Exercice 1 Soit un cercle de rayon 2, et quatre points tous distincts M, N, Pet Q du cercle tels que MNPQ soit un rectangle. On veut construire sur ce terrain circulaire le bâtiment rectangulaire le plus grand possible. Déterminez l’aire maximale du bâtiment MNPQ. Exercice 2 : Soit un carré ABCD de 16 m², M un point libre de [BC], et P un point libre de [CD] tel que BM = CP. On veut construire sur ce terrain carré le bâtiment triangulaire le plus grand possible. Déterminez l’aire maximale du bâtiment AMP.

Exercice 1 Soit un cercle de rayon 2, et quatre points tous distincts M, N, Pet Q du cercle tels que MNPQ soit un rectangle. On veut construire sur ce terrain circulaire le bâtiment rectangulaire le plus grand possible. Déterminez l’aire maximale du bâtiment MNPQ. y Q M O M’ x P N Soit M( x ; y ). Le triangle OM’M est rectangle, donc d’après Pythagore 2² = x² + y² y = 4 – x² Aire du rectangle = 4 x y = 4x 4 – x²

Exercice 1 Aire du rectangle = 4 x y = 4x 4 – x² Soit la fonction f définie sur Df = [ 0 ; 2 ] par f(x) = 4x 4 – x² qui est bien une fonction car tout antécédent de Df est bien associé à une unique image. 1 f ‘(x) = ( u × v )’ = u’ v + u v’ et v’ = ( w )’ = × w’ 2 w f ‘(x) = 4 4 – x² + 4x (- 2x) 2 4 – x² x = 4 4 – x² - 4x 4 – x² 4 ( 4 – x² ) 4x² 4 ( 4 – x² ) - 4x² 16 – 8x² = - = = 4 – x² 4 – x² 4 – x² 4 – x² f est définie sur Df = [ 0 ; 2 ] et dérivable sur [ 0 ; 2 [.

Remarque : on aurait pu faire Aire du rectangle = 4 x y = 4x 4 – x² Soit la fonction f définie sur Df = [ 0 ; 2 ] par f(x) = 4x 4 – x² qui est bien une fonction car tout antécédent de Df est bien associé à une unique image. f(x) = 4x 4 – x² = 16x² ( 4 – x² ) = 64x² - 16x4 1 1 f ‘(x) = ( w )’ = × w’ = × (128x - 64x3) 2 w 2 64x² - 16x4 1 16 – 8x² = × 8x ( 16 - 8x² ) = 2 16x² ( 4 - x² ) 4 – x² f est définie sur Df = [ 0 ; 2 ] et dérivable sur [ 0 ; 2 [.

Exercice 1 Aire du rectangle = 4 x y = 4x 4 – x² = f(x) f est définie sur Df = [ 0 ; 2 ] et dérivable sur [ 0 ; 2 [. 16 – 8x² f ‘(x) = 4 – x² Sur [ 0 ; 2 [ la racine existe et est positive strictement. 16 – 8x² = 0 - 8x² = - 16 x² = 2 x = √2 ou - √2 Le polynôme est du signe de a = - 8 < 0 à l’extérieur des racines. On utilise le théorème de la monotonie. L’aire est maximale pour x = √2 f(√2) = 4 √2 4 – (√2)² = 4 √2 √2 = 8 x 0 √2 2 f‘(x) + 0 - f(x)

Exercice 2 A B x M D P C Je choisis x = BM = CP la variable. Soit un carré ABCD de 16 m², M un point libre de [BC], et P un point libre de [CD] tel que BM = CP. On veut construire sur ce terrain carré le bâtiment triangulaire le plus grand possible. Déterminez l’aire maximale du bâtiment AMP. A B x M D P C Je choisis x = BM = CP la variable. Aire du triangle AMP = aire du carré – aires des 3 triangles ABM, MCP et ADP = 16 - ½ 4(x) - ½ x(4-x) - ½ 4(4-x) = 16 - 2x - ½ x(4-x) - 2(4-x) = 16 – 2x – 2x + ½x² - 8 + 2x = ½x² - 2x + 8 Soit la fonction f définie sur Df = [ 0 ; 4 ] par f(x) = ½x² - 2x + 8 qui est bien une fonction car tout antécédent de Df est bien associé à une unique image. f ‘(x) = ½ 2x – 2(1) + 0 = x - 2

Exercice 2 Je choisis x = BM = CP la variable. Aire du triangle AMP = aire du carré – aires des 3 triangles ABM, MCP et ADP = 16 - ½ 4(x) - ½ x(4-x) - ½ 4(4-x) = 16 - 2x - ½ x(4-x) - 2(4-x) = 16 – 2x – 2x + ½x² - 8 + 2x = ½x² - 2x + 8 Soit la fonction f définie sur Df = [ 0 ; 4 ] par f(x) = ½x² - 2x + 8 qui est bien une fonction car tout antécédent de Df est bien associé à une unique image. f ‘(x) = ½ 2x – 2(1) + 0 = x - 2 On utilise le théorème de la monotonie. L’aire est maximale pour x = 0 ou x = 4 f(0) = 8 f(4) = ½ 4² - 2(4) + 8 = 8 Réponse : aire maximale = 8 x 0 2 4 f‘(x) - 0 + f(x)