n+4) V 10 € gagnés valeurs xi prises par X - 5 5 2/(n+5) V V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 3/(n+5)R 2/(n+4) R 10 € gagnés n/(n+5) R 0 € gagnés N(n-1)/(n+4)N 10 € gagnés N 0 € gagnés

2/(n+5) V V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 3/(n+5)R 2/(n+4) R 10 € gagnés 4°) Il y a 2 jetons verts et 3 jetons rouges et on mise 5 €. Combien faudrait-il ajouter de jetons noirs pour que l’organisateur fasse un gain probable moyen d’au moins 1 € par joueur ? Je mets dans la même catégorie « non Rouges » les jetons Vert et Noirs. idem « non Noirs » etc… pour diminuer la taille de l’arbre. mise 5 € 1/(n+4) V 10 € gagnés valeurs xi prises par X - 5 5 2/(n+5) V V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 3/(n+5)R 2/(n+4) R 10 € gagnés n/(n+5) R 0 € gagnés N(n-1)/(n+4)N 10 € gagnés N 0 € gagnés 2 1 3 2 n n+1 8 + n(n-1) p’ = × + × + × = n+5 n+4 n+5 n+4 n+5 n+4 (n+5)(n+4)

2/(n+5) V (n+3)/(n+4)V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 4°) Il y a 2 jetons verts et 3 jetons rouges et on mise 5 €. Combien faudrait-il ajouter de jetons noirs pour que l’organisateur fasse un gain probable moyen d’au moins 1 € par joueur ? Je mets dans la même catégorie « non Rouges » les jetons Vert et Noirs. idem « non Noirs » etc… pour diminuer la taille de l’arbre. mise 5 € 1/(n+4) V 10 € gagnés valeurs xi prises par X - 5 5 2/(n+5) V (n+3)/(n+4)V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 3/(n+5)R 2/(n+4) R 10 € gagnés n/(n+5) (n+2)/(n+4)R 0 € gagnés 8 + n(n-1) N(n-1)/(n+4)N 10 € gagnés p’ = (n+2)/(n+4)N 0 € gagnés (n+5)(n+4) 2 n+3 3 n+2 n 5 10n + 12 p = × + × + × = n+5 n+4 n+5 n+4 n+5 n+4 (n+5)(n+4)

2/(n+5) V (n+3)/(n+4)V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 4°) Il y a 2 jetons verts et 3 jetons rouges et on mise 5 €. Combien faudrait-il ajouter de jetons noirs pour que l’organisateur fasse un gain probable moyen d’au moins 1 € par joueur ? Je mets dans la même catégorie « non Rouges » les jetons Vert et Noirs. idem « non Noirs » etc… pour diminuer la taille de l’arbre. mise 5 € 1/(n+4) V 10 € gagnés valeurs xi prises par X - 5 5 2/(n+5) V (n+3)/(n+4)V 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ 3/(n+5)R 2/(n+4) R 10 € gagnés n/(n+5) (n+2)/(n+4)R 0 € gagnés 8 + n(n-1) N(n-1)/(n+4)N 10 € gagnés p’ = (n+2)/(n+4)N 0 € gagnés (n+5)(n+4) 2 n+3 3 n+2 n 5 10n + 12 p = × + × + × = n+5 n+4 n+5 n+4 n+5 n+4 (n+5)(n+4) Vérification : 8 + n(n-1) + 10n + 12 = n² + 9n + 20 = (n+5)(n+4) donc p + p’ = 1 OK

Réponse : entre 0 et 7 jetons noirs. L’organisateur fait un gain ≥ 1 donc le joueur fait une perte, donc moyenne probable E(X) ≤ - 1 € donc Σ pi xi = p(- 5) + p’(5) ≤ - 1 Je pourrai exprimer p et p’ en fonction de n, et résoudre en n, mais l’on peut d’abord résoudre en p’ ( ou en p puisque p + p’ = 1 ), puis ensuite en n : ( 1 – p’ )(- 5) + p’(5) ≤ - 1 donne – 5 + 5 p’ + 5 p’ ≤ - 1 donc 10 p’ ≤ 4 donc p’ ≤ 2/5 p’ = [ 8 + n(n-1) ] / [(n+5)(n+4)] donc [ 8 + n(n-1) ] / [(n+5)(n+4)] ≤ 2/5 je multiplie l’inéquation par ce dénominateur : 8 + n(n-1) ≤ (2/5) (n+5)(n+4) puis par 5 pour m’enlever cette fraction gênante : 5( 8 + n(n-1) ) ≤ 2(n+5)(n+4) donc 40 + 5n² - 5n ≤ 2n² + 10n + 8n + 40 puis 3n² - 23n ≤ 0 ∆ = (-23)² - 4(3)(0) = 23² racines ( 23 – 23 )/6 = 0 et ( 23 + 23 )/6 = 23/3 ≈ 7,6 Remarque : on aurait pu factoriser 3n² - 23n = n ( 3n – 23 ) pour les trouver ! Le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’extérieur des racines, et on veut qu’il soit ≤ 0 donc n est dans [ 0 ; 23/3 ]. n est un entier positif, donc n est dans { 0 ; 1 ; 2 ; … ; 6 ; 7 }. Réponse : entre 0 et 7 jetons noirs.

5°) Quel serait alors le gain maximal de l’organisateur, et pour combien de jetons noirs ? On utilisera sa calculatrice. Il y a entre 0 et 7 jetons noirs. Je reprends l’expression trouvée à la question 4° : ( 1 – p’ )(- 5) + p’(5) ≤ - 1 qui est E(X) ≤ - 1 avec p’ = [ 8 + n(n-1)] / [(n+5)(n+4)] Soit la fonction f définie sur { 0 ; 1 ; … ; 6 ; 7 } par f(n) = E(X) J’obtiens le tableau de valeurs avec la calculatrice : Remarques : on obtient bien des E(X) ≤ - 1 pour n de 0 à 7 de la question 4°, et E(X) = - 1 de la question 1° pour n = 0. Réponse : E(X) minimale ≈ - 2,62 pour 2 jetons noirs. x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) ≈ - 1 -2,33 -2,62 - 2,5 -2,22 -1,88 -1,54 -1,21 8 9 10 -0,89 -0,60 -0,33

Pour faire travailler la calculatrice plus rapidement : On va dans Menu → RUN. On tape ( Seq se trouve dans OPTN → LIST → Seq ) Seq( X , X , 0, 10, 1 ) ( cette flèche signifie « stocké dans » et se trouve sur le clavier ) List 1 ( qui se trouve dans OPTN → LIST → List ) EXE. qui correspond à la suite des nombres de 0 à 10 espacés de 1. Puis ( 8 + List 1 × ( List 1 – 1 ) ) / ( ( List 1 + 4 ) × ( List 1 + 5 ) ) List 2 EXE. qui correspond à p’ = [ 8 + n(n-1)] / [(n+5)(n+4)] Puis ( 1 - List 2 ) × (- 5) + List 2 × 5 List 3 EXE. qui correspond à E(X) = ( 1 – p’ )(- 5) + p’(5) Puis on va dans Menu → STAT lire en Liste 3 les résultats E(X) pour tous les nombres de jetons noirs de 0 à 10.

5°) Quel serait alors le gain maximal de l’organisateur, et pour combien de jetons noirs ? On utilisera sa calculatrice. 2ème méthode sans calculatrice. : Il y a entre 0 et 7 jetons noirs. Je reprends l’expression trouvée à la question 4° : ( 1 – p’ )(- 5) + p’(5) ≤ - 1 qui est E(X) ≤ - 1 avec p’ = [ 8 + n(n-1)] / [(n+5)(n+4)] Soit la fonction f définie sur { 0 ; 1 ; 2 ; … } par f(n) = E(X) J’étudie la fonction f(x), que je définis sur [ 0 ; + ∞ [ pour qu’elle soit dérivable car si les points ne se touchent pas il n’y aura pas de tangente à la courbe discontinue. f(x) = ( 1 – p’ )(- 5) + p’(5) = - 5 + 5p’ + 5p’ = 10p’ – 5 = 10[[ 8 + x(x-1)] / [(x+5)(x+4)]] – 5 = 10[[ 8 + x(x-1)] / [(x+5)(x+4)]] - 5 [(x+5)(x+4)]/ [(x+5)(x+4)] = (10[ 8 + x(x-1)] - 5 (x+5)(x+4) ) / [(x+5)(x+4)] = (80 + 10x² - 10x – 5x² - 25x – 20x - 100) / [(x+5)(x+4)] = ( 5x² - 55x – 20 ) / [(x+5)(x+4)] = 5 ( x² - 11x – 4 ) / [x² + 9x + 20]

5°) Quel serait alors le gain maximal de l’organisateur, et pour combien de jetons noirs ? On utilisera sa calculatrice. f’(x) = 5 (u/v)’ = 5 (u’v – v’u) / v² = 5 [ (2x – 11)(x² + 9x + 20) – (2x + 9)(5x² - 55x – 20 )] / [(x+5)(x+4)]² = 5 [ (2x3 + 18x² + 40x – 11x² - 99x + 220) – (10x3 – 110x² - 40x + 45x² - 495x – 180 )] / [(x+5)(x+4)]² = 5 [ ( 2x3 + 9x² - 59x + 220 – 10x3 + 65x² + 535x + 180 )] / [(x+5)(x+4)]² = 5 [ ( – 8x3 + 74x² + 476x + 400 )] / [(x+5)(x+4)]² Je n’ai pas les connaissances nécessaires pour déterminer les signes de f’(x), pour en déduire ensuite avec le théorème de la monotonie les sens de variation de f, puis ensuite son minimum, donc j’utilise la calculatrice quand même ! minimum ≈ - 2,6197 obtenu pour x ≈ 2,06 pour la fct définie sur [ 0 ; 10 ]. minimum ≈ - 2,6190 obtenu pour x = 2 pour la fct définie sur { 0 ; 1 ; 2 ; … }.